3.3.2　第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的标准方程及性质应用，核心内容包括直线与抛物线的位置关系、轨迹问题及综合应用。通过复习上节课抛物线几何性质导入，以类比椭圆、双曲线位置关系为支架，衔接新旧知识，引导学生逐步深入。 其亮点在于以数学思维为核心，通过例1联立方程用判别式分析位置关系，培养推理与运算能力；例3结合几何性质与代数推理证明直线过定点，体现数学语言表达。采用讲练结合，小结梳理方法与误区，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富例题资源。

抛物线的标准方程及 性质的应用 第三章　3.3.2　第2课时 学习目标 1.了解抛物线的简单应用. 2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.(难点) 上节课我们研究了抛物线的简单几何性质，这节课我们继续探究直线与抛物线的位置关系及弦长问题. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 与抛物线有关的轨迹问题 直线与抛物线的综合问题 随堂演练 直线与抛物线的位置关系 04 课时对点练 01 直线与抛物线的位置关系 问题 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系. 提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交. 设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k=0，直线与抛物线有　　　公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 知识梳理 Δ>0 Δ=0 Δ<0 一个 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 注意点 8 　已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 例1 联立消去y， 得k2x2+(2k-4)x+1=0. (*) 当k=0时，(*)式只有一个解x=， 此时l与C只有一个公共点. 当k≠0时，(*)式是一个关于x的一元二次方程， Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， 解： 9 　已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 例1 l与C有两个公共点； ②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点. 综上所述，当k=1或0时，l与C只有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 解： 10 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点. 反思感悟 11 　已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线C的公共点的情况. 跟踪训练1 (1)若直线l的斜率存在，记为k. 又直线l过定点(0，-2)， 则直线l的方程为y=kx-2. ① 由方程组 ② 消去y，并整理得k2x2-(4k+2)x+4=0. ③ (ⅰ)当k=0时，由方程③得x=2，代入方程①，得y=-2. 此时，直线l与抛物线C只有一个公共点(2，-2). 解： 12 　已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线C的公共点的情况. 跟踪训练1 (ⅱ)当k≠0时，方程③的判别式Δ=-4·k2·4=16k+4. 若Δ>0，解得k>-，且k≠0，此时方程③有两个不相等的实数根，即直线 l与抛物线C有两个公共点. 若Δ=0，解得k=-，此时方程③有两个相等的实数根，即直线l与抛物线C 有一个公共点. 若Δ<0，解得k<-，此时方程③无实数根，即直线l与抛物线C没有公共点. 解： 13 　已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线C的公共点的情况. 跟踪训练1 (2)若直线l的斜率不存在，这时直线l即为y轴所在直线，它与抛物线y2=2x相切，有一个公共点. 综上可得，当k=0或k=-或直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线C只有一 个公共点； 当k>-且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点； 当k<-时，直线l与抛物线C没有公共点. 解： 14 02 与抛物线有关的轨迹问题 　(课本例6)如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 例2 解： 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m). 由题意，直线OB的方程为y=-x. ① 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①， 得m=-x， ② 所以点P的横坐标x满足②. 直线OE的方程为y=x， ③ 16 　(课本例6)如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 例2 解： 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③. 将②代入③，消去m，得x2=-y(0≤x≤a)，即点P的轨迹方程. 17 已知动点P到直线x=-2的距离与到点M(2，0)的距离相等，设动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； 解： 例2 由已知得动点P的轨迹是以M(2，0)为焦点，直线x=-2为准线的抛物线， 所以曲线E的方程为y2=8x. 18 已知动点P到直线x=-2的距离与到点M(2，0)的距离相等，设动点P的轨迹为曲线E. (2)过点N(4，0)的直线l交E于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为32，求直线l的方程. 解： 例2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然直线l的斜率不为0， 故可设直线l：x=my+4， 联立⇒y2-8my-32=0， 则Δ=(-8m)2-4×(-32)=64(m2+2)>0， y1+y2=8m，y1y2=-32， 19 已知动点P到直线x=-2的距离与到点M(2，0)的距离相等，设动点P的轨迹为曲线E. (2)过点N(4，0)的直线l交E于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为32，求直线l的方程. 解： 例2 所以|AB|=|y1-y2|=·=8， 原点O到直线l的距离d==， 所以S△OAB=|AB|·d=×8×=16=32，解 得m=±， 所以直线l的方程为x+y-4=0或x-y-4=0. 20 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程. (2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程. 反思感悟 21 　已知动点P在抛物线y2=-4x上，过点P作y轴的垂线，垂足为H，动点Q满足=2，求动点Q的轨迹方程. 跟踪训练2 解： 设点P(x0，y0)，Q(x，y)，则点H(0，y0)， 所以=(-x0，0)，=2=(-2x0，0)， 所以点Q的坐标为(-x0，y0)，即代入抛物线得动点Q的轨迹方程 为y2=4x. 22 03 直线与抛物线的综合问题 (课本例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 例3 证明： 如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点， 建立平面直角坐标系Oxy. 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， ① 点A的坐标为(y0≠0)， 则直线OA的方程为y=x， ② 抛物线的准线方程是x=-. ③ 24 (课本例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 例3 证明： 联立②③，可得点D的纵坐标为-. 因为焦点F的坐标是，当≠p2时， 直线AF的方程为y=. ④ 联立①④，消去x，可得y0y2-(-p2)y-y0p2=0， 即(y-y0)(y0y+p2)=0，可得点B的纵坐标为-，与点D的纵坐标相等，于是 DB平行于x轴. 25 (课本例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 例3 证明： 当=p2时，易知结论成立. 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴. 26 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (1)求证：直线AB必过一定点； 例3 方法一　由题设可知直线OA，OB的斜率都存在且不等于0， 设直线OA的方程为y=kx(k≠0)， 则直线OB的方程为y=-x， 由解得或即点A的坐标为， 同理可得B(2k2，-2k)， 证明： 27 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (1)求证：直线AB必过一定点； 例3 ∴当≠2k2，即k≠±1时，直线AB的方程为y+2k=(x-2k2)， 化简并整理，得y=x-2， 当x=2时，恒有y=0，此时直线AB过定点(2，0)， 当=2k2，即k=±1时，直线AB的方程为x=2，过点(2，0)， 综上，直线AB过定点(2，0). 证明： 28 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (1)求证：直线AB必过一定点； 例3 方法二　易知直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x=my+n， 由得y2-2my-2n=0， Δ=4m2+8n>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y1+y2=2m，y1y2=-2n， ∴x1x2==n2，∵∠AOB=90°，即OA⊥OB， 证明： 29 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (1)求证：直线AB必过一定点； 例3 ∴·=x1x2+y1y2=n2-2n=0， ∴n=2或n=0， 当n=0时，直线AB的方程为x=my，过原点，不符合题意； 当n=2时，直线AB的方程为x=my+2，符合题意. ∴直线AB过定点(2，0). 证明： 30 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (2)求△AOB面积的最小值. 例3 由(1)中的方法二知，直线AB的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为P(2，0). 由消去x并整理得y2-2my-4=0，Δ>0恒成立， ∴y1+y2=2m，y1y2=-4， 于是|y1-y2|====2， 解： 31 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (2)求△AOB面积的最小值. 例3 S△AOB=|OP|×|y1-y2| =×2×2 =2， ∴当m=0时，△AOB的面积取得最小值为4. 解： 32 (1)定值与定点问题的求解策略 ①欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值. ②寻求一条直线经过某个定点的常用方法：(ⅰ)通过方程判断；(ⅱ)对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；(ⅲ)利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；(ⅳ)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等. (2)解决有关最值问题：一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思路是代数法，转化为函数求最值. 反思感悟 33 　已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与 抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点. (1)求抛物线E的方程； 跟踪训练3 解： 由题意，设抛物线的方程为x2=2py(p>0)， 因为抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5， 所以4+=5，解得p=2， 所以抛物线的方程为x2=4y. 34 　已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点. (2)探究|AC|·|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不 是，请说明理由. 跟踪训练3 解： 由(1)知，抛物线的焦点为F(0，1)，恰好为圆x2+(y-1)2=1的圆心，易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点， 根据抛物线的定义可得，|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，又|CF|=|DF|=1， 35 　已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m，4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点. (2)探究|AC|·|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不 是，请说明理由. 跟踪训练3 解： 则|AC|·|BD|=(|AF|-1)·(|BF|-1)=y1y2， 由得x2-4kx-4=0，所以x1x2=-4， 因此|AC|·|BD|=y1y2=·==1， 即|AC|·|BD|为定值1. 36 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与抛物线的位置关系. (2)与抛物线有关的轨迹问题. (3)直线与抛物线的综合问题. 2.方法归纳：直接法、定义法、代数法. 3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. 37 04 随堂演练 1 2 3 4 1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 √ 解析： 当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，此时直线l与抛物线相交.当直线l的斜率存在，且直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切. 2.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 √ 解析： 依题意可知动点P(x，y)在直线x+2=0的右侧， 设P到直线x+2=0的距离为d， 则|PF|=d+1， 所以动点P到F(3，0)的距离与到x+3=0的距离相等，其轨迹为抛物线. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知F是抛物线x2=4y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|= 6，则线段AB的中点到x轴的距离为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点坐标为(x0，y0)，则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1 +y2+2=6，解得y1+y2=4，所以y0==2，所以线段AB的中点到x轴的距离为2. 1 2 3 4 4.已知直线y=x+b交抛物线y=于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥ OB，则b等于 A.2 B.3 C.1 D.4 解析： 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得x2-2x-2b=0， 则Δ=4+8b>0，可得b>-，x1x2=-2b，由题意可知b≠0. 因为OA⊥OB，所以·=x1x2+y1y2=x1x2+=-2b+b2=0，解得b=2. √ 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D D B ACD 4 题号 9 11 12 13 答案 2 A BD B 10. 由题意，得点F. 易知直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x=my+，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为BC∥x轴，则点C. 联立消去x并整理，得y2-2mpy-p2=0，则y1y2=-p2， 所以kCO======kAO， 所以直线AC经过原点O. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)当AC⊥x轴时，λ=，可得=，则xA=xC=1，yA-1=(1-yC)， 又yA=-yC=，所以p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 由=λ，可得则 因为点A，C在抛物线y2=4x上，可得 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将代入得 整理得(1+λ)-2(1+λ)y1=3λ2+2λ-1，又1+λ>1，可得-2y1=3λ-1， 同理可得-2y2=3λ-1， 所以y1，y2是关于y的方程y2-2y=3λ-1的两个不相等的根，所以y1+y2=2， 所以kAB====2，为定值. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由题意可知F， 则该直线方程为y=x-， 代入y2=2px(p>0)， 得x2-3px+=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=3p. ∵|MN|=8， ∴x1+x2+p=8， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即3p+p=8，解得p=2， ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x， 得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C的切线， ∴Δ=0，解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1，直线MN的方程为y=x-1，则y1+y2=x1-1+x2-1=4， y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4， 设P(m，m+1)， 则=(x1-m，y1-(m+1))， =(x2-m，y2-(m+1))， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2 =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m=2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为-14. 15. 13 14 15 1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的值为 A.1 B.9 C.1或0 D.1或3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由得k2x2+(4k-8)x+4=0， 因为直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点， 所以k2=0或 解得k=0或k=1. 2.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为 A.y2=8x B.y2=2x C.y2=x D.y2=x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 抛物线C：y2=2px(p>0)， 令x=2得y2=4p， 解得y=±2， 不妨设D(2，2)，E(2，-2)， 因为OD⊥OE， 所以·=2×2-4p=0， 解得p=1，故C的标准方程为y2=2x. 3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是 A. B. C. D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法一　设与抛物线相切， 且与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为 4x+3y+m=0(m≠-8). 与抛物线y=-x2联立， 消去y可得3x2-4x-m=0， 由题意知，Δ=16+12m=0， ∴m=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∴最小值为两平行线之间的距离 d==. 方法二　设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)， 该点到直线4x+3y-8=0的距离为，当m=时，取得最小值. 4.已知直线y=x-2与抛物线C：x2=2py(p>0)相切，则抛物线的焦点到准线的距离为 A. B.2 C.3 D.4 √ 解析： 联立方程组整理得x2-2px+4p=0， 因为直线y=x-2与抛物线C：x2=2py相切， 则Δ=(-2p)2-4×4p=0，解得p=4或p=0， 因为p>0，所以p=4，所以抛物线的焦点到准线的距离为4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，则线段PQ的中点的轨迹方程为 A.y=4x-1 B.y2=-+1 C.y2=-1 D.y2=4(x-2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 若直线PQ与x轴重合，则直线PQ与抛物线y2=8x只有一个交点，不符合题意， 故可设直线PQ的方程为x=my+2，联立可得y2-8my-16=0， 则Δ=64m2+64>0，y1+y2=8m，所以x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4， 设线段PQ的中点为E(x，y)，则x=4m2+2，y=4m，则m=， 所以x=4×+2，化简可得y2=4(x-2). 因此，线段PQ的中点的轨迹方程为y2=4(x-2). 6.已知点P(1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过点P作直线l1，l2，与抛物线分别交于不同于点P的A，B两点.若直线l1，l2的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为 A.-2 B.-1 C.- D.不存在 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得2p=4，p=2，∴抛物线的方程为y2=4x， ∴kPA===， kPB===， 又kPA+kPB=0，即=-， ∴y1+y2=-4， ∴kAB===-1. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法二　将点P(1，2)代入抛物线方程y2=2px(p>0)，得2p=4， ∴抛物线C：y2=4x. 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=0， 直线l1的方程为y=k1(x-1)+2，与抛物线的方程y2=4x联立， 消去y整理得，x2-(2-4k1+4)x+-4k1+4=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P(1，2)， ∴x1=，代入直线l1的方程，得y1=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 即A， 同理可得B， 又k1+k2=0，则B， ∴直线AB的斜率为 k====-1. 7.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则 A.焦点F的坐标为(1，0) B.过点A(-1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8 D.若抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则|MN|=4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题可知抛物线C的方程为y2=4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确； 对于B，过点A(-1，0)可作抛物线的2条切线，且直线y=0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A(-1，0)共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误； 对于C，由得y2+4y-4=0， 设弦的两个端点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则y1+y2=-4，y1y2=-4， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以弦长|DE|=|y1-y2|=· =×=8，故C正确； 对于D，由得x2+4x-5=0， 解得x=1或x=-5(舍去)， 将x=1代入y2=4x，得y=±2， 故交点为(1，±2)， 所以|MN|=4，故D正确. 8.已知抛物线C：x2=4y，F为其焦点，若直线l：y=x+1与抛物线C在第一象限交于点M，则|MF|=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意得F(0，1)，p=2，准线方程为y=-1， 对于直线l：y=x+1，当x=0时，y=1， 即直线l过点F(0，1)， 联立得3y2-10y+3=0， 解得y=3或y=， 由于M在第一象限， 且l：y=x+1的斜率大于0，故M的纵坐标为3，则|MF|=yM+=3+1=4. 9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|=16，则p=　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F， 准线方程为x=-，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴直线AB的方程为y=x-， 代入y2=2px可得x2-3px+=0， ∴x1+x2=3p，x1x2=， 由抛物线的定义可知，|AF|=x1+， |BF|=x2+， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∴|AF|·|BF|= =x1x2+(x1+x2)+ =+p2+ =2p2=16， 解得p=2. 10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，得点F. 易知直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x=my+，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为BC∥x轴，则点C. 联立消去x并整理，得y2-2mpy-p2=0，则y1y2=-p2， 所以kCO======kAO， 所以直线AC经过原点O. 证明： 11.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x+4y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为 A.2 B. C. D.3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由 得3y2+16y+48=0，Δ=256-4×3×48<0，故方程无解， ∴直线3x+4y+12=0与抛物线相离. 又d1+d2=d1+1+d2-1， 而d1+1为P到准线x=-1的距离， 故d1+1为P到焦点F(1，0)的距离， 从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离， 即=3，故d1+d2的最小值为2. 12.(多选)设拋物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点P(0，3)的直线与抛物线E相交于A，B两点，与x轴相交于点C，|AF|=2，|BF|=10，则 A.E的准线方程为y=-2 B.p的值为2 C.|AB|=4 D.△BFC的面积与△AFC面积的比值为9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设直线AB的方程为y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得x2-2pkx-6p=0， 所以x1+x2=2pk，x1x2=-6p， 因为x2=2py(p>0)，所以y=(p>0)， 故y1y2===9， 因为|AF|=2，|BF|=10，由抛物线定义可得 y1=2-，y2=10-， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 则=9，解得p=2或p=22， 因为y1=2->0，所以p=2，则E的准线方程为y=-1，故B 正确，A错误； 又E的方程为x2=4y，y1=2-=1，y2=10-=9， 把y1=1，y2=9分别代入x2=4y，得=4y1=4，=4y2=36，又x1x2=-12，、 不妨取A(-2，1)，B(6，9)，则|AB|=8，故C错误； 设点F到直线AB的距离为d，则S△BFC=|BC|d，S△AFC=|AC|d， 所以△BFC的面积与△AFC面积的比值为===9，故D正确. 13.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧)，过点M作MN⊥l，垂足为N，连接NF，交抛物线C于点Q，则等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图，由抛物线x2=4y，得F(0，1)， 设直线MF与l的交点为P，则∠FPN=30°， 则m的方程为y=x+1， 代入抛物线x2=4y， 得3x2-4x-12=0， 解得x1=-，x2=2， 因为M位于y轴的右侧，所以xM=2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为MN⊥l，∠MPN=30°，所以∠NMF=60°， 又因为|MN|=|MF|，所以△MNF为等边三角形， 所以∠MNF=60°，则∠PNF=30°， 所以△PNF为等腰三角形，所以|PF|=|NF|， 所以由抛物线的对称性可得xQ=-x1， 所以===. 14.如图所示，设抛物线E：y2=2px(p>0)，过抛物线E内一点M(1，1)的两条直线分别与抛物线交于点A，C和点B，D，且 满足=λ，=λ，其中λ>0，当AC⊥x轴时，λ=. (1)求抛物线E的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当AC⊥x轴时，λ=，可得=，则xA=xC=1，yA-1=(1-yC)， 又yA=-yC=，所以p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x. 解： 14.如图所示，设抛物线E：y2=2px(p>0)，过抛物线E内一点M(1，1)的两条直线分别与抛物线交于点A，C和点B，D，且满足= λ，=λ，其中λ>0，当AC⊥x轴时，λ=. (2)当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 由=λ，可得则 因为点A，C在抛物线y2=4x上，可得 解： 14.如图所示，设抛物线E：y2=2px(p>0)，过抛物线E内一点M(1，1)的两条直线分别与抛物线交于点A，C和点B，D，且满足= λ，=λ，其中λ>0，当AC⊥x轴时，λ=. (2)当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将代入得 整理得(1+λ)-2(1+λ)y1=3λ2+2λ-1，又1+λ>1，可得-2y1=3λ-1， 同理可得-2y2=3λ-1， 解： 14.如图所示，设抛物线E：y2=2px(p>0)，过抛物线E内一点M(1，1)的两条直线分别与抛物线交于点A，C和点B，D，且满足= λ，=λ，其中λ>0，当AC⊥x轴时，λ=. (2)当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以y1，y2是关于y的方程y2-2y=3λ-1的两个不相等的根，所以y1+y2=2， 所以kAB====2，为定值. 解： 15.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (1)求抛物线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 由题意可知F， 则该直线方程为y=x-， 代入y2=2px(p>0)， 得x2-3px+=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=3p. 解： 15.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (1)求抛物线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵|MN|=8， ∴x1+x2+p=8， 即3p+p=8，解得p=2， ∴抛物线C的方程为y2=4x. 解： 15.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x， 得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C的切线， ∴Δ=0，解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 解： 15.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1，直线MN的方程为y=x-1，则y1+y2=x1-1+x2-1=4， y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4， 设P(m，m+1)， 则=(x1-m，y1-(m+1))， =(x2-m，y2-(m+1))， 解： 15.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2 =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m=2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为-14. 解： THANKS 本课结束 $