3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线方程及性质应用，涵盖直线与双曲线位置关系、弦长面积、中点弦等核心内容。通过复习上节课几何性质导入，搭建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于类比椭圆位置关系引入双曲线，以问题链引导推理，如“仅有一个公共点是否相切”培养数学思维。例题变式结合规范运算，如例3中点弦用点差法推导，反思感悟强化解题规范，助力学生提升数学语言表达能力，也为教师提供系统教学资源。

双曲线的标准方程及 性质的应用 第三章　3.2.2　第2课时 学习目标 1.进一步掌握双曲线的方程及性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系.(重点) 2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点) 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质才能解答双曲线基本问题，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 弦长及面积问题 中点弦问题 随堂演练 直线与双曲线的位置关系 04 课时对点练 01 直线与双曲线的位置关系 问题 1 提示　有三种位置关系，分别为相交、相切和相离三种情况. 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 问题 2 提示　不一定.当直线与渐近线平行时，仅有一个交点. 当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ 将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程-=1(a>0，b>0)联立成方程组， 消元转化为关于x或y的一元二次方程，即(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0，其判别式为Δ. 若b2-a2k2=0，即k=±，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交 于一点； 若b2-a2k2≠0，即k≠±， ①Δ>0⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ=0⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ<0⇔直线和双曲线相离，无公共点. 知识梳理 直线与双曲线的关系中，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 注意点 9 　已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 例1 联立 消去y，得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2≠0，即k≠±1时， Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由得-<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 解： 10 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 延伸探究1 联立消去y， 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2≠0，即k≠±1时， Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由得k=±， 此时方程(*)有两个相等的实数根， 解： 12 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 延伸探究1 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1-k2=0，即k=±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x=5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当k=±或±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点. 解： 13 若直线l与双曲线没有公共点，求满足条件的实数k的取值范围. 延伸探究2 因为直线l与双曲线没有公共点， 由例题可知方程(*)满足解得k>或k<-， 所以实数k的取值范围为∪. 解： 14 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 反思感悟 15 02 弦长及面积问题 问题 3 提示　直线y=kx+m与双曲线相交所截得的弦长|AB|=|x1-x2|，或|AB|=|y1-y2|(k≠0). 当直线的斜率不存在时，可代入直接求得. 当直线交双曲线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，如何求被截得的弦长|AB|？ 　(课本例6)如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 例2 解： 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0). 因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为 y=(x-3). ① 由消去y， 18 　(课本例6)如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 例2 解： 得5x2+6x-27=0. 解方程，得x1=-3，x2=. 将x1，x2的值分别代入①， 得y1=-2，y2=-. 于是，A，B两点的坐标分别为(-3，-2)，. 19 　(课本例6)如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 例2 解： 所以|AB|= ==. 20 (1)过点P(2，)且斜率为2的直线与双曲线C：-=1相交于P， Q两点，则|PQ|=　　 . 例2 21 解析： 过点P且斜率为2的直线的方程为y-=2(x-2)，即y=2x-3， 联立 消去y可得7x2-24x+20=0，Δ>0， 所以x1+x2=，x1x2=， 所以|PQ|==×=. 22 (2)已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值. 例2 联立 消去y并整理，得(1-k2)x2+2kx-2=0. 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以 解得-<k<，且k≠±1， 故实数k的取值范围为(-，-1)∪(-1，1)∪(1，). 解： 23 (2)已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值. 例2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系，得x1+x2=-，x1x2=-， 所以|AB|=|x1-x2|=·=. 又因为点O(0，0)到直线y=kx-1的距离d=， 所以S△AOB=·|AB|·d=··==， 即2k4-3k2=0，解得k=0或k=±，所以实数k的值为±或0. 解： 24 (1)双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似. (2)求三角形的面积常用的方法有：①直接法，直接使用公式×底×高，底一般用弦长公式求出，高用点到直线的距离公式求出；②间接法，将三角形分割成两个三角形，再用两个三角形的面积来表示所求三角形面积. 反思感悟 25 　已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，点A(0，6).当△APF的周长最小时，求该三角形的面积. 跟踪训练1 解： 设F1是双曲线C的左焦点，△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a+ |PF1|=|AF|+2+(|AP|+|PF1|)≥|AF|+2+|AF1|，当且仅当A，P，F1三点共线且P在A，F1之间时等号成立，此时△APF的周长最小. 易知F1(-3，0)， 所以直线AF1的方程为+=1， 26 　已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，点A(0，6).当△APF的周长最小时，求该三角形的面积. 跟踪训练1 解： 联立消去x得y2+6y-96=0，解得y=-8或y=2. 所以点P的纵坐标为2， 所以S△APF=-=×6×6-×6×2=12. 27 03 中点弦问题 　　　已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 例3 解： 方法一　假设双曲线上存在被点B(1，1)平分的弦，又双曲线的右顶点为(1，0)，所以此弦所在的直线斜率存在，设其方程为y=k(x-1)+1，代入双 曲线方程x2-=1，得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0， ∴k2-2≠0，且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0， 解得k<，且k≠±. 设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 29 　　　已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 例3 解： 则x1+x2=. ∵点B(1，1)是弦的中点， ∴=1，∴k=2>. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 方法二　假设双曲线上存在被点B(1，1)平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知x1≠x2，y1≠y2， 30 　　　已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 例3 解： 则x1+x2=2，y1+y2=2， 且 由①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，即2(x1-x2)=y1-y2，∴kMN==2， ∴直线MN的方程为y-1=2(x-1)， 31 　　　已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 例3 解： 即y=2x-1. 由消去y，得2x2-4x+3=0. 又Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 32 解决中点弦问题常用根与系数的关系法和点差法，注意所求参数的取值范围. 反思感悟 33 　已知直线l与双曲线-=1交于A，B两点，且弦AB的中点为M，则直线l的方程为　　　　　. 跟踪训练2 3x-2y-6=0 34 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为弦AB的中点为M， 所以x1+x2=6，y1+y2=3， 又-=1，-=1，两式相减，得 -=0， 即-=0， 整理得=， 所以直线l的斜率为k==， 所以直线l的方程为y-=(x-3)， 化简得3x-2y-6=0，经检验满足题意. 35 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系. (2)弦长及面积问题. (3)中点弦问题. 2.方法归纳：定义法、数形结合法. 3.常见误区：判断直线与双曲线的公共点个数时，联立方程消元后，忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误. 36 04 随堂演练 1 2 3 4 1.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交，则实数k的取值范围为 A.(-2，2) B.[-2，2) C.(-2，2] D.[-2，2] √ 解析： 易知k≠±2，将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0，由Δ>0可得-2<k<2. 2.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) √ 1 2 3 4 1 2 3 4 解析： 方法一　将y=x-1代入2x2-y2=3， 得x2+2x-4=0， 由此可得弦的中点的横坐标为==-1， 纵坐标为-1-1=-2，即中点坐标为(-1，-2). 方法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得 2-=3，2-=3，作差整理得 kAB====1， ① 1 2 3 4 解析： 又M在y=x-1上，则有y0=x0-1， ② 联立①②解得x0=-1，y0=-2， 所以M(-1，-2). 1 2 3 4 3.过P点可以作双曲线x2-y2=1的两条切线，则P点坐标可以是 A.(0，0) B. C. D.(1，0) √ 1 2 3 4 解析： 对于A，由题意设过点(0，0)的切线方程为y=kx，代入x2-y2=1，化简整理得(1-k2)x2-1=0，Δ=4(1-k2)=0，得k=±1，因为渐近线方程为y=±x，故A错误； 对于B，由题意设过点的切线方程为y-1=k，联立得(1-k2)x2-k(2-k)x+k-k2-2=0， 则由Δ=k2(2-k)2-4(1-k2)=-3k2-4k+8=0，所以3k2+4k-8=0，所 以Δ=16+4×3×8>0， 所以过点有两条切线，故B正确； 1 2 3 4 解析： 对于C，因为双曲线x2-y2=1，得两条渐近线方程为y=±x，又因为点在直线y=x上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误； 对于D，因为点(1，0)在双曲线上，所以过点(1，0)的切线有且只有一条，故D错误. 1 2 3 4 4.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为2的弦AB，则AB的长是　　　　. 25 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 双曲线的左焦点为F1(-3，0)， 则直线AB的方程为y=2(x+3)， 由 得x2+9x+14=0，Δ>0， 所以x1+x2=-9，x1x2=14， 则|AB|=·=×=25. 1 2 3 4 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B AC C D A 3 题号 9 11 12 13 15 16 答案 3x-2y-18=0 D ABD 3 -x2=1　3π BCD 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)， 即y=kx+2-k. 由 消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则1==(2-k2≠0)，解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y=x+1. (2)由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=·=×=4. 又点O到直线AB的距离d==， ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 13 14 15 16 (1)联立消去y并整理，得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0. 因为直线与双曲线的右支交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 所以解得k>1或k<-1. 故实数k的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞). 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题设可知，F(-2，0)，直线y=k(x-2)过双曲线的右焦点(2，0)，所以△CFD的面积为△COD面积的两倍， 记△COD的面积为S3，所以=. 又△COD边CD上的高和△AOB边AB上的高相同， 所以==. 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立消去y并整理，得(1-k2)x2+4k2x-4k2=0， 而k∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则Δ=(4k2)2-4×(1-k2)·(-4k2)=16k2>0. 由根与系数的关系，得x3+x4=，x3x4=， 所以== ==. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又k2>1，则1<1+<2， 所以∈(2，2). 故的取值范围是(2，2). 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 直线与双曲线有唯一公共点时， 直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时有唯一公共点)； 直线与双曲线相切时， 直线与双曲线一定有唯一公共点. 16 2.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设点P(x，y)，由题意知k1·k2=·====3， 所以其渐近线方程为y=±x. 16 3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为 A. B. C. D.7 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 双曲线x2-y2=8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4)， 代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=24， 所以直线被双曲线截得的线段的长为×=. 4.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3，)，则下列结论正确的是 A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y=±x D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析： 由双曲线C：-=1过点(3，)，可得m=1，则双曲线C的标准方程为 -y2=1.所以a=，b=1，c==2，因为双曲线C的焦距为2c=4， 所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为==，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以选项C正确； 将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立，消去y可得3x2-4x+4=0，Δ= -4×3×4=-32<0，所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.过M(1，1)且斜率为的直线交双曲线C：-=1(a>0，b>0)于A，B两点，弦AB恰好被点M平分，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，且=， 又因为 所以(y1+y2)(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0， 即有(y1-y2)=(x1-x2)， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以===， 所以b2=2a2，所以c2=b2+a2=3a2， 所以e2==3，所以e=. 16 6.双曲线C的方程为x2-y2=λ(λ>0)，直线x-2y+3=0与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则λ的值为 A.4 B.8 C.12 D.24 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与双曲线C的方程，得 消去x，得3y2-12y+9-λ=0， 则Δ=144-12(9-λ)>0， 且y1+y2=4，y1y2=， 双曲线C的渐近线方程为y=±x， 不妨设直线x-2y+3=0与渐近线y=-x交于点E，与渐近线y=x交于点F， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 由得 即F(3，3)，同理可得E(-1，1)， 因为E，F是线段AB的三等分点，所以=， 即(-1-x1，1-y1)=(x2+1，y2-1)，则1-y1=(y2-1)， 又y1+y2=4，所以y1=-1，y2=5， 则y1y2==-5，所以λ=24. 7.若方程=a(x-1)恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 A. B. C.(-1，1) D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： y=，即y2-x2=1(y≥1)，表示双曲线的上支， y=a(x-1)，表示过(1，0)且斜率为a的直线， 由题意知y=与y=a(x-1)的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在x轴上方，当直线与双曲线相切时， 由得(a2-1)x2-2a2x+a2-1=0， 令Δ=-4(a2-1)(a2-1)=0，解得a=±， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 当a=时，切点为(-1，-)，在x轴下方，舍去； 当a=-1时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 只有一个交点. 所以当直线与双曲线有两个交点且都在x轴上方时，实数a的取值范围是 . 8.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|=3的直线l有　　　　条. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 双曲线-=1，当直线l的斜率不存在，即过F1的直线l垂直于x轴时， |AB|===3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，因为双曲线两个顶点的距离为2，2<3，所以满足条件的直线l有两条. 综上，满足|AB|=3的直线l有3条. 16 9.双曲线9x2-16y2=144的一条弦的中点为A(8，3)，则此弦所在的直线方程为　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3x-2y-18=0 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由双曲线的对称性可得此弦所在直线的斜率存在. 设弦的两端点分别为B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则有 两式相减得9(-)-16(-)=0， 所以9(x1+x2)(x1-x2)-16(y1+y2)(y1-y2)=0， 又因为弦的中点为A(8，3)，所以 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 故直线斜率k===， 则所求直线方程为y-3=(x-8)， 整理得3x-2y-18=0， 由 得y2-6y-15=0， Δ=(-6)2-4×1×(-15)=96>0，故该直线满足题意. 16 10.设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)， 即y=kx+2-k. 由 消去y， 解： 13 14 15 16 10.设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1==(2-k2≠0)，解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y=x+1. 解： 13 14 15 16 10.设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=· =×=4. 又点O到直线AB的距离d==， ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 解： 13 14 15 16 11.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是 A.(1，1) B.(-1，2) C.(1，3) D.(-1，-4) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设O为坐标原点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB的中点M， 可得kAB=， kOM==， 因为A，B在双曲线上， 则 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 两式相减得(-)-=0， 所以kAB·kOM==9. 对于A，可得kOM=1，kAB=9，则AB：y=9x-8， 联立方程 消去y得72x2-144x+73=0， 此时Δ=(-144)2-4×72×73=-288<0， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于B，可得kOM=-2，kAB=-， 则AB：y=-x-， 联立方程 消去y得45x2+90x+61=0， 此时Δ=902-4×45×61=-2 880<0， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于C，可得kOM=3，kAB=3，则AB：y=3x， 由双曲线方程可得a=1，b=3， 则AB：y=3x为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于D，kOM=4，kAB=， 则AB：y=x-， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 联立方程 消去y得63x2+126x-193=0， 此时Δ=1262+4×63×193>0， 故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确. 16 12.(多选)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面 反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，双曲线E： -=1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的两条光线经过E的右支上的A，B 两点反射后，分别经过点C和D，其中，共线，则 A.若直线AB的斜率k存在，则k的取值范围为∪ 　 B.当点C的坐标为(2，)时，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为6 C.当·=时，△BF1F2的面积为12 D.当·=时，cos∠F1F2A=- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图所示，过点F2分别作E的两条渐近线的平行线l1，l2， 则l1，l2的斜率分别为和-， 对于A，由图可知，当点A，B均在E的右支上时，k<- 或k>，所以A正确； 对于B，由题意得点F1在直线AC上，F1(-，0)，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为|F2A|+|AC|=|F1A|-2a+|AC|=|F1C|-2a= -4=6，所以B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 对于C，由·=，得·(-)=0，即·=0， 所以AB⊥BD， 设|BF1|=n(n>0)，则|BF2|=n-2a=n-4， 因为∠ABD=，所以在Rt△BF1F2中，n2+(n-4)2=(2c)2=40， 整理得n2-4n-12=0， 解得n=6或n=-2(舍去)，所以|BF1|=6，|BF2|=2，所以△BF1F2的面积S= |BF1|·|BF2|=6，所以C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 对于D，由C项分析得，在Rt△BF1F2中，cos∠F1F2B= ==， 所以cos∠F1F2A=cos(π-∠F1F2B)=-cos∠F1F2B=-， 所以D正确. 13.已知直线l：3x+4y-5=0与双曲线C：-y2=1相交于A，B两点.若弦AB被直线m：x+ty=0平分，则实数t的值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，可得-=1，-=1， 两式相减，可得-(y1-y2)(y1+y2)=0，可得=. 因为kAB=-，可得=-，所以x1+x2=-3(y1+y2). 设AB的中点M(x0，y0)，则x0=，y0=，所以x0=-3y0， 因为点M(x0，y0)在l：3x+4y-5=0上，可得3x0+4y0-5=0， 可得3·(-3y0)+4y0-5=0，解得y0=-1，所以x0=3，即M(3，-1)， 又因为M(3，-1)在直线m：x+ty=0上，可得3-t=0，解得t=3. 13 14 15 16 14.设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线-=1的左焦点为F，直线y=k(x-2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点. (1)求k的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 联立消去y并整理，得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0. 因为直线与双曲线的右支交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 解： 16 14.设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线-=1的左焦点为F，直线y=k(x-2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点. (1)求k的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以解得k>1或k<-1. 故实数k的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞). 解： 16 14.设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线-=1的左焦点为F，直线y=k(x-2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点. (2)记△AOB的面积为S1，△CFD面积为S2，求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题设可知，F(-2，0)，直线y=k(x-2)过双曲线的右焦点(2，0)，所以△CFD的面积为△COD面积的两倍， 记△COD的面积为S3，所以=. 又△COD边CD上的高和△AOB边AB上的高相同， 所以==. 解： 16 14.设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线-=1的左焦点为F，直线y=k(x-2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点. (2)记△AOB的面积为S1，△CFD面积为S2，求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立消去y并整理，得(1-k2)x2+4k2x-4k2=0， 而k∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则Δ=(4k2)2-4×(1-k2)·(-4k2)=16k2>0. 由根与系数的关系，得x3+x4=，x3x4=， 解： 16 14.设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线-=1的左焦点为F，直线y=k(x-2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点. (2)记△AOB的面积为S1，△CFD面积为S2，求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以== = =. 又k2>1，则1<1+<2， 解： 16 14.设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线-=1的左焦点为F，直线y=k(x-2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点. (2)记△AOB的面积为S1，△CFD面积为S2，求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以∈(2，2). 故的取值范围是(2，2). 解： 16 15.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ，则双曲线的方程为　　　　；若直线x=0，x=1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为　　　. -x2=1 3π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵双曲线C的离心率e==， ∴c=a，∴c2=a2+b2=a2，∴b2=a2， ∵双曲线的方程为-=1过点(，2)， 即-=1，a2=3，b2=1， ∴双曲线方程为-x2=1， 则渐近线方程为y=±x， 取直线x=m(0≤m≤1)， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 代入-x2=1，得y=， 代入y=x，得y=m， ∴直线x=m在阴影部分内的线段旋转一周所得圆环的面积S=(3+3m2)π-3m2π=3π. 又高度为1， 故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 16 16.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，把到定点F1(-a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线.若a=2，点P(x0，y0)为双纽线C上任意一点，则 A.C不关于x轴对称 B.C关于y轴对称 C.直线y=x与C只有一个交点 D.C上存在点P，使得|PF1|=|PF2| 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 设M(x，y)到定点F1(-2，0)，F2(2，0)的距离之积为4， 可得·=4， 整理得(x2+y2)2=8(x2-y2)， 即曲线C的方程为(x2+y2)2=8(x2-y2)， 用-x代替x，方程没变，可知曲线C关于y轴对称， 用-y代替y，方程没变，可知曲线C关于x轴对称， 用-x代替x，同时用-y代替y，方程没变，可知曲线C关于原点对称， 图象如图所示，所以A不正确，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 联立方程组 可得x4=0，即x=0，所以y=0， 所以直线y=x与曲线C只有一个交点O(0，0)，所以C正确； 原点O(0，0)满足曲线C的方程，即原点O在曲线C上，且|OF1|=|OF2|， 即曲线C上存在点P，当点P与原点O重合时，满足|PF1|=|PF2|，所以D正确. THANKS 本课结束 $