第三章 圆锥曲线的方程 章末复习 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆锥曲线章末复习，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系，通过知识网络梳理平面截圆锥的生成过程，搭建从定义到综合应用的学习支架，帮助学生构建系统知识脉络。 其亮点在于结合例题与跟踪训练，如通过抛物线与双曲线综合题培养数学运算，利用离心率求解强化逻辑推理，综合问题探究发展创新意识。采用讲练结合与反思总结，学生能提升解题能力，教师可直接应用于复习教学，提高效率。

章末复习课 第三章 知识网络 内容索引 01 02 03 圆锥曲线的几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线的定义及标准方程 04 圆锥曲线的综合问题 01 圆锥曲线的定义及标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：动点M的集合{M||MF1|+|MF2|=2a}，其中|F1F2|=2c，a，c为正常数，且a>c. (2)双曲线：动点M的集合{M|||MF1|-|MF2||=2a}，其中|F1F2|=2c，a，c为正常数，且a<c. (3)抛物线：动点M的集合{M||MF|=d}，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离. 2.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法. 3.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理、数学运算和直观想象的数学素养. 　(1)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　　　　. 例1 x2-=1 解析： 由题意得解得 则b2=c2-a2=3， 因此双曲线的方程为x2-=1. 6 　(2)设A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且|AB|= 2，动点P满足=+(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为 A.+=1 B.-=1 C.+=1 D.-=1 例1 √ 7 解析： 由题意可设A，B，P(x，y)， 则=，=，=(x，y)， 因为=+， 则可得 又因为|AB|==2， 8 解析： 则=2， 整理得+=1， 所以动点P的轨迹方程为+=1. 9 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决. 反思感悟 10 　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 跟踪训练1 √ 11 解析： 设点M(x，y)， 则P(x，y0)，P'(x，0)， 因为M为PP'的中点， 所以y0=2y，即P(x，2y)， 又P在曲线x2+y2=16(y>0)上， 所以x2+4y2=16(y>0)， 即+=1(y>0)， 即点M的轨迹方程为+=1(y>0). 12 (2)焦点为(0，6)，且与双曲线-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 　　　　 . -=1 解析： 由题意可设双曲线的方程为-y2=λ(λ<0)， ∴-=1，∴c2=-λ-2λ=36，∴λ=-12. 故双曲线的方程为-=1. 13 02 圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 15 　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 A. B. C. D. 例2 √ 16 解析： 由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2. 因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2+=|F1F2|2=12， 所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+)=16-12=4， 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2 -2|AF1||AF2|=12-4=8， 所以|AF2|-|AF1|=2， 因此对于双曲线有a=，c=， 所以C2的离心率e==. 17 (2)(2024·天津)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 18 解析： 由题意可知，∠F1PF2=90°， 又直线PF2的斜率为2， 可得tan∠PF2F1==2， 根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a， 得|PF1|=4a，|PF2|=2a， =|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2， 又=8，所以a2=2， 所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 =(4a)2+(2a)2=20a2=40. 19 解析： 又|F1F2|2=4c2，所以c2=10， 又a2+b2=c2，所以b2=8， 所以双曲线的方程为-=1. 20 求解离心率的两种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. (2)齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的思路及方法. 反思感悟 21 　(1)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|AF1|=13，|AB|=10，则C的 离心率为　　 . 跟踪训练2 22 解析： 由题可知A，B，F2三点的横坐标相等，不妨设点A在第一象限，将x=c代 入-=1， 得y=±，即A，B，故|AB|==10，则|AF2|==5， 又|AF1|-|AF2|=8=2a，则a=4，代入=5得b2=20， 故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e==. 23 (2)已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，则C的准线方程 为　　　 . x=- 24 解析： 抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F， ∵P为C上一点，PF与x轴垂直， ∴点P的横坐标为，代入抛物线方程得点P的纵坐标为±p， 不妨设P， ∵Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，∴点Q在焦点F的右侧， 又∵|FQ|=6， ∴Q，∴=(6，-p)， ∵PQ⊥OP，=，∴·=6×-p2=0， ∵p>0，∴p=3， ∴C的准线方程为x=-. 25 03 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，通过研究该一元二次方程的判别式与0的关系来确定直线和圆锥曲线公共点的情况，当然，还要注意二次项系数有没有为0的情况. 2.设直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 直线的斜率存在且为k，则弦长公式： |AB|=|x1-x2| =； 当k≠0时，弦长公式还可以写成 |AB|=|y1-y2| =. 3.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. 已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程； 例3 解： 由题设知 解得 ∴椭圆的方程为+=1. 29 已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程. 例3 解： 由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1， ∴圆心到直线l的距离d=， 由d<1得|m|<. ① ∴|CD|=2=2=. 30 已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程. 例3 解： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得x2-mx+m2-3=0， Δ=m2-4(m2-3)=12-3m2>0. ② 31 已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程. 例3 解： 由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3. ∴|AB|==. 由=，得=1， 解得m=±，经检验满足①②. ∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-. 32 将直线的方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程. (1)若方程为一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ>0⇔直线和圆锥曲线相交⇔直线和圆锥曲线有两个交点(或两个公共点)； ②Δ=0⇔直线和圆锥曲线相切⇔直线和圆锥曲线有一个切点(或一个公共点)； ③Δ<0⇔直线和圆锥曲线相离⇔直线和圆锥曲线无公共点. (2)若方程为一元一次方程(与双曲线或抛物线方程联立时可能出现)，则直线和圆锥曲线(双曲线或抛物线)有一个交点，但不相切. 反思感悟 33 　已知抛物线C：x2=2py(p>0)的准线与椭圆x2+=1相交所得的弦长为. (1)求抛物线C的方程； 跟踪训练3 解： 由已知，抛物线C的准线方程为y=-. 因为直线y=-与椭圆x2+=1相交所得的弦长为， 结合椭圆的对称性， 可得直线y=-与椭圆x2+=1的相交弦的一个端点坐标是， 将代入椭圆方程并化简得+=1，又p>0，解得p=2. 所以抛物线C的方程为x2=4y. 34 　已知抛物线C：x2=2py(p>0)的准线与椭圆x2+=1相交所得的弦长为. (2)若圆M过点A(0，2)，且圆心M在抛物线C上运动，BD是圆M在x轴上截得的弦.求证：弦BD的长为定值； 跟踪训练3 证明： 如图，作MN⊥x轴于点N，设圆心M的坐标为(x0，y0)， 由点M在抛物线C上，可知点M到x轴的距离为|MN|=|y0|， =4y0，则|MD|2=|MA|2=+(y0-2)2， |BD|=2=2=2=4， 故圆心M在抛物线C上运动时，弦BD的长为定值4. 35 　已知抛物线C：x2=2py(p>0)的准线与椭圆x2+=1相交所得的弦长为. (3)过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点G，H和点R，S，求四边形GRHS面积的最小值. 跟踪训练3 解： 由(1)知F(0，1). 易知，直线GH，RS的斜率存在且不为零， 如图，设直线GH，RS的方程分别为y=kx+1，y=-x+1， k≠0，G(x1，y1)，H(x2，y2)， 由得x2-4kx-4=0， 36 　已知抛物线C：x2=2py(p>0)的准线与椭圆x2+=1相交所得的弦长为. (3)过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点G，H和点R，S，求四边形GRHS面积的最小值. 跟踪训练3 解： 则Δ=16k2+16>0，x1+x2=4k， 则|GH|=2+y1+y2=2+kx1+1+kx2+1=4+4k2，同理可得|RS|=4+， 所以四边形GRHS的面积为|GH|·|RS|=(4+4k2) =8≥8=32， 当且仅当k2=，即k=±1时，等号成立， 所以四边形GRHS面积的最小值为32. 37 04 圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值(范围)、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.借用圆锥曲线的综合问题培养学生的逻辑推理能力和数学运算素养. 已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (1)求椭圆C1的方程； 例4 解： 依题意得c=2，则F1(-2，0)，F2(2，0)，而P(2，)， 于是2a=|PF1|+|PF2|=+=4，从而a=2. 又a2=b2+c2，解得b=2， 所以椭圆C1的方程为+=1. 40 已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (2)已知A，B为椭圆C1上不同的两点，且都在x轴上方，满足=λ. ①若λ=3，求直线F1A的斜率； 例4 解： 设直线F1A交椭圆于另一点B'，直线F2B交椭圆于另一点A'， 由=λ，故F1A∥F2B，由椭圆对称性，|BF2|=|B'F1|，|AF1|=|A'F2|，且四边形ABA'B'为平行四边形. 由题意，直线AB'的斜率不为0，设直线AB'：x=ty-2. 由 41 已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (2)已知A，B为椭圆C1上不同的两点，且都在x轴上方，满足=λ. ①若λ=3，求直线F1A的斜率； 例4 解： 消去x并整理得(t2+2)y2-4ty-4=0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B'(x2，y2)， 则y1+y2=，y1y2=-. 由=3⇒=-3⇒y1=-3y2， 代入上式，解得y1=，y2=， 42 已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (2)已知A，B为椭圆C1上不同的两点，且都在x轴上方，满足=λ. ①若λ=3，求直线F1A的斜率； 例4 解： 故-=-， 由于y1>0，所以t>0， 所以t=1，故直线F1A的斜率为1. 43 已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (2)已知A，B为椭圆C1上不同的两点，且都在x轴上方，满足=λ. ②若直线F1A与抛物线y2=x无交点，求四边形AF1F2B面积的取值范围. 例4 解： 由消去x并整理得y2-ty+2=0， 由Δ=(-t)2-8<0，得t2<8. 所以|AB'|=|y1-y2|==， AB'与BA'间的距离d=(即点F2到AB'的距离)， 44 已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (2)已知A，B为椭圆C1上不同的两点，且都在x轴上方，满足=λ. ②若直线F1A与抛物线y2=x无交点，求四边形AF1F2B面积的取值范围. 例4 解： 故=S四边形ABA'B'=··=， 令=s∈[1，3)，函数y=s+在区间[1，3)上单调递增， 所以y=s+∈，则===∈， 所以四边形AF1F2B的面积的取值范围为. 45 (1)解决最值(范围)问题常用建立目标函数的方法. (2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程，用函数方程思想并通过联想与类比使问题获解. 反思感悟 46 　已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2，0)，离心率为. (1)求C的标准方程； 跟踪训练4 解： 设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c=2， 由e==可得a=2，b==4， 故双曲线C的标准方程为-=1. 47 　已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2，0)，离心率为. (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 跟踪训练4 证明： 由(1)可得A1(-2，0)，A2(2，0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线MN的斜率不为0， 所以设直线MN的方程为x=my-4，且-<m<， 与-=1联立可得(4m2-1)y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0， 48 　已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2，0)，离心率为. (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 跟踪训练4 证明： 则y1+y2=，y1y2=， 直线MA1的方程为y=(x+2)， 直线NA2的方程为y=(x-2)， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得， === 49 　已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2，0)，离心率为. (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 跟踪训练4 证明： = ==-， 由=-，可得x=-1，即xP=-1， 所以点P在定直线x=-1上. 50 THANKS 本课结束 $