2.3.2 等腰三角形的性质定理 同步分层练习 2026-2027学年 浙教版 数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦等腰三角形性质定理，通过三层递进设计实现从概念理解到创新应用的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|三线合一概念、基本性质直接应用|选择/填空/简单证明（如第1题定义辨析、第9题平行线与等腰性质结合证明），强化概念理解与基础推理| |能力提升|三线合一与全等、等边三角形综合应用|综合选择/证明题（如第12题全等与三线合一判定、第14题轴对称最短路径问题），培养逻辑推理与空间观念| |拓展创新|实际情境中的性质应用与命题构建|开放性命题设计（如第18题纪念亭几何特征问题），提升数学眼光与创新意识|

2.3.2 等腰三角形的性质定理 同步分层练习 一、夯实基础： 1．等腰三角形的“三线合一”指的是（　　） A．中线、高线、角平分线互相重合 B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合 C．顶角的平分线、中线、高线三线互相重合 D．顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线三线互相重合 2．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C．平分 D． 3．如图，在中，，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．平分 D． 4．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平．在等腰直角三角尺斜边AB的中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点C，即判断房梁是水平的．这样做的理由是（　　） A．等腰直角三角形的底角为45° B．等腰三角形的中线和高线重合 C．等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合 D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合 6．如图，，，于，则　 　． 7．如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm，则BC=　 　cm. 8．李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　 　． 9． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE. 二、能力提升： 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 11．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的中线，DE是△ABD的高线.图中与∠BAD相等的角有(　　). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（　　） （1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为　 　． 14．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是　 　°. 15．如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 16．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点. 求证：∠ABP=∠ACP. 17．求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明） 三、拓展创新： 18．周末，老师带同学去北京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题： 如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明． 已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ． 求证： ． 证明： ． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：等腰三角形的“三线合一”指的是： 顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线三线互相重合. 故答案为：D. 【分析】根据等腰三角形的性质即可作答. 2．【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质 3．【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 4．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：A ． 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而推出是等腰直角三角形，进而得，最后根据即可求解． 5．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵△ABC中AC=BC，点O是AB的中点， ∴CO⊥AB. 故答案为：D. 【分析】根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合可得结论. 6．【答案】3 【知识点】等腰三角形的性质 7．【答案】10 【知识点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】∵AB=AC，∠1=∠2， ∴BD=CD= BC， ∵BD=5， ∴BC=10cm 故答案为：10 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得出BC=2BD，从而得出答案。 8．【答案】，平分． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：，， 是等腰三角形， ，平分， 故答案为：，平分． 【分析】根据“三线合一”解题即可． 9．【答案】证明： AB=AC， AD⊥BC EF∥AC AE=FE 【知识点】两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得，根据平行线性质可得，则，可证AE=FE。 10．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝40°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， 故选C． 【分析】先由等腰三角形三线合一性质得 AD⊥BC，再由直角三角形两锐角互余即可． 11．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：∵AD是等腰ABC底边上的中线 ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=90° ∴∠BAD+∠B=90° ∵DE是ABD的高线 ∴DE⊥AB ∴∠BED=90° ∴∠BDE+∠B=90° ∠BAD=∠BDE 即与∠BAD相等的角有2个 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的性质，中线、高线的性质等即可求出答案. 12．【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一 13．【答案】或 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质 14．【答案】60 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接BP， ∵ΔABC是等边三角形，AD是BC边上的高， ∴D是BC中点， ∴AD垂直平分BC， ∴PB=PC. ∴PC+PE=PB+PE≥BE， 当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值， ∵点E是AC边的中点， ∴BE⊥AC ∴∠CEP=∠CEB=90°， ∵ΔABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，BE⊥AC， ∴BE平分∠ABC. ∴∠CBE=∠ABC=30°， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=30°， ∴∠CPE=∠PBC+ ∠PCB=60°. 故选：60. 【分析】先说明当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，再说明PE平分∠ABC，求出∠CBE，再利用三角形的外角的性质求出∠CPE. 15．【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， 在△ADE和△FCE中， ∴， ∴； （2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 即AB=8时，点E在的平分线上． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出； （2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，即可得点E在的平分线上． （1）证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵）， ∴， ∴平分， ∴点E在的平分线上． 16．【答案】证明：∵△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线， ∴AD是角平分线， ∴∠BAP=∠CAP， 在△ABP与△ACP中， ， ∴△ABP≌△ACP（SAS）， ∴∠ABP=∠ACP． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得出AD是角平分线，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠BAP=∠CAP，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP与△ACP全等，根据全等三角形对应角相等即可证明. 17．【答案】证明：已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE=DF． 证明：如图，连接AD， ∵AB=AC，D是BC中点， ∴AD为∠BAC的平分线， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明即可． 18．【答案】解：已知：如图，EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求证FB=FC．理由：延长EF交BC于H． ∵EA=ED，EF⊥AD， ∴AH=HD（等腰三角形三线合一）， ∵AB=DC， ∴BH=CH，∵FH⊥BC， ∴FB=FC． 故答案为EA=ED，EF⊥AD，AB=DC；FB=FC； 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】延长EF交BC于H，由EA=ED，EF⊥AD，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形的三线合一指的是顶角平分线、底边中线和高线互相重合）推出AH=HD，由AB=DC推出BH=CH，由FH⊥BC推出FB=FC；由EA=ED，EF⊥AD推出AH=HD，由AB=DC，推出BH=CH，由FH⊥BC推出FB=FC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $