2.3 等腰三角形的性质定理 暑假自主拔高练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角形的性质定理假期自主拔高练习，针对浙江地区，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一性质到综合应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等腰三角形角度计算、基本性质|如填空13底角计算，夯实概念理解| |能力提升|等边三角形、折叠对称、动点问题|如选择5动点面积函数图像，培养空间观念| |综合拓展|多知识点综合证明、探究性问题|如解答22距离关系猜想证明，发展推理能力|

2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角形的性质定理假期自主拔高练习（浙江地区适用） 一、选择题 1.如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解。 【详解】解：∵， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B。 2.如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得。 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A。 3.如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识。先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数。 【详解】解：∵，，于D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A。 4.如图，正的边长为6，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是（     ）。 A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】连接A'D，先根据轴对称性得出△A'BC'也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出CD=A'D，然后根据两点之间线段最短找出AD+A'D取得最小值时，点D的位置，由此即可得出答案。 【详解】解：如图，连接A'D， ∵正△ABC的边长为6， ∴AB=BC=6，∠ABC=60°， ∵△ABC与△A'BC'关于直线l对称， ∴△A'BC'也是边长为6的等边三角形， ∴A'B=6，∠A'BC'=60°， ∴∠CBD=180°-∠ABC-∠A'BC'=60°， 在△BCD和△BA'D中， ∴△BCD≌△BA'D（SAS）， ∴CD=A'D， ∴AD+CD=AD+A'D 由两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点A，D，A'共线时，AD+A'D取得最小值，最小值为AA'=AB+A'B=6+6=12， 即AD+CD的最小值为12， 故选：B。 5.如图，点P是等边边上的一个作匀速运动的动点，它由点A开始沿边运动到点B，再沿边运动到点C为止，设运动时间为t，的面积为S，则S与t的函数关系式的大致图象是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点函数图象、等边三角形的性质，设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，根据等边三角形的性质可得点P在上运动时，；当点P在上时，，即可求解。 【详解】解：设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v， ①点P在上运动时，，是S关于t的一次函数解析式； ②当点P在上时，，是S关于t的一次函数解析式； 故选：C。 6.如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（     ）。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解。 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中，， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D。 7.如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案。其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，。下列判断错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质等，掌握轴对称的性质是解题的关键。由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，即可判断B，C，D，过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断A； 【详解】解：∵， ， 由对称得， ∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形， ， ， ∴，结论C正确，不符合题意； ， ，即，结论B正确，不符合题意； 由对称可知，，结论D错误，故符合题意； 过作， ， ， ， ， 同理可证， ∴，结论A正确，故不符合题意； 故选：D。 8.如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴。若， ， ， 则点的坐标为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，由轴， ， ， 则，过作轴于点，交于点，根据等腰三角形性质可得，又， ，则，所以，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：∵轴，，， ∴， 如图，过作轴于点，交于点， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：。 9.，上一点，在内部构造与相等的线段，如、、……，则这样的线段最多有（     ）条。 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键。先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，同样的方法可得，，再根据一个等腰三角形中不可能有两个角等于即可得出答案。 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：，， 则这样的线段最多有8条， 故选：A。 10.如图，在中，，点是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上。若，则的大小是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识。根据折叠得出，，，求出，根据等边对等角，得出，根据三角形内角和定理得出，求出，即可得出答案。 【详解】解：∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上。 ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B。 二、填空题 11.如图，在中，，，是的平分线，则__________。 【答案】5 【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果。 【详解】解：，的平分线交边于点，， ， 故答案为：5。 12.已知等边三角形的边长如图所示，那么 。 【答案】4 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二元一次方程组的解法，根据等边三角形的性质可得，再进一步求解即可。 【详解】解：等边三角形， ， ， ，， 故答案为：4。 13.一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个等腰三角形的底角度数是_________。 【答案】45度/ 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键。 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，找出题中等量关系计算即可。 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是底角的2倍， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：。 14.如图，用18个等边三角形组成一个大平行四边形，这个大平行四边形内部及边上共有16个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成_______个等边三角形。 【答案】28 【分析】本题考查等边三角形的性质，设小等边三角形的面积为1，按照面积进行划分即可。 【详解】解：设小等边三角形的面积为1，则面积为1的等边三角形有18个，面积为4的等边三角形有8个，面积为9的等边三角形有2个， 共：（个）， 故答案为：28。 15.如图，是等边三角形的中线，，则 。 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数。 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， 故答案为：。 16.有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 。 【答案】或 【分析】根据题意和等腰三角形的性质分类讨论即可； 【详解】如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，，，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，， 则，不可能； 故符合条件的顶角的度数为或， 故答案是：或。 三、解答题 17.如图，在中，，求的度数。 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理即可求得。 【详解】解：， ， ， ， ， ， 答：的度数为。 18.如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且。求证：。 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证。熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键。 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， 。 19.如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接。若，求的度数。 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答。本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键。 【详解】解：， ， ， ， ， ， 。 20.如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可。 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：， 答：运动的时间是4秒。 21.如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： （1）如图，点A、B均在格点上，找出线段的中点； （2）如图，点A、B、C均在格点上，在上找出点，使得平分； （3）如图，点A、B、C、D均在格点上，在线段上找出一点，使得。 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【分析】（）利用证明，得到即可； （）利用等腰三角形的性质解答即可； （）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键。 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求。 22.如下图，为等边三角形内的一点，它到三边，，的距离分别为，，，的高，则与，，之间有何数量关系？写出你的猜想并加以证明。 【答案】猜想：；证明见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法。 连接，，，利用三角形面积公式分别表示出、、、，然后根据，结合等边三角形的性质即可得到与，，之间的数量关系。 【详解】猜想： 证明：如图，连接，，， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 。 23.如图，。 （1）若， ①如果，那么的度数为多少度； ②猜想和的数量关系并证明； （2）如果，与有什么位置关系？请证明你的结论。 【答案】（1）①40°； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）①等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； ②同①即可得出结论； （2）根据等边对等角，结合，推出，即可得出结论。 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴； 故答案为：度； ②略 （2）略。 24.如图，在中，分别是边上的点，，且。 （1）填空：_____；（填“”、“”、“”） （2）试说明平分； （3）若，，求。 【答案】（1） （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3） 【分析】此题考查了等边对等角、角平分线的性质定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等边对等角、角平分线的性质定理是关键。 （1）根据等边对等角即可得到答案； （2）利用平行线的性质得到，利用等量代换即可得到结论； （3）过点D作，垂足分别为，利用角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式即可得到答案。 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）略； （3）过点D作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角 形的性质定理假期自主拔高练习（浙江地区适用） 一、选择题 1.如图，直线I∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线1，m上， 若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( E B C A.45 B.39° C.29° D.21° 2.如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B,C,E在同一 条直线上，且CE=CD,则∠E的度数是( B A.30° B.15° C.20° D.35° 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于D,点E在直线AB上， 且DE=DB,则∠DEC的度数为( 试卷第1页，共3页 B D A.60° B.75° C.80° D.90° 4.如图，正△ABC的边长为6，过点B的直线I⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线 I对称，D为线段BC'上一动点，则AD+CD的最小值是( )。 A.10 B.12 C.16 D.18 5.如图，点P是等边△ABC边上的一个作匀速运动的动点，它由点A开始沿AB 边运动到点B,再沿BC边运动到点C为止，设运动时间为t,△ACP的面积为 S,则S与t的函数关系式的大致图象是( )。 B 试卷第2页，共3页 6.如图1，△ABC与△ABG满足∠A=∠A,AC=AC,BC=B,G,∠C≠∠C,我们 称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB=AC,点 D,E 在线段BC上，且BE=CD ,则图中共有“伪全等三角形”( B B 图1 图2 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案。其中△OAB 与△OCD都是等腰三角形，且它们关于直线I对称，点E,F分别是底边AB, CD的中点，OE⊥OF。下列判断错误的是( 试卷第3页，共3页 A.∠AOD+∠BOC=180° B.∠BOF=∠COE C.∠BOD=90° D.∠BOC=∠AOB 8如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC,BC‖x轴。若 4A,4)B(m).C(m+6,m, 则点C的坐标为( ）。 B A.(5) B.(4,) C.(5) D.(6,) 940B=10,O1上一点5，在40B内部构造与相等的线段，如 OP P BEP.…, 则这样的线段最多有( )条。 Ps 4 P3 P 0 P2 P B A.8 B.9 C.10 D.12 试卷第4页，共3页 I0.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠， 点B的对应点E恰好落在边AC上。若∠ADE=30°，则∠A的大小是( )。 B - A.30° B.40° C.50° D.60° 二、填空题 11.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,AD是∠BAC的平分线，则BD= 12.已知等边三角形ABC的边长如图所示，那么y= x+3 B 5-x 试卷第5页，共3页 13.一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个等腰三角形的底角度数是 14.如图，用18个等边三角形组成一个大平行四边形，这个大平行四边形内部 及边上共有16个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成个等边三角 形。 15.如图，AD是等边三角形△ABC的中线，AE=AD,则∠EDC= D 16有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角 形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 三、解答题 17如图，在△ABC中，AB=AC,求∠C的度数。 试卷第6页，共3页 BA2x 18.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°。 求证：∠BAD=∠EDC。 B 19.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,在AC上取一点E,使 D=ME,连接DE,若BMC=64,求BDC 度数。 A B D 试卷第7页，共3页 20.如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每 秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动， 其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是等边三角形时，求 运动的时间是多少？ B 21如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中 利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或 试卷第8页，共3页 直接度量不得分)： B D B 图1 图2 图3 (I)如图1，点A、B均在格点上，找出线段AB的中点P: (2)如图2，点A、B、C均在格点上，在AC上找出点E,使得BE平分∠ABC: (3)如图3，点A、B、C、D均在格点上，在线段CD上找出一点P,使得 ∠APC=∠BPD 22.如下图，P为等边三角形ABC内的一点，它到三边AB,AC,BC的距离分 别为h,h,,△ABC的高AM=h,则h与h,h,之间有何数量关系？写 出你的猜想并加以证明。 h B M 试卷第9页，共3页 23.如图，AB=AC=AD。 (1)若AD‖BC, ①如果∠C=80°，那么∠D的度数为多少度： ②猜想∠C和∠D的数量关系并证明； (2)如果∠C=2∠D,AD与BC有什么位置关系？请证明你的结论。 24.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，DE∥BC,且BE=ED。 (1)填空：∠EBD ∠EDB；(填“=”、“<”、“>”) 试卷第10页，共3页 (2)试说明BD平分∠ABC: (3)若AB=8,BC=6,求S△MBD:S△BCD。 试卷第11页，共3页