第14章 全等三角形 （倍长中线、截长补短、半角模型及一线三等角） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学讲义以“三角形全等模型”为核心，通过分类框架系统梳理倍长中线、截长补短、半角模型、一线三等角四大知识点，每个模型按“基本型-变式-应用”层级呈现，用结构图表清晰展示中点型、中点+平行线型等细分类型，突出模型间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“模型-例题-练习”的递进式设计，如半角模型从正方形90°-45°型到等边三角形60°-30°型变式，结合例题3-3的实际情境题，培养学生几何直观与推理意识。分层练习覆盖基础巩固与拓展探究，教师可精准实施分层教学，学生能通过题型归类自主构建解题方法体系。

目录 三角形全等模型（一） 1 【知识梳理】 1 知识点1：倍长中线 1 知识点2：截长补短 2 知识点3：半角模型 3 知识点4：一线三等角 4 【题型演练】 5 【题型一：倍长中线】 5 【题型二：截长补短】 9 【题型三：半角模型】 11 【题型四：一线三等角模型】 17 三角形全等模型（一） 【知识梳理】 知识点1：倍长中线 1、基本型：如下图，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、 中点型:如图，为的中点. 若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图, ，点为线段的中点 延长交于点 (或交延长线于点)，则. 知识点2：截长补短 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于点O， 求证：AC=AE+CD 证明：如图，在线段AC上截取AF=AE，连接OF； 则△AOB≌△AOF ∵∠ABC=60° ∴∠AOC=90°+=120° ∴∠AOE=∠COD=∠AOF=∠COF=60° ∠COF=∠COD 在△COF和△COD中 OC = OC ∠OCF=∠OCD ∴△COF≌△COD（ASA） ∴CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD+∠BCD=180° 证明：延长BA至点E，使BE=BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∵BD=BD ∴△BDE≌△BDC(SAS) ∴DE=DC ∠BCD=∠E ∵AD=DC ∴AD=DE ∴∠3=∠E ∴∠3=∠BDE ∴∠BAD+∠BCD=180° 知识点3：半角模型 模型1.半角模型（90°-45°型） 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 知识点4：一线三等角 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 【题型演练】 【题型一：倍长中线】 【例题1-1】如图，在中，，则边上的中线的取值范围是_______． 【例题1-2】（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【练习1-1】（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； 根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ． （2）写出图1中与的位置关系并证明． （3）如图2，在中，为中线，E为上一点，、交于点F，且．求证：．    【练习1-2】（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是_______． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【练习1-3】（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【题型二：截长补短】 【例题2-1】如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)若，，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (2)当时，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【例题2-2】如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示，和的数量关系，并证明． 【练习2-1】阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 (1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【题型三：半角模型】 【例题3-1】如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【例题3-2】已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． 【例题3-3】问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． (1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论． (2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由． (3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长． 【练习3-1】【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【练习3-2】已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N． （1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系； （2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明； （3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系． 【练习3-3】（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【练习3-4】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （3）若正方形的边长为4，当N运动到DC边的中点处时，求BM的长． 【练习3-5】问题背景：如图1，四边形，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中，绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【题型四：一线三等角模型】 【例题4-1】如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【例题4-2】羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动． 如图，在中，，，过点C作直线l，过A作于点D，过点B作于点．设，，，记四边形ADEB的面积为． (1)用含c的式子表示的面积：______； (2)羊羊查阅相关资料，知道．请用含a，b的式子表示S； (3)羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由． 【例题4-3】综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【练习4-1】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 【练习4-2】小学学过，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角都等于．数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边上的动点（除、C外）．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ (1)先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点H，连接，则，易证_________________，所以________________ (2)在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小亮提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（除B、C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； (3) 连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系并证明． 【练习4-3】综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 三角形全等模型（一） 1 【知识梳理】 1 知识点1：倍长中线 1 知识点2：截长补短 2 知识点3：半角模型 3 知识点4：一线三等角 4 【题型演练】 5 【题型一：倍长中线】 5 【题型二：截长补短】 15 【题型三：半角模型】 23 【题型四：一线三等角模型】 44 三角形全等模型（一） 【知识梳理】 知识点1：倍长中线 1、基本型：如下图，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、 中点型:如图，为的中点. 若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图, ，点为线段的中点 延长交于点 (或交延长线于点)，则. 知识点2：截长补短 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于点O， 求证：AC=AE+CD 证明：如图，在线段AC上截取AF=AE，连接OF； 则△AOB≌△AOF ∵∠ABC=60° ∴∠AOC=90°+=120° ∴∠AOE=∠COD=∠AOF=∠COF=60° ∠COF=∠COD 在△COF和△COD中 OC = OC ∠OCF=∠OCD ∴△COF≌△COD（ASA） ∴CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD+∠BCD=180° 证明：延长BA至点E，使BE=BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∵BD=BD ∴△BDE≌△BDC(SAS) ∴DE=DC ∠BCD=∠E ∵AD=DC ∴AD=DE ∴∠3=∠E ∴∠3=∠BDE ∴∠BAD+∠BCD=180° 知识点3：半角模型 模型1.半角模型（90°-45°型） 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 知识点4：一线三等角 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 【题型演练】 【题型一：倍长中线】 【例题1-1】如图，在中，，则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【例题1-2】（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】（1）证明：如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，对顶角相等即可证明结论． 【详解】略 【练习1-1】（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； 根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ． （2）写出图1中与的位置关系并证明． （3）如图2，在中，为中线，E为上一点，、交于点F，且．求证：．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）根据可得，即可证明； （3）（3）延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证． 【详解】解：（1）延长到Q，使得，再连接，    ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2），证明如下： 由（1）知， ∴， ∴； （3）延长至点G，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形． 【练习1-2】（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是_______． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）略 【练习1-3】（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（2）， 证明：延长至点，使，连接，，如图所示． 同（1）得：， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ． （3）， 证明：如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】（2）略 （3）略 【题型二：截长补短】 【例题2-1】如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)若，，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (2)当时，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解∶，理由见解析， ， ． 的角平分线、相交于点O， ． ． ． ． 在上取一点H，使， 是的平分线， ． 在和中 ． ． ． 是的平分线， ． 在和中 ． ． ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形． （1）连接，作于N，于M，根据即可得解； （2）在上取一点H，使．先求出，再依次证明，，可得，即可得解． 【详解】（1）解：连接，作于N，于M， 的角平分线、相交于点O，，， ． ， （2）略 【例题2-2】如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示，和的数量关系，并证明． 【答案】(1) 解：根据题意，作图如下， (2) 证明：∵点关于直线的对称点为点，设交于点， ∴，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴； (3) 解：，证明如下， 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． （1）根据题意，作对称，连线即可； （2）根据题意得到，是线段的垂直平分线，由三角形内角和定理得到，结合图形即可求解； （3）如图所示，在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【练习2-1】阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 (1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)不成立， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角公式，“等角对等边”等知识，能够根据题目掌握“截长补短”是解题的关键． （1）根据题意可推出，根据，推得，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，同（1）即可求解； （3）在上截取，连接，证明，同理可证明． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,, ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故； （2）解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ， 则， 故； （3）解：不成立，，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ∴， 则， 故． 【练习2-2】如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． (1)①求证：；②求的度数； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； ② (2) 解：，理由如下： 作，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）①证明即可；②全等三角形的性质，得到，对顶角相等得到，进而得到即可； （2）作，证明，得到，再证明，得到，即可． 【详解】（1）①略 ②∵， ∴， 又∵， ∴； （2）略 【题型三：半角模型】 【例题3-1】如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的性质 【分析】延长EB到G，使BG=FC，连接DG，通过△DCF≌△DBG得到DG=DF、∠FDC=∠GDB，再利用△EDG≌△EDF得到EF=EB+FC，求出结果． 【详解】解：延长EB到G，使BG=FC，连接DG， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， 又∵BD=CD， ∴∠DCB=∠DBC= ， ∴∠DCF=∠DBE=90°， 在直角△DCF和直角△DBG中， ， ∴△DCF≌△DBG， ∴DG=DF，∠FDC=∠GDB， ∴∠GDF=∠BDC=120°， 又∵∠EDF=60°， ∴∠EDG=60°， 在△EDG和△EDF中， ， ∴△EDG≌△EDF， ∴EF=EG=EB+GB=EB+FC， ∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8， 故选择C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决问题的关键构造全等三角形． 【例题3-2】已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、公式法解一元二次方程、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH； （2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH； （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABM和Rt△ADN中， ∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°， ∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN， ∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°， ∴∠BAM＝∠MAH， 在Rt△ABM和Rt△AHM中， ∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS）， ∴AB＝AH， 故答案为：AB＝AH； （2）AB＝AH成立，理由如下： 延长CB至E，使BE＝DN，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠EAB＋∠BAM＝45°， ∴∠EAM＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图： ∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7， 设AH＝AB＝BC＝CD＝x， 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【例题3-3】问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． (1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论． (2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由． (3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)∠BAD＝2∠EAF，理由见解析 (3)这条道路EF的长为米． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】（1）先证明，得到AE=AG， ∠BAE＝∠GAD， 从而证明∠GAF=∠EAF，可证得出EF＝GF＝GD＋DF即可； （2）仿照（1）的方法延长CB至M，使BM＝DF，则可通过的相同的方法证明△ABM≌△ADF、△EAF≌△EAM，即可证出； （3）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，先通过证明△BAE是等边三角形得出BE＝AB，再利用（2）的结论得到，将BE、DF的值代入即可求出． 【详解】（1）解：延长FD到点G使DG＝BE，连接AG， 如图（1）中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°， 在△ABE和△ADG中，， ∴， ∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG， ∴∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°−45°＝45°， ∴∠GAF=∠EAF=45°， 在△AEF和△AGF中，， ∴， ∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF； （2）解：∠BAD＝2∠EAF， 理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM， 在△ABM和△ADF中，， ∴△ABM≌△ADF， ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△EAF和△EAM中，， ∴△EAF≌△EAM， ∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF， 即EF＝BE＋DF； （3）解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF． ∵∠BAD＝150°，AE⊥AD， ∴∠BAE＝150°-90°=60°， 又∵∠B＝60°， ∴△BAE是等边三角形， ∴BE＝AB＝80， ∵∠ADC=120°， ∴∠ADC+∠B=120°+60°=180°， 由（2）得，（米）， 即这条道路EF的长为米． 【点睛】本题考查了全等三角形，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段． 【练习3-1】【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】 （1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明； （2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 【练习3-2】已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N． （1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系； （2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明； （3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系． 【答案】（1）BM+NC=MN，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN，证明见解析． 【知识点】等边对等角、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN； （2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN． 【详解】解（1）BM、NC、MN之间的数量关系：BM+NC=MN． 证明如下： ∵BD=DC，DM=DN， ∴∠BDC=∠DCB=，△MDN为等边三角形， ∴MN=MD=DN， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）， ∴∠BDM =∠CDN=， ∴, ∴BM+NC=MN． （2）猜想：结论仍然成立．    证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1． ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC， （3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．    与（2）同理可证△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1， 与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N， ∴NC-BM=MN． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 【练习3-3】（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ；（2）；证明见解析； 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， （2）； 证明：如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 【练习3-4】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （3）若正方形的边长为4，当N运动到DC边的中点处时，求BM的长． 【答案】 （1）BM+DN＝MN． 理由如下：如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE， ∴∠ABE＝∠ADN＝90°，AE＝AN，BE＝DN， ∴∠ABE+∠ABC＝180°， ∴点E，点B，点C三点共线， ∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°， 又∵∠NAM＝45°， 在△AEM与△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴ME＝MN， ∵ME＝BE+BM＝DN+BM， ∴DN+BM＝MN； （2）DN﹣BM＝MN． 理由如下：在线段DN上截取DQ＝BM，如图3 在△ADQ与△ABM中， ， ∴△ADQ≌△ABM（SAS）， ∴∠DAQ＝∠BAM， ∴∠QAN＝∠MAN． 在△AMN和△AQN中， ， ∴△AMN≌△AQN（SAS）， ∴MN＝QN， ∴DN﹣BM＝MN； （3） 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）把△ADN绕点A顺时针旋转90°，可得B、E、M三点共线，即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME＝MN，可得结论； （2）在线段DN上截取DQ＝BM，首先证明△ADQ≌△ABM，得DQ＝BM，再证明△AMN≌△AQN（SAS），得MN＝QN，可得结论； （3）设，由勾股定理可求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图4，设 ∵正方形的边长为4，点N是BC的中点， ∴CN＝DN＝2， ∵DN+BM＝MN， ∴， ∵MN2＝CN2+MC2， ∴，解得 即． 【点睛】此题考查了旋转的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，构造出全等三角形． 【练习3-5】问题背景：如图1，四边形，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中，绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】探究延伸1：上述结论仍然成立； 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示， 延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【知识点】全等三角形综合问题、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的计算，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 探究延伸1：延长到，使，连接，证明，可得，，再证，得到，由，即可求解； 探究延伸2：方法同上，延长到，使，连接，先证明，再证，即可求解； 实际应用：方法同上，如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点，先证，再证，得到，由行程问题可得海里，海里，由此即可求解． 【详解】解：探究延伸1：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∵，延长到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 探究延伸2：略 实际应用：如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，瓦良格号以海里/小时的速度前进，行驶时间为小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 【题型四：一线三等角模型】 【例题4-1】如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 【例题4-2】羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动． 如图，在中，，，过点C作直线l，过A作于点D，过点B作于点．设，，，记四边形ADEB的面积为． (1)用含c的式子表示的面积：______； (2)羊羊查阅相关资料，知道．请用含a，b的式子表示S； (3)羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ， 理由：，且，， ， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、完全平方公式在几何图形中的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、乘法公式等知识，证明是解题的关键． （1）由，，得，于是得到问题的答案； （2）由于点D，于点E，得，则，可根据“”证明，得，，所以， （3）由，且，，得，则 【详解】（1）解：，， ， 故答案为： （2）于点D，于点E， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的面积为S， ， （3）略 【例题4-3】综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由如下： (3)或 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： 同理可得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或。 【练习4-1】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，最后进等量代换即可证明； （2）根据（1）的证明思路即可解答； （3）过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F，由（1）可得可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： 由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18且的长为9， ∴，即，解得：， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 【练习4-2】小学学过，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角都等于．数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边上的动点（除、C外）．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ (1)先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点H，连接，则，易证_________________，所以________________ (2)在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小亮提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（除B、C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； (3)连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系并证明． 【答案】(1)，，， (2)小亮的观点正确，证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由正方形的性质可得，，取的中点H，连接，则，从而可得为等腰直角三角形，求出，再证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，在上取一点，使得，连接，证明为等腰直角三角形，求出，再证明，即可得解； （3）延长到，使得，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，由（2）可得为等腰直角三角形，求出，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 如图1，取的中点H，连接，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是正方形外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；；；． （2）解：小亮的观点正确，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图2，在上取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是正方形外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（2）可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【练习4-3】综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3 （2）8 （3）16或40 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $