26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

26.2二次函数的图象和性质 26.2.3二次函数的图象和性质 第一课时 探究二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握用配方法将化为顶点式的方法；熟记二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式；熟练掌握一般式二次函数的开口方向、增减性、最值性质，能利用公式和性质解决基础题型. 经历“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想. 通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心；在数形结合分析问题中体会数学的严谨性和逻辑性，提升数学核心素养. 知识回顾 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a<0 a>0 开口向下 开口向上 a<0 a>0 在对称轴左侧，y都随x的增大而增大， 在对称轴右侧，y都随x的增大而减小 . 在对称轴左侧，y都随x的增大而减小， 在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大； 二次函数、、 、的图象与性质 (3)顶点坐标是(h，k) (1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h 顶点式 知识回顾 二次函数、、 、的关系 从解析式看 从函数图象看 向下平移k个单位 向上平移k个单位（k>0） 向左平移h个单位 向右平移h个单位(h>0) 设k>0， h>0 y=ax2 y= ax2 +k 𝒚=𝒂𝒙−𝒉𝟐 y=ax2 - k 𝒚=𝒂𝒙+𝒉𝟐 知识回顾 二次函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 (0, 0) 直线x=0 y最大值=0 y=-2x2-5 (0, -5) 直线x=0 y最大值=-5 y=-2(x+2)2 (-2, 0) 直线x=-2 y最大值=0 y=-2(x+2)2-4 (-2, -4) 直线x=-2 y最大值=-4 y=(x-4)2+3 (4, 3) 直线x=4 y最小值=3 练一练 导入新课 化成y=a(x-h)2+k的形式. ٭怎样将y=2x²-4x+1化成y=a(x-h)2+k的形式? ٭我们之前学习的二次函数顶点式的优势是什么？ 顶点式y=a(x-h)2+k的优势是：可直接看出顶点、对称轴、最值 ٭说出y=2(x-1)²+3的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。 思考 开口方向： 开口向上 对称轴： 直线x =1 顶点坐标：（1，3） 最 值： y最小值=3 ٭实际问题中，二次函数常以y=2x²-4x+1这种形式出现，它不是顶点式，如何快速判断它的图象和性质？ ——的图象与性质 （1）将二次函数化y=a+k的样式方法是什么？ 新知探究 探究点1 二次函数图象与它的性质 活动1 通过图象的平移,得到函数图象. （2）还记得配方的步骤吗？ （1）“提”：提出二次项系数； （2）“配”：将括号内配成完全平方 （括号内加上并同时减去一次项系数一半的平方） （3）“化”：化成顶点式. 一般式 顶点式y=a+k 配方法 配方后的表达式通常称为顶点式. 新知探究 探究点1 二次函数图象与它的性质 活动1 通过图象的平移,得到函数图象. ③顶点坐标是(6 ，3) ① 抛物线的开口向上 ②对称轴是直线x=6 ④ 抛物线形状与相同 （3）说一说函数图象特征 向上平移3个单位长度， 向右平移6个单位长度 新知探究 探究点1 二次函数图象与它的性质 活动1 通过图象的平移,得到函数图象. （3）如何通过平移法画图象？ 向上平移3个单位长度 向右平移6个单位长度 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 平移方法一 向右平移6个单位长度 向上平移3个单位长度 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 新知探究 探究点1 二次函数图象与它的性质 活动1 通过图象的平移,得到函数图象. （3）如何通过平移法画图象？ 平移方法二 新知探究 探究点1 二次函数图象与它的性质 活动2 描点法画出函数图象. x … 3 4 5 6 7 8 9 … y=(x-6)2+3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 1.列表 (对称性列表) ∴抛物线开口向上， 顶点为（6，3)，对称轴为直线x=6. ∵ y x 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 4 2 0 2.描点连线，画出图象 抛物线 直线x=6 新知探究 活动3. 观察二次函数的图象说一说它的性质. 对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大； 当x=6时，y取最小值，最小值是3. 探究点1 二次函数图象与它的性质 新知探究 探究点2 二次函数的图象与性质. 活动4. 利用上面的方法分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数的图象，观察二次函数的图象讨论它的性质. 步骤1：配方为顶点式： y=－2x2-4x+1 = －2（x2+2x）＋1 =-2(x2+2x+1)+2+1 =－2(x+1)2+3 a＜0，抛物线开口向下， 对称轴是 x=-1， 顶点坐标是 (-1, 3)， 顶点是图象的最高点. 步骤3：先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 步骤2：确定图象特征 新知探究 探究点2 二次函数的图象与性质. 活动4. 利用上面的方法分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数的图象，观察二次函数的图象讨论它的性质. 步骤4：描点、连线，画:函数的图象. －2 2 －2 －4 －6 4 －4 O 2 1 3 x y 当x<-1时，y随x增大而增大； 当x>-1时， y随x增大而减小. 当x= -1时， y有最大值，最大值是3 总结:函数性质 向左平移1个单位长度 新知探究 探究点2 二次函数的图象与性质. 活动4. 利用上面的方法分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数的图象，观察二次函数的图象讨论它的性质. ∵y=－2x2-4x+1=－2(x+1)2+3 平移法画图： ∴抛物线 可由抛物线平移得到 y=－2(x+1)2+3 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 O 2 1 3 x y 向上平移3个单位长度 新知探究 探究点3 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动5 尝试用配方法将y=ax²+bx+c转化为顶点式， 注意： 配方时仅对含x的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号和通分计算. 第一步：提取二次项系数： 第二步：配方 （加、减一次项系数一半的平方） 第三步：整理化为顶点式 新知探究 探究点3 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动5 尝试用配方法将y=ax²+bx+c转化为顶点式， 观看视频 新知探究 探究点3 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动6 归纳二次函数y=ax²+bx+c图象与性质 配方 y=ax²+bx+c图象特征： 对称轴：直线； 顶点坐标： 当a＞0时，抛物线开口向上 当a＜0时，抛物线开口向下 y O x 在对称轴左侧， 即当x< -时 y 随 x的增大而减小. 在对称轴右侧， 即当x> -时,y随 x 的增大而增大. 增减性 当a＞0时 当a＜0时 y O x 新知探究 探究点3 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动6 归纳二次函数y=ax²+bx+c图象与性质 在对称轴左侧， 即当x< -时 y 随 x的增大而减小. 在对称轴右侧， 即当x> -时,y随 x 的增大而增大. 最小值 最大值 开口向上，左降右升 开口向下，左升右降 关系式 一般式 顶点式 开口方向 当 时，开口向上；当 时，开口向下 当 时，开口向上；当 时，开口向下 图象 抛物线 抛物线 顶点坐标 对称轴 直线 直线 增减性（） 在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而减小；在对称轴右侧，即 时， 随 的增大而增大 在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而减小；在对称轴右侧，即 时， 随 的增大而增大 增减性（） 在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而增大；在对称轴右侧，即 时， 随 的增大而减小 在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而增大；在对称轴右侧，即 时， 随 的增大而减小 最值（） 当 时，函数有最小值 当 时， 最值（） 当 时，函数有最大值 当 时， 新知探究 探究点3 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 典例分析 例1：已知二次函数y=x²-2x-3，请完成下列问题： （1）用配方法将函数化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）求函数的最值； （4）判断函数的增减性. 解：（1）配方转化顶点式： . （2）由顶点式y 可知： a=1>0，抛物线开口向上； 对称轴为直线x=1； 顶点坐标为(1,-4). 典例分析 例1：已知二次函数y=x²-2x-3，请完成下列问题： （1）用配方法将函数化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）求函数的最值； （4）判断函数的增减性. 解：（3）求函数最值： ∵ a=1>0，抛物线开口向上， 函数有最小值，无最大值； ∴ 当x=1时， （4）分析函数增减性： 对称轴为直线x=1，开口向上： 当x<1时，y随x的增大而减小； 当x>1时，y随x的增大而增大. 新知巩固 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y= － 3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26； ∵a=-3＜0， ∴抛物线开口向下， 由解析式得： 对称轴为直线x=2， 顶点为(2, 9). 教材P43页 解：（1）配方得：y= -3(x-2)2+9 （2）配方得：y= 4(x-3)2-10 （3）y=2x2+8x－6； （4）y=x2－2x －1. ∵a=4＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式得： 对称轴为直线x=3， 顶点为(3, -10). 新知巩固 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y= － 3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26； ∵a=2＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式得： 对称轴为直线x =－2， 顶点为(－2, － 14). 教材P43页 解：（3）配方得：y= 2(x+2)2-14 （4）配方得：y= (x-2)2-3 （3）y=2x2+8x－6； （4）y=x2－2x －1. ∵a=＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式得： 对称轴为直线x=2， 顶点为(2, -3). 拓展提升 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线：x1． ∴可设二次函数为： y＝a（x+1）²+k． 又∵图象过（0，2）（1，1） ∴﹣2＝a（0+1）²+k， 且 1＝a（1+1）²+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为： y＝（x+1）²﹣3， 即：y＝x²+2x﹣2． 拓展提升 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （2）由题意，由（1）得： y＝（x+1）²﹣3， ∴顶点坐标为（-1，-3）， 对称轴直线：x1． 作图如下． 拓展提升 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （3）由题意，二次函数的图象向右平移n个单位长度后，新函数为：y＝（x+1﹣n）²﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1， 函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为 y最大值=（1﹣n）²﹣3； 当x＝3时，y取最小值为 y最小值= （4﹣n）²﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1-n）²-3-（4-n）²+3＝5． ∴n4，不合题意． 拓展提升 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时， y取最大值为（1﹣n）²﹣3 或（4﹣n）²﹣3； 当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）²﹣3+3＝5 或（4﹣n）²﹣3+3＝5． ∴n＝1 或n＝1（不合题意，舍去） 或n＝4（不合题意，舍去） 或n＝4． 拓展提升 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值 y最大值= （1﹣n）²﹣3； 当x＝3时，y取最大值 y最小值= （4﹣n）²﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4-n）²-3-（1-n）²-3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 真题感知 1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 解：由题意可得， ∵方程y＝ax²﹣2ax+a﹣3的两根异号，∴，解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3，∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3，∴此时y＜0，故D符合题意；故选：D． D 2.（2025•福建）已知点A（﹣2，），B（1，）在抛物线y＝3x²+bx+1上， 若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜＜ B．＜1＜ C．1＜＜ D．＜1＜ 真题感知 解：∵y＝3x²+bx+1，∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4，∴， ∵，， ∴点A（﹣2，）到对称轴的距离大于点（0,1）到对称轴的距离， 小于B（1，）到对称轴的距离， ∴1＜＜， A 真题感知 3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b²﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 解：∵抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ∴当x＝0时，y＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b²﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； 真题感知 3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b²﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 解：∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0，∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0， 故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， 当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1时， 则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1， 当时，， 故C选项中原结论不正确，不符合题意； D 真题感知 4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x与、之间的部分对应关系 （表格中的符号“▲”表示该项数据已经丢失） x 0 1 ▲ ▲ 1 8 3 ▲ (1)求函数的表达式并画出它的图像； (2)结合图像回答问题：当x的取值范围是______时，？ (3)将函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后函数的表达式为______． （1）解：当时，， 当时，的值是8， 当时，的值是3 ， ，， 函数的表达式为 此函数的顶点坐标为， 对称轴为经过且平行于y轴的直线． 列表： x … 0 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 3 8 … 描点、连线： y O x 真题感知 4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x与、之间的部分对应关系 （表格中的符号“▲”表示该项数据已经丢失） x 0 1 ▲ ▲ 1 8 3 ▲ (1)求函数的表达式并画出它的图像； (2)结合图像回答问题： 当x的取值范围是 时，？ (3)将函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后函数的表达式为 ． （2）当时， 由二次函数函数图像可知： 自变量取值范围是： （3） ， 函数图像向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度， 即 ， ． 知识与技能 （1）掌握二次函数一般式化顶点式的配方法步骤； （2）熟记通用公式： 对称轴，顶点坐标； （3）熟练根据a、b、c判断二次函数的开口、对称轴、顶点、增减性、最值五大核心性质. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）转化思想： 将陌生的一般式二次函数转化为熟悉的顶点式，化未知为已知； （2）数形结合思想： 由解析式（数）分析图象性质（形），以形助数、以数释形； （3）归纳推理思想： 由特殊函数性质归纳出通用一般式函数性质. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）配方时易漏加、漏减常数项，符号计算容易出错； （2）公式中符号易错，对称轴是，切勿遗漏负号； （3）增减性必须以对称轴为分界，不能笼统描述； （4）最值必须对应自变量取值（顶点横坐标），不可只写函数值. 课后练习 3.下列函数的图象与x轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标. (1) y=3x²－6x+9; (2) y=2x² － 4x － 6. 解：令y=0，得3x2-6x+9=0，即 x2-2x+3=0. Δ=(-2)2-4×1×3= -8<0， ∴方程3x2-6x+9=0没有实数根. ∴函数图象与x轴没有公共点. 解：令y=0，得2x2-4x-6=0， 即x2-2x-3=0， Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16， 解得x1=3，x2= -1. ∴函数图象与x轴有公共点，公共点的坐标为： （3，0），（-1，0）. 习题 26.2 课本p44页 课后练习 4.一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程 l（单位：m）关于行驶时间 t（单位：s）的函数解析式是l =9t +t²·经过10s汽车行驶了多远？行驶180 m需要多长时间？ 解：t=10时，l=9×10+ ×102=140(m). l=180时，180=9t +t²， 解方程，得t1=12, t2=－30(舍去). 答：经过10s汽车行驶了140m，行驶180m需要12s. 习题 26.2 课本p44页 课后练习 5.画出函数 y = x2－2x－3的图象，利用图象回答: (1)方程 x2－2x－3=0 的根是多少？ (2) x取什么值时，函数值大于0？ (3) x取什么值时，函数值小于0？ 解：(1) 令y = x2－2x－3 =0 解方程得：x1=3, x2=－1. (2) x < －1或 x > 3 时，函数值大于0. (3) －1< x < 3 时，函数值小于0. 习题 26.2 课本p44页 谢谢聆听 $