第三章圆锥曲线的方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆锥曲线与方程的核心内容，通过知识网络整合椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，构建起从定义到性质再到应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“专题突破+高考体验”的复习策略，专题部分通过典型例题（如2020全国Ⅰ抛物线题）、变式训练及规律方法总结，培养学生逻辑推理和数学运算素养，体验高考部分对接真题强化应用意识。分层设计让学生巩固基础并提升能力，教师可依托资料精准开展复习教学。

第三章 总 结 提 升 知识网络·整合构建 专题突破·能力提升 目 录 索 引 体验高考·素养培优 知识网络·整合构建 专题突破·能力提升 专题一　圆锥曲线的定义及标准方程 1.圆锥曲线定义是解决圆锥曲线问题的起点,常应用于求轨迹方程、标准方程等,是用几何图形研究圆锥曲线性质的核心依据. 2.圆锥曲线定义的应用体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. 【例1—1】 (2020全国Ⅰ)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 C 解析 设点A的坐标为(x,y),由点A到y轴的距离为9可得x=9.由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.故选C. 【例1—2】 (2026黑龙江高二期中)已知圆A:(x+3)2+y2=4,B(3,0),点P在圆A上运动,设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则点Q的轨迹方程为 (　　) A.x2-=1(x≥1) B.x2-=1 C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1 B 解析 因为圆心A(-3,0),B(3,0),所以|AB|=6. 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q, 所以|QP|=|QB|, 所以||QA|-|QB||=||QA|-|QP||=|AP|=2<6=|AB|, 所以点Q的轨迹为双曲线,且2a=2,2c=6, 所以b2=c2-a2=8,则点Q的轨迹方程为x2-=1. 故选B. 【例1—3】 [2024甘肃定西统考模拟预测]已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上一点,且B(2,1),则|AB|+|AF1|的最大值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.11 A 解析 设椭圆的半焦距为c,则F2(2,0),a=3,如图,连接AF2, 则|AB|+|AF1|=|AB|+2a-|AF2|=6+|AB|-|AF2|, 而|AB|-|AF2|≤|BF2|=1, 当且仅当A,F2,B三点共线且F2为线段AB上一点时, 等号成立, 故|AB|+|AF1|的最大值为7.故选A. 变式训练1　(1)(2026吉林长春期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点O的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,点D在双曲线C上且=2,若以AB为直径的圆过点F1,则的值为(　　) A. B. C. D. C 解析 连接AF1,BF1,DF1,AF2, 由以AB为直径的圆恰好过左焦点F1可得AF1⊥BF1, 由双曲线的对称性得四边形AF2BF1为矩形. 可设|BF2|=t,则|F2D|=2t,|BF1|=2a+t,|DF1|=2a+2t, 在直角三角形DBF1中,可得|BD|2+|BF1|2=|DF1|2, 即(3t)2+(2a+t)2=(2a+2t)2,解得t=(t=0舍去). 又在直角三角形BF1F2中,|BF2|2+|BF1|2=|F1F2|2, 即t2+(2a+t)2=4c2,=4c2, 因为c2=a2+b2,所以=4(a2+b2),即. 故选C. (2)已知F1,F2分别是椭圆C: 的左、右焦点,P是椭圆C在第一象限内的一点,若PF1⊥PF2,则tan∠PF1F2=　　　. 设|PF1|=x,由椭圆定义知,|PF2|=2a-x=6-x. ∵PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即x2+(6-x)2=20,解得x=2或x=4. ∵P为椭圆C在第一象限内的点, ∴|PF1|>|PF2|,即x>6-x, ∴x>3,则x=4, 专题二　圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型: (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 【例2—1】 (2026四川眉山一模)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于A,B两点,若|AB|=4a,∠F1AB=90°,则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C.2 D.3 A 解析 如图,设|AF1|=x,|BF1|=y, 由双曲线定义可知|AF2|=x-2a,|BF2|=y-2a. ∵|AB|=4a,∴|AF2|+|BF2|=x-2a+y-2a=4a,即y=8a-x. 在直角三角形F1AB中,|BF1|2=|AF1|2+|AB|2, 即(8a-x)2=x2+(4a)2, 得x=3a,则|AF1|=3a,|AF2|=3a-2a=a. 在直角三角形AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2, 即(2c)2=(3a)2+a2,即,所以e=. 故选A. 【例2—2】 已知椭圆 (a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆的离心率为　　　　　.  A D 专题三　直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式. 2.通过解决直线与圆锥曲线的位置关系问题培养数学运算的核心素养. 【例3—1】 (多选题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,则下列结论中正确的有(　　 ) A.x1x2=1 B.y1y2=-4 C.=1 D.=2 ABC 解析 由题意知,F(1,0),直线AB的斜率不可能为0,故可设其方程为x=ty+1, 联立消去x,得y2-4ty-4=0, ∴y1+y2=4t,y1y2=-4,故B正确; 故x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1=-4t2+4t2+1=1,故A正确; 由抛物线的定义知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1, 又x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2, ∴=1,故C正确,D错误. 故选ABC. 【例3—2】 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,且离心率为. (1)求双曲线C的方程和焦点坐标; (2)设双曲线C的右焦点为F,过点F的直线交双曲线C于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,求|AB|. 解 (1)因为双曲线C的离心率为e=, 又双曲线C的虚轴长为2,所以2b=2, 又c2=a2+b2,联立解得a2=3,b2=1,c2=4, 所以双曲线C的方程为-y2=1,左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0). (2)由(1)知F(2,0),根据题意易得过点F的直线斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),如图所示. 联立化简得(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0, 则1-3k2≠0,Δ>0,所以xA+xB=,xAxB=. 因为AB中点的横坐标为3,所以xA+xB==6,解得k2=1,所以xAxB=. 则-4xAxB=62-4×=6, 则|AB|==2. 变式训练3 (1)若直线y=mx+2与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,则n的取值范围是(　　) A.(0,4] B.(4,9) C.[4,9) D.[4,9)∪(9,+∞) C (2)已知A,B为双曲线x2-=1上两点,且线段AB的中点坐标为(-1,-4),则直线AB的斜率为(　　) A. B. C.- D.- B (3)(多选题)(2025全国1)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　 ) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 ACD 解析 由题意知,F(,0),抛物线的准线方程为x=-. 由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确; 设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去x可得y2-6my-9=0, 则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3, 则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确; 当m=0时,E(-,0),|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误; 当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18; 当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+,E(-,3m),|EF|=, S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9, 则|AE|·|BE|>>18, 综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确. 故选ACD. 专题四　圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题的解决培养逻辑推理和数学运算的核心素养. 【例4】 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程. (2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,是否存在实数k满足=2 (其中O为坐标原点).若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由实轴长为2,可得2a=2,即a=1. 再由离心率为,可得,即c=.所以b2=c2-a2=1. 可得双曲线C的标准方程为x2-y2=1. (2)不存在.理由如下,如图所示,联立整理可得(1-k2)x2-2kx-2=0, 显然1-k2≠0,且Δ=(-2k)2+8(1-k2)>0,解得k2<2且k2≠1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,x1x2=-, 所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1 =(k2+1)(-)+k+1=+1=2, 即=1, 解得k2=3,不满足k2<2且k2≠1,不合题意.因此不存在实数k满足=2. 变式训练4　已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,倾斜角为45°的直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=8. (1)求抛物线C的方程; (2)设点E为直线x=与抛物线C在第一象限的交点,过点E作斜率分别为k1, k2的两条直线,分别交抛物线C于点M,N,如果k1+k2=-1,证明:直线MN过定点,并求定点坐标. ∴|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=4p=8, ∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x. 体验高考·素养培优 常考点1　圆锥曲线的定义与标准方程 1.(2024天津)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 C 解析 如图,由题意可知,点P必在第四象限,∠F1PF2=90°. ∵∠F1PF2=90°,∴=-1, 又=2,∴=-,∴tan∠PF1F2=,即. 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m. 由|PF1|·|PF2|=m·2m=8,得m=2, ∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2=2c,则c=. 由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a=2,∴a=, ∴b2=c2-a2=8,∴双曲线的方程为=1.故选C. 常考点2　圆锥曲线的几何性质 2.(2025全国1)已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为 (　　) A. B.2 C. D.2 D 解析 (方法1)由题知,2b=×2a, ∴b=a, ∴c==2a, ∴e==2.故选D. (方法2)由题可得,, 则e==2.故选D. 3.(2023全国甲)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若 =0,则|PF1|·|PF2|=(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 B 解析 由椭圆C:+y2=1,知a2=5,b2=1, 则c2=a2-b2=4,即c=2,则|F1F2|=2c=4. ∵=0,∴PF1⊥PF2,即∠F1PF2=90°. 在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∵|PF1|+|PF2|=2a=2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2. ∴20-2|PF1|·|PF2|=16,解得|PF1|·|PF2|=2. 故选B. 4.(多选题)(2023新高考Ⅱ)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 常考点3　直线与圆锥曲线的位置关系 5.(2023新高考Ⅱ)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A. B. C.- D.- C 解析 如图所示,椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0), 设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2, 由点到直线的距离公式可知d1=,d2=. 由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0. ∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点, ∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2. ∵△F1AB的面积是△F2AB的两倍, ∴有·|AB|·d1=2×·|AB|·d2,即d1=2d2,=2, 两边平方整理,得3m2+10m+6=0, 解得m=-或m=-3. 又-2<m<2, ∴m=-.故选C. 6.(2023天津)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为　　　　　.  6 解析 易知切线的斜率存在,设其方程为y=kx,k≠0,则由题意,得圆C的圆心为(-2,0),半径r=.由,解得k=±.由圆与抛物线的对称性,不妨取直线y=x.直线y=x与曲线y2=2px(p>0)交于点P,则由得P(p,p).因为|OP|=8,所以(p)2+(p)2=64,解得p=6. 本 课 结 束 =1 =1 解析 由椭圆方程得a=3,b=2, ∴c=, ∴|F1F2|=2c=2. ∴tan∠PF1F2=. =1 解析 在△ABF中,|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c. 由AB⊥BF,得|AB|2+|BF|2=|AF|2, 即a2+b2+a2=(a+c)2,整理得a2+b2=c2+2ac, 将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0, 即e2+e-1=0,解得e=. 因为0<e<1,所以e=. 变式训练2 (1)已知椭圆=1(a>b>0)的半焦距是c,A,B分别是长轴、短轴的一个端点,O为原点,若△ABO的面积是c2,则此椭圆的离心率是 (　　) A. B. C. D. 解析 由已知得ab=c2,即a2(a2-c2)=12c4,所以(a2+3c2)(a2-4c2)=0, 所以a2=4c2,a=2c,故e=. (2)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a,则离心率e的取值范围为(　　) A.[,+∞) B.[,+∞) C.(1,] D.(1,] 解析 依题意得,点(a,0)到渐近线bx+ay=0的距离不大于a, ∴a,则,即,整理可得c2≤5a2, 故e=. 又e>1,∴1<e≤. =1 解析 直线y=mx+2恒过定点(0,2),若直线与椭圆总有公共点, 则定点(0,2)在椭圆上或椭圆内,所以≤1,解得n≥4或n<0. 因为=1表示焦点在x轴上的椭圆,故0<n<9,所以n∈[4,9).故选C. 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1, 两式相减得到(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 又线段AB的中点坐标为(-1,-4),所以(x1-x2)·(-2)-(y1-y2)·(-8)=0,得, 所以直线AB的斜率为.故选B. (1)解 由题意,知F,倾斜角为45°的直线l过点F, 则直线的方程为y=x-, 代入抛物线方程得x2-3px+=0. 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=3p, 根据抛物线定义,可得|AF|=xA+,|BF|=xB+, (2)证明 抛物线方程为y2=4x,直线x=,即x=1,得E(1,2). ①当直线MN的斜率存在时,设直线MN:y=kx+b(k≠0),代入y2=4x中, 可得k2x2+(2kb-4)x+b2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠1,x2≠1,则x1+x2=-,x1x2=. 因为k1==k+,k2=k+, 所以k1+k2=2k+(b+k-2)·=-1,化简得b=-5k-6, 此时MN:y=k(x-5)-6,过定点(5,-6). ②当直线MN的斜率不存在时,设方程为x=t, 则不妨令M(t,2),N(t,-2),k1+k2==-1,解得t=5,∴方程为x=5. 综上,直线MN过定点(5,-6). 解析 对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0), 所以=1,所以p=2,故A正确; 对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x, 则由 不妨设M,N(3,-2), 则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确; 对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为, 又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=, 故以MN为直径的圆与l相切,故C正确; 对于D,因为|OM|=, |ON|=,|MN|=, 可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. $