3.2.1　第1课时　双曲线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及推导过程，通过歌曲《悲伤的双曲线》导入，类比椭圆知识，结合两圆交点轨迹问题情境，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色是注重数学思维与语言表达，通过类比椭圆推导方程培养逻辑推理，用定义法、待定系数法等例题规范表达，课堂小结与分层训练帮助学生巩固，教师可直接用于教学提升效率。

双曲线及其标准方程 第三章　3.2.1　第1课时 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(难点) 2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(重点) 同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌？这首歌的创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给作者带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 双曲线的标准方程及其推导过程 双曲线方程的设法 随堂演练 双曲线的定义 04 课时对点练 01 双曲线的定义 问题 1 提示　如题图，曲线上的点满足条件=常数. 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||≤|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆. 如图，在|AB|<|F1F2|≤|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？ 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做　　　　.这两个定点叫做双曲线的 　　，两焦点间的距离叫做双曲线的　　　. 知识梳理 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. 注意点 9 　已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为 A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 例1 √ 10 解析： |AB|=10，当a=3时，2a=6， 此时2a<|AB|， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 11 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件来判断. 反思感悟 12 　 (多选)在平面直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(2，0)，P是一个动点，则 A.若|PA|+|PB|=6，则点P的轨迹为椭圆 B.若|PA|-|PB|=2，则点P的轨迹为双曲线 C.若|+|=|-|，则点P的轨迹为直线 D.若|||-|||=4，则点P的轨迹为两条射线 跟踪训练1 √ √ 13 解析： 易知|AB|=4，对于A，|PA|+|PB|=6>|AB|，则点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，A正确； 对于B，|PA|-|PB|=2<|AB|，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，B错误； 对于C，由|+|=|-|，得·=0，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，C错误； 对于D，|||-|||=4=|AB|，则点P的轨迹是在直线AB上，分别以A，B为端点，且不过B，A的两条射线，D正确. 14 02 双曲线的标准方程及其推导过程 问题 2 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程呢？ 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示， 此时双曲线的焦点分别为F1(-c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上任意一点，则 ||PF1|-|PF2||=2a(0<a<c)， 因为|PF1|=， |PF2|=， 所以-=±2a， ① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)x2-a2y2 =a2(c2-a2)，两边同除以a2(c2-a2)，得-=1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2-a2>0，类比 椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代入上式，得-=1 (a>0，b>0). 问题 3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a，其中c>a>0 ，以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平 分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图 所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示　-=1(a>0，b>0). 双曲线的标准方程 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 _________________ __________________ 焦点 __________________ __________________ a，b，c的关系 b2=_____ -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) c2-a2 注意点 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2=a2+b2. 21 　焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标 准方程为　　　　. 例2 x2-=1 22 解析： 方法一　(定义法) 所求双曲线的焦点在x轴上， 且c=2，2a=||MF1|-|MF2|| =|-|=2， ∴a=1，∴b2=c2-a2=3. ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 23 解析： 方法二　(待定系数法) 所求双曲线的焦点在x轴上， 所求方程可设为-=1(a>0，b>0)， 则解得 ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 24 (1)利用定义求双曲线标准方程时，应先确定焦点的位置，再确定a，b，c的值，即先定位，后定量. (2)用待定系数法求双曲线方程的步骤 ①根据条件确定焦点在哪个坐标轴上. ②设方程-=1或-=1(a>0，b>0). ③列出关于a，b的方程(组). ④解方程(组)，得所求双曲线方程. 反思感悟 25 　已知双曲线的一个焦点为F(-，0)，点P在该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是 A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 跟踪训练2 √ 26 解析： 由线段PF的中点坐标为(0，2)知P(，4)， 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则解得 所以该双曲线的标准方程为x2-=1. 27 03 双曲线方程的设法 (1)求经过点(2，)，(-，2)的双曲线的标准方程； 例3 解： 方法一　当双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为-=1(a>0，b>0)， 则解得 所以双曲线的标准方程为x2-y2=1； 当双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为-=1(a>0，b>0)， 则此时无解，综上，所求双曲线的标准方程为x2-y2=1. 29 (1)求经过点(2，)，(-，2)的双曲线的标准方程； 例3 解： 方法二　设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)，因为其过点(2，)，(-，2)， 故可得 解得 故所求双曲线的标准方程为x2-y2=1. 30 (2)若双曲线C与双曲线-=1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的标准方程. 例3 解： 设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16)， 由于双曲线C过点(3，2)，所以-=1， 解得λ=4或λ=-14(舍去)， 所以所求双曲线C的标准方程为-=1. 31 (1)若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论. (2)与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-= 1(-a2<λ<b2)；与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2). 反思感悟 32 　已知双曲线中，c=，且经过点(-5，2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程. 跟踪训练3 解： 方法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则有解得 故所求双曲线的标准方程为-y2=1. 方法二　∵焦点在x轴上，c=， ∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). 33 　已知双曲线中，c=，且经过点(-5，2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程. 跟踪训练3 解： ∵双曲线经过点(-5，2)，∴-=1， 解得λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是-y2=1. 34 课堂小结 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程及其推导过程. (3)双曲线方程的设法. 2.方法归纳：待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件. 35 04 随堂演练 1 2 3 4 1.已知点M(-2，0)，N(2，0)，动点P满足|PM|-|PN|=4，则动点P的轨迹方程为 A.-=1(x≥2) B.-=1(x≤-2) C.-=1(x≥4) D.-=1(x≤-4) √ 1 2 3 4 解析： |MN|=4，由|PM|-|PN|=4<4=|MN|， 结合双曲线定义可知动点P的轨迹是以M(-2，0)，N(2，0)为焦点的双曲线的右支，在双曲线中2a=4，2c=4， 可得a=2，c=2， 所以b2=c2-a2=20-4=16， 故动点P的轨迹方程为-=1(x≥2). 2.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是 A.-2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 √ 解析： ∵已知方程表示双曲线， ∴(2+m)(2-m)>0. 解得-2<m<2. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为 A.1 B.1或-2 C.1或 D. √ 解析： 由题意知解得a=1. 1 2 3 4 4.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，且过A(-2，1)和B两点，则曲线 C的标准方程为　　　　. -y2=1 1 2 3 4 解析： 设曲线C的方程为mx2+ny2=1(m，n同正且不相等或m，n异号)，代入点A(-2， 1)，点B， 得 解得 所以曲线C为双曲线， 其标准方程为-y2=1. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B D D A x2-=1 题号 9 11 12 13 15 16 答案 -=1 B AB x2-=1 x=4 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由a=2，经过点A(2，-5)，可得-=1，解得b=4， 故双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)， 则由题得解得 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以双曲线的标准方程为-=1. (3)椭圆+=1的两个焦点为F1(0，-3)，F2(0，3)， 故该双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 令y=4，则有+=1，解得x=±， 故有解得 故双曲线的标准方程为-=1. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)如图，连接QA，OA. 因为l为PA的垂直平分线，所以|QA|=|QP|， 所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=r为定值， 又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|=r， 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，2a=r的双曲线. (2)对于方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)， 当m=1时，方程为2y2=0，即y=0，表示x轴； 当m=3时，方程为2x2=0，即x=0，表示y轴； 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当m≠1且m≠3时，方程为+=1， 若3-m=m-1，即m=2时，方程为x2+y2=1，表示以原点为 圆心的单位圆； 若(m-1)(3-m)<0，即m<1或m>3时，方程表示双曲线； 若(m-1)(3-m)>0且3-m≠m-1时，即1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆. 综上，当m=1时，表示x轴；当m=3时，表示y轴； 当m=2时，方程表示以原点为圆心的单位圆； 当m<1或m>3时，方程表示双曲线；当1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆. 14. 13 14 15 16 1.已知定点A(0，-3)，B(0，3)，动点P满足|PA|-|PB|=4，则动点P的轨迹为 A.双曲线的上支 B.双曲线的下支 C.双曲线的左支 D.y轴负半轴上的射线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由定点A(0，-3)，B(0，3)，可得其在y轴上，且|AB|=6， 又|PA|-|PB|=4<|AB|=6， 根据双曲线的定义得，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的上支. 16 2.若双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为 A. B. C. D.(，0) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 将双曲线方程化为标准方程为x2-=1， ∴a2=1，b2=， ∴c2=a2+b2=， ∴c=，故右焦点坐标为. 16 √ 3.过点(2，2)且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 解析： 椭圆9x2+3y2=27可化为+=1，可知椭圆焦点在y轴上，且c==， 故可设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，依题意得 解得故所求的双曲线方程为-=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.双曲线-=1上一点P到其一个焦点F1的距离等于8，则点P到其另一个焦点F2的距离为 A.20 B.16 C.8 D.4 √ 解析： 由双曲线-=1，得a=4，b=2，c=6， 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8，即|8-|PF2||=8， 解得|PF2|=16或|PF2|=0(舍去). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若ab≠0，则直线ax-y+b=0和+=1所表示的曲线只可能是图中的 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为ab≠0，所以当a<0，b<0时，+=1不表示任何曲线；当a>0，b<0时，+=1表示焦点在x轴上的双曲线，ax-y+b=0表示过第一、三、四 象限的直线，故D正确； 当a<0，b>0时，+=1表示焦点在y轴上的双曲线，ax-y+b=0表示过第 一、二、四象限的直线，故B不正确； 当a>0，b>0且a≠b时，+=1表示椭圆，ax-y+b=0表示过第一、二、三 象限的直线，故A，C不正确. 16 6.当0°≤α≤180°时，方程x2cos α+y2=1表示的曲线不可能是 A.圆 B.直线 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的双曲线 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 对于方程x2cos α+y2=1， 当α=0°时，cos α=1，方程为x2+y2=1表示圆心在原点，半径为1的圆； 当0°<α<90°时，0<cos α<1，则>1， 此时方程x2cos α+y2=1，即+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆； 当α=90°时，cos α=0，方程为y2=1，即y=±1表示两条直线； 当90°<α≤180°时，-1≤cos α<0，则-≥1， 此时方程x2cos α+y2=1，即y2-=1表示焦点在y轴上的双曲线. 13 14 15 16 7.已知一个动圆P与两圆C1：(x+3)2+y2=1和C2：(x-3)2+y2=9都外切，则动圆P的圆心的轨迹方程为 A.x2-=1(x≤-1) B.x2-=1 C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≥1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意易知两圆圆心分别为C1(-3，0)，C2(3，0)，半径分别为r1=1，r2=3， 设动圆P的圆心P(x，y)，半径为r， 则根据题意有⇒|PC2|-|PC1|=r2-r1=2<|C1C2|=6， 根据双曲线的定义知P的轨迹是分别以C1(-3，0)，C2(3，0)为左、右焦点， 且a=1的双曲线的左支，故b2=c2-a2=9-1=8，所以其轨迹方程为x2-=1(x ≤-1). 16 8.如图，Rt△ABC的CA与CB的边长分别为6，8，CA⊥CB，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B 为焦点，且过点C的双曲线方程为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x2-=1 解析： 设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 由题意得|AB|=10，则c=5， |CB|-|CA|=2=2a，则a=1，b2=c2-a2=24， 所以双曲线的方程为x2-=1. 16 9.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，-3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互 相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -=1 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设焦点为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)， 则由QF1⊥QF2， 得·=-1， ∴·=-1，∴c=5. 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点P(4，-3)， ∴-=1， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 又∵c2=a2+b2=25， ∴a2=16，b2=9. ∴双曲线的标准方程为-=1. 16 10.求下列双曲线的标准方程： (1)a=2，经过点A(2，-5)，焦点在y轴上； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由a=2，经过点A(2，-5)， 可得-=1，解得b=4， 故双曲线的标准方程为-=1. 解： 13 14 15 16 10.求下列双曲线的标准方程： (2)过M(1，1)，N(-2，5)两点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)， 则由题得解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 解： 13 14 15 16 10.求下列双曲线的标准方程： (3)与椭圆+=1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 椭圆+=1的两个焦点为F1(0，-3)，F2(0，3)， 故该双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 令y=4，则有+=1，解得x=±， 故有解得 故双曲线的标准方程为-=1. 解： 13 14 15 16 11.已知方程-=1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 A.(5，+∞) B.(-2，2)∪(5，+∞) C.(-2，2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为方程对应的图形是双曲线， 所以(k-5)(|k|-2)>0. 即或 解得k>5或-2<k<2. 16 12.(多选)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)上的两点A1(-a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，-b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为 A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 解析： ∵四边形A1PA2Q的面积为2， ∴×2a×2b=2，得ab=. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r， 则2πr=，解得r=， 又4×cr=2，∴c=. 又∵c2=a2+b2=3， 得或 ∴双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知双曲线Γ：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°， 则a=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 由余弦定理得|AB|2=|AF1|2+|BF1|2-2|AF1||BF1|cos∠AF1B=82+52-2×8×5× =49，所以|AB|=7， 又|AF2|=8-2a，|BF2|=5-2a，0<a<， 所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a=7， 解得a=. 14.(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 如图，连接QA，OA. 因为l为PA的垂直平分线，所以|QA|=|QP|， 所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=r为定值， 又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|=r， 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，2a=r的双曲线. (2)当m变化时，指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 对于方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)， 当m=1时，方程为2y2=0，即y=0，表示x轴； 当m=3时，方程为2x2=0，即x=0，表示y轴； 当m≠1且m≠3时，方程为+=1， 若3-m=m-1，即m=2时，方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心的单位圆； 若(m-1)(3-m)<0，即m<1或m>3时，方程表示双曲线； 若(m-1)(3-m)>0且3-m≠m-1时，即1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆. (2)当m变化时，指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 综上，当m=1时，表示x轴； 当m=3时，表示y轴； 当m=2时，方程表示以原点为圆心的单位圆； 当m<1或m>3时，方程表示双曲线； 当1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆. 15.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|=|BC|= |CD|=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 x2-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为|AB|=|BC|=|CD|=2， 则点C的坐标为(1，0)， 将其代入双曲线方程，得a=1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 所以点在双曲线上， 得-=1，则b2=， 故所求双曲线的标准方程为x2-=1. 16 16.已知点P为双曲线-=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，且I始终在一条定直线上，则此定直线的方程为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x=4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图，设△PF1F2的内切圆与该三角形的切点分别为M，N，Q， ∴|PM|=|PN|，|MF1|=|F1Q|，|F2Q|=|NF2|， ∴|PF1|-|PF2|=(|PM|+|MF1|)-(|PN|+|NF2|) =|MF1|-|NF2|=|F1Q|-|F2Q|=2a， 又|F1Q|+|F2Q|=2c， ∴|F1Q|=a+c， ∴|OQ|=a=4，∴Q(4，0)， 又IQ⊥x轴，∴点I始终在直线x=4上. THANKS 本课结束 $