3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦双曲线几何性质，分层设计基础与能力提升，通过从单一性质到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|渐近线方程、标准方程、焦距、离心率计算|以选择填空为主，直接应用定义公式，如渐近线方程求解（题1-4）| |能力提升练|离心率范围、几何证明、跨知识点综合|含充要条件判断（题1）、与圆/椭圆结合证明（题6），深化逻辑推理|

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 基础练习 题型一　双曲线的简单几何性质 1.(2026河南濮阳第一高级中学质检)双曲线C:-=1的渐近线方程为(　　) A.y=±x　　B.y=±x　　C.y=±x　　D.y=±x 2.(2025福建泉州晋江一中期中)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为(　　) A.-=1　　B.-=1　　C.-=1　　D.-=1 3.(2025浙江台州期中)已知双曲线-y2=1(m>0)的焦距为6,则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x　　B.y=±x　　C.y=±x　　D.y=±x 4.(2026浙江强基联盟月考)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　) A.y=±2x　　B.y=±x　　C.y=±x　　D.y=±x 5.(多选题)(2026广东佛山期中)已知焦点在y轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点O)的实轴长与圆O的半径相等,C与圆O在第一、二、三、四象限内的交点分别为P,Q,M,N,且|PQ|=,则(　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的焦距为 C.|PN|= D.四边形PQMN的面积为2 6.(2026四川绵阳中学月考)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则双曲线C2的两条渐近线的夹角大小为(　　) A.30°　　B.60°　　C.90°　　D.120° 7.(易错题)(2026黑龙江哈尔滨第十二中学月考)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为4,则C的方程为　　　　　　　.  8.(2025江西部分高中期中联考)已知F是双曲线C:-y2=1的右焦点,则点F到C的渐近线的距离为　　　　.  9.(2025广东深圳期中)若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k的值为　　　　.  10.(2026湖南长沙雅礼中学月考)已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线为l,设过点F1且与l垂直的直线为l1,l1交l于点N,且交双曲线C的右支于点M,若=(+),则双曲线C的两条渐近线方程分别为　　　　.  11.(教材习题改编)(2026河南南阳六校联考)已知双曲线C:6x2-4y2=24,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点. (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程; (2)设Q(x,y)是第一象限内曲线C上的点,且·=4,求x的值. 题型二　求双曲线的离心率的值或取值范围 12.(2026吉林长春实验中学期中)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,),则该双曲线的离心率为(　　) A.2　　B.3　　C.2　　D.2 13.(易错题)(2026福建厦门第一中学期中)已知双曲线-=1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为,则此双曲线的离心率为(　　) A.2　　B.　　C.　　D. 14.(2025重庆模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的下、上焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D.若|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,则C的离心率的取值范围为(　　) A.　　B.　　C.(1,2)　　D. 15.(2026天津耀华中学期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P在C上,|OP|=c,直线PQ是∠F1PF2的平分线所在的直线,OQ∥PF2,|OQ|=2b,则双曲线C的离心率e=　　　　.  16.(2026陕西西安期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上),且|PF1|=5|PF2|. (1)用a表示|PF1|,|PF2|; (2)若∠F1PF2是钝角,求双曲线的离心率e的取值范围. 17.(2025山西太原期中)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线C的中心为原点,焦点在y轴上,且焦距为16,离心率为,求C的共轭双曲线的方程; (2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1,e2. (i)求证:+=1; (ii)求+的取值范围. 能力提升练 题型一　双曲线的离心率及其应用 1.(2026上海交通大学附属中学嘉定分校月考)已知双曲线C的中心为原点,对称轴为坐标轴,则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线方程为y=x”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026四川绵阳南山中学期中)已知双曲线mx2+ny2=1的离心率为e,且两条渐近线互相垂直,则e+m+n=(　　) A.　　B.1　　 C.　　D.2 3.(2026陕西渭南校级联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在C上存在点P(不是顶点),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则C的离心率的取值范围为(　　) A.(,2)　　B.(,2)　　 C.(1,]　　D.(1,] 4.(2026河南平顶山期中)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2作直线l,交双曲线的右支于A,B两点,以AB为直径的圆过F1,若=,则双曲线C的离心率的平方为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2026河北衡水二中期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0),A,B为双曲线上关于原点对称的两点,M为双曲线上的另一点,记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若k1·k2=,则该双曲线的离心率为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 6.(多选题)(2025福建龙岩期中)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(m>0,n>0)有相同的焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,若C1与C2在第一象限内的交点为P,且PF1⊥PF2,C1,C2的离心率分别为e1,e2,则下列结论中正确的是(　　) A.若|PF1|=+1,|PF2|=-1,则e2=2 B.若e1=,则e2=2 C.e1e2的最小值为1 D.记△F1PF2的内切圆圆心为I,C2的右顶点为E,则IE⊥x轴 7.(2025广东东莞期中)如图,过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l,使直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,且与另一条渐近线交于点B(A,B均在y轴右侧).已知O为坐标原点,若△OAB的内切圆的半径为a,则双曲线C的离心率为　　　　.  8.(2026江苏南通第一中学期中)已知O是坐标原点,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A,B为双曲线C上的两点,若=3,且以F1F2为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为　　　　.  题型二　双曲线性质的综合应用 9.(2026广东领航高中联盟期中)已知O为坐标原点,双曲线E:x2-y2=1的右焦点为F,虚轴的上端点为A,线段AF与E交于点B,则=(　　) A.2-　　B.2-　　C.　　D. 10.(多选题)(2026湖南长沙一中月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,点M位于第一象限,且∠A1MA2=,则下列说法一定正确的是(　　) A.∠MA2N= B.双曲线C的离心率为 C.|MA1|=2|MA2| D.当a=1时,四边形NF1MF2的面积为 11.(多选题)(2026江西景德镇第一中学月考)已知等轴双曲线x2-y2=4的左、右两顶点分别为A,B,而P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点(异于B点),设∠PAB=α,∠PBA=β,点P到两条渐近线的距离分别为d1,d2,则下列结论正确的是(　　) A.离心率e=　　 B.的值随着x0的增大而增大 C.tan α·tan β=-1　　 D.d1与d2的乘积为定值1 12.(2026河北沧州四校期中联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1有共同的左、右焦点F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于点M,N,且线段NF1的中点在另一条渐近线上,则△OMF2(O为坐标原点)的面积为　　　　.  13.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为其右支上任意一点. (1)求双曲线C的离心率; (2)求的最小值. 答案 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 基础练习 1.B　由双曲线方程知,实轴长2a=10,虚轴长2b=8,∴渐近线方程为y=±x=±x. 2.A　由题可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠0,λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1. 3.B　由已知得双曲线的焦距2c=6,即c=3,所以32=m+1,解得m=8,即双曲线方程为-y2=1,则其渐近线方程为y=±x. 4.A　由双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,知c=a, 则b2=c2-a2=4a2⇒b=2a, 所以渐近线方程为y=±x=±2x. 5.ACD　由双曲线为等轴双曲线,可知渐近线方程为y=±x,故A正确; 设等轴双曲线C的方程为-=1①,a>0, 则以实轴长2a为半径的圆O的方程为x2+y2=4a2②, 联立①②消去y2,可得x2=a2⇒x=±a, 因为|PQ|=,所以2×a=⇒a=1,所以c2=2a2=2,则c=, 则C的焦距为2,故B错误; 联立①②消去x2,可得y2=a2⇒y=±a, 因为a=1,所以y=±,即|PN|=2×=,故C正确; 根据双曲线和圆的对称性,可知四边形PQMN是矩形, 其面积为|PQ||PN|=×=2,故D正确. 6.B　椭圆C1的离心率e1=,双曲线C2的离心率e2=, ∴e1e2===,∴=1-=,∴=, ∴设双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为θ1,θ2,θ2>θ1,则tan θ1==,tan θ2=-=-,可知两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°, 又两条直线夹角(记为α)的取值范围为0°≤α≤90°, ∴双曲线C2的两条渐近线的夹角大小为120°-60°=60°. 7.答案　-=1或-x2=1 解析　当双曲线C的焦点在x轴上时,设其方程为-=1(a1>0,b1>0), ∵渐近线方程为y=2x,实轴长为4,∴=2且2a1=4,解得a1=2,b1=4,∴C的方程为-=1. 当双曲线C的焦点在y轴上时,设其方程为-=1(a2>0,b2>0), ∵渐近线方程为y=2x,实轴长为4,∴=2且2a2=4,解得a2=2,b2=1,∴C的方程为-x2=1. 综上,C的方程为-=1或-x2=1. 8.答案　1 解析　根据-y2=1,得a2=16,b2=1,则a=4,b=1,c2=17,则c=,所以右焦点为F(,0). 易知渐近线方程为y=±x,化成一般式为±x-4y=0. 根据点到直线的距离公式,知F(,0)到C的渐近线的距离d==1. 9.答案　2 解析　依题意知,椭圆与双曲线的焦点都在x轴上,则9-k2=k+3且k>0,所以k=2. 10.答案　y=2x,y=-2x 解析　依题意,不妨设渐近线l的方程为y=-x,即bx+ay=0, 由题可得F1(-c,0)到该渐近线的距离为|NF1|===b, 又|OF1|=c,所以|ON|=a, 由题知N为MF1的中点, 又O为F1F2的中点, 所以ON∥MF2,且|ON|=|MF2|, 故|MF2|=2a, 又因为|MF1|-|MF2|=2a,|MF1|=2b, 所以2b=4a,即=2, 所以双曲线C的两条渐近线方程分别为y=x=2x,y=-x=-2x. 11.解析　(1)双曲线6x2-4y2=24即-=1,可得a=2,b=,c=, 故该双曲线的顶点坐标为(-2,0),(2,0),焦点坐标为(-,0),(,0),离心率e==,渐近线方程为y=±x=±x. (2)由Q(x,y)在C上,得y2=6, 又∵点Q在第一象限内,∴x>2, 又F1(-,0),F2(,0), ∴·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2-10+y2=x2-16=4, ∴x=2. 12.C　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,由题知渐近线y=x经过点(1,), 所以=,即b=a, 所以c===2a, 所以该双曲线的离心率为=2. 13.C　易得双曲线-=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x,由两条渐近线的夹角为,可得=tan =,∴双曲线的离心率e===. 14.A　由题知|F1F2|=2c,点F1(0,-c)到渐近线y=±x的距离d==b.由双曲线的定义可得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,则|MD|+|MF2|=|MD|+|MF1|+2a,其最小值为d+2a=2a+b,由|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,得|MD|+|MF2|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c,即b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,故1<<,即C的离心率的取值范围为. 15.答案　 解析　不妨设P在右支上,则|PF1|>|PF2|,如图, 因为|OP|=c,所以|OF1|=|OF2|=|OP|,故PF1⊥PF2, 取PF1的中点M,连接OM,则OM∥PF2,又OQ∥PF2,所以Q在直线MO上, 而|PF1|>|PF2|,故Q在MO的延长线上, 由PF1⊥PF2,OM∥PF2可得OM⊥MP,又PQ平分∠F1PF2, 所以∠MPQ=45°,故|MP|=|MQ|=|MO|+|OQ|=|PF2|+2b, 故|PF1|=2|MP|=|PF2|+4b,故|PF1|-|PF2|=4b,所以2a=4b,即a=2b, 所以e===. 16.解析　(1)∵点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上), ∴根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a, ∵|PF1|=5|PF2|, ∴|PF2|=a,|PF1|=a. (2)在△F1PF2中,由余弦定理的推论可得,cos∠F1PF2==, ∵∠F1PF2是钝角,∴13a2-8c2<0且≠-1,即>且≠, ∴>且≠,即e>且e≠.在△PF1F2中,易知|PF1|+|PF2|>|F1F2|,即a+a>2c,即<,故离心率e的取值范围为. 17.解析　(1)设双曲线C的焦距为2c,实轴长为2a,虚轴长为2b,其中a,b,c>0. 由题意知,2c=16,=,解得a=6,c=8,从而b2=c2-a2=28, 因为双曲线C的中心为原点,焦点在y轴上,所以C的方程为-=1, 从而它的共轭双曲线的方程为-=1. (2)不妨设双曲线C1的标准方程为-=1(a1>0,b1>0), 则C2的标准方程为-=1, 所以e1=,e2=. (i)证明:+=+=1. (ii)+=+===, 因为a1>0,b1>0,所以0<≤1,当且仅当a1=b1时取等号, 所以1<≤,即+的取值范围是(1,]. 能力提升练 1.D　若双曲线C的离心率为2,则e2==1+=4,所以=3, 当双曲线C的焦点在x轴上时,其渐近线方程为y=±x=±x;当双曲线C的焦点在y轴上时,其渐近线方程为y=±x=±x, 所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线方程为y=x”的充分条件. 反之,若双曲线C的一条渐近线方程为y=x, 当双曲线C的焦点在x轴上时,其渐近线方程为y=±x,所以=,故离心率e==2; 当双曲线C的焦点在y轴上时,其渐近线方程为y=±x,所以=,故离心率e==, 所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线方程为y=x”的必要条件. 综上,“C的离心率为2”是“C的一条渐近线方程为y=x”的既不充分也不必要条件. 2.C　当双曲线的焦点在x轴上时,m>0且n<0,则标准方程为-=1, 渐近线方程为y=±x=±x, 因为两条渐近线互相垂直,所以·==-1,解得m=-n,成立, 则离心率e==,所以e+m+n=+0=. 当双曲线的焦点在y轴上时,m<0且n>0,则标准方程为-=1, 渐近线方程为y=±=±, 因为两条渐近线互相垂直,所以·==-1, 解得m=-n,成立, 则离心率e==, 所以e+m+n=+0=. 综上知,e+m+n=. 3.A　由题可知点P在双曲线的右支上,设PF1与y轴交于Q点,连接QF2,如图, 则|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1, 所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2, 又∠PQF2=∠QF1F2+∠QF2F1=2∠PF1F2,故∠PF2Q=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a, (思路探究:求离心率的取值范围,关键是找到a与c的不等关系,在Rt△QOF1中,|OF1|=c,|QF1|=2a,∠QF1O<45°,结合隐含条件|QF1|>|OF1|,即2a>c,得到关于a,c的不等关系式,进而求出离心率的范围) 在Rt△QOF1中,|QF1|>|OF1|,即2a>c,因此e=<2. 在△PF1F2中,由∠PF2F1=3∠PF1F2,且三角形的内角和为180°, 可得∠PF1F2<=45°,则cos∠PF1F2=>cos 45°,即>,即e=>, 所以C的离心率的取值范围为(,2). 4.A　因为=,所以||=||,即|BF2|=|F2A|, 令|AF2|=3t,t>0,则|BF2|=10t,|AB|=13t, 由双曲线的定义得|AF1|=|AF2|+2a=3t+2a,|BF1|=|BF2|+2a=10t+2a, 因为以AB为直径的圆过F1,所以BF1⊥AF1,故+=|AB|2, 即(3t+2a)2+(10t+2a)2=(13t)2, 整理得15t2-13at-2a2=(15t+2a)(t-a)=0,解得t=a(舍负), 则|AF1|=5a,|AF2|=3a,|AB|=13a. 在△AF1F2中,由余弦定理得=+-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2, (结合余弦定理建立齐次方程求离心率) 即(2c)2=(5a)2+(3a)2-2×5a×3a×, 整理得73a2=13c2,则e2==. 5.A　设A(x1,y1),M(x2,y2),由A,B为双曲线上关于原点对称的两点,知B(-x1,-y1),所以k1·k2=·=, 又点A,M在双曲线上,所以 两式相减得=,可得=, 因为k1·k2=,所以=, 因此e=====. 6.ABD　对于A,根据双曲线的定义,得2m=|PF1|-|PF2|=+1-(-1)=2,所以m=1, 因为PF1⊥PF2,所以在△PF1F2中,根据勾股定理可得+=(2c)2, 即(+1)2+(-1)2=(2c)2,即16=4c2,解得c=2(舍负), 故双曲线C2的离心率e2==2,因此A正确; 对于B,设|PF1|=s,|PF2|=t,s>0,t>0,由椭圆的定义,得s+t=2a①,由双曲线的定义,得s-t=2m②,联立①②,解得s=a+m,t=a-m, 因为PF1⊥PF2,所以s2+t2=4c2,即(a+m)2+(a-m)2=4c2,化简得a2+m2=2c2, 根据e1===,不妨设a=R,c=2R,R>0, 代入a2+m2=2c2得7R2+m2=8R2,所以m=R, 则双曲线C2的离心率e2===2,因此B正确; 对于C,由B中分析知a2+m2=2c2,则+=2,由基本不等式得2=+≥,所以e1e2≥1,当且仅当e1=e2=1时取等号,又椭圆和双曲线的离心率不可能相等,故等号取不到,因此C错误; 对于D,设圆I与边PF1,PF2,F1F2分别切于点N,K,M,则IM⊥x轴,|PN|=|PK|,|F1N|=|F1M|,|F2M|=|F2K|, 因为|PF1|-|PF2|=2m,所以|PN|+|F1N|-|PK|-|F2K|=2m,所以|F1N|-|F2K|=2m,即|F1M|-|F2M|=2m,而E(m,0),F1(-c,0),F2(c,0),所以|F1E|-|F2E|=(m+c)-(c-m)=2m,所以M与E重合,所以IE⊥x轴,因此D正确. 7.答案　 解析　设△OAB的内切圆的圆心为M,则M在∠AOB的平分线Ox上,过点M分别作MN⊥OA于N,MT⊥AB于T,如图, 结合FA⊥OA,|MN|=|MT|得四边形MTAN为正方形,由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b,又|OF|=c,所以|OA|=a, 又|NA|=|NM|=a,所以|NO|=a, 所以=tan∠AOF=tan∠NOM==,从而可得e===. 8.答案　 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 又F1(-c,0),F2(c,0), 所以=(x2-c,y2),=(x1+c,y1). 因为=3, 所以即 因为A,B在双曲线上, 所以整理得=-8,则x1=-. 易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,因为该圆过点A,所以+=c2②. 又c2=a2+b2③,所以联立①②③,得则=(c2+b2)=(2c2-a2),所以=(2c2-a2), 整理得2c4-7a2c2+5a4=0,则2e4-7e2+5=0,解得e2=或e2=1(舍去), 所以e=. 9.A　由题意得E的半焦距c==,A(0,1),F(,0), 作BH⊥OF于点H,如图,设|BH|=t, 易得tan∠AFO==-tan∠AFx=-kAF=,解得|HF|=t,故B(-t,t), 将B点坐标代入x2-y2=1,得2(1-t)2-t2=1,化简得t2-4t+1=0,又0<|BH|<|OA|,即0<t<1,所以t=2-. 易得△BHF∽△AOF, 所以===2-. 10.AC　依题意可作示意图如下: 易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 直线MN的方程为y=x, 联立得或 故M(a,b),N(-a,-b), 又因为A1(-a,0),A2(a,0), 所以=(-2a,-b),=(0,-b), 所以·=b2,||=,||=b, 又因为∠A1MA2=,所以b=b2, 从而得4a2=3b2,所以c2=a2+b2=. 对于A,由对称性可得四边形MA1NA2为平行四边形, 因为∠A1MA2=, 所以∠MA2N=,故A正确; 对于B,e2==, 又因为e>0,所以e=,故B错误; 对于C,因为||===2b,||=b, 所以|MA1|=2|MA2|,故C正确; 对于D,当a=1时,b=,c=, 所以|F1F2|=2c=, 所以=×2c×b=bc=, 所以四边形NF1MF2的面积S=2=,故D错误. 11.AC　对于A,等轴双曲线的离心率为,所以A正确; 对于B,在△PAB中,结合正弦定理可知==, 显然π-β,α均为锐角且随着x0的增大分别减小和增大, 则sin(π-β),sin α均为正数且随着x0的增大分别减小和增大, 所以的值随着x0的增大而减小,所以B错误; 对于C,由P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点(异于B点),可知-=4,x0>2, 又A(-2,0),B(2,0),所以tan α·tan β=-kPAkPB=-·=-=-1,所以C正确; 对于D,双曲线C:x2-y2=4的渐近线方程为y=±x, 则d1·d2=·==2,所以D错误. 12.答案　6 解析　由椭圆+=1知F1(-4,0),F2(4,0),所以a2+b2=16. 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x. 以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=16. 由得(a2+b2)x2=16a2, 所以x2=a2,所以N(a,b). 记线段NF1的中点为P,则P. 由题知点P在渐近线y=-x上,所以=-×,解得a=2, 所以b=2, 所以双曲线C的方程为-=1. 由得所以M(,3), 所以△OMF2的面积为|OF2|·yM=×4×3=6. 13.解析　(1)易知椭圆+=1的离心率为=, 因为双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数, 所以双曲线C的离心率为3. (2)因为双曲线C的焦点与椭圆+=1的焦点重合,椭圆的半焦距c1==3, 所以双曲线C的半焦距c2=3, 由(1)知=3,故a=1,b2=-a2=8, 则双曲线C的方程为x2-=1. 由F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为其右支上任意一点,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,即|PF1|=2+|PF2|, 所以===+|PF2|+4,因为|PF2|≥c2-a=2, 所以+|PF2|+4≥2+4=8, 当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2时,等号成立, 则的最小值为8. 7 学科网（北京）股份有限公司 $