第二十三讲 平行线的证明（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第二十三讲 平行线的证明 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平行线判定的基本事 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行。简述为：同位角相等， 两直线平行 几何语言 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)， 所以a ∥ b (同位角相等，两直线平行) 知识点02：平行线的判定定理 1 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简述为：内错角相等，两直线平行 几何语言 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)， 所以 a ∥ b (内错角相等，两直线平行) 知识点03：平行线的判定定理 2 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简述为：同旁内角互补，两直线平行 几何语言 ∵∠ 1+ ∠ 2 = 180°(已知)， ∴ a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) 知识点04：平行线的性质定理 定理1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等 符号语言 ∵ a∥b， ∴∠1＝∠5， ∠2＝∠8， ∠4＝∠6，∠3＝∠7 定理2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等 符号语言 ∵ a∥b， ∴∠3＝∠5， ∠4＝∠8 定理3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补 符号语言 ∵ a∥b， ∴∠3＋∠8＝180°， ∠4＋∠5＝180° 定理4平行于同一条直线的两条直线平行 ∵ a∥b，b∥c， ∴ a∥c 知识点05：平行线的判定与性质 平行线的判定 图示 平行线的性质 ∵ ∠ 1= ∠ 2，∴ l1 ∥ l2 (同位角 相 等 ，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∴∠ 1 =∠ 2(两直线平行 ， 同位角相等) ∵∠ 2= ∠ 3， ∴l 1 ∥ l2(内错 角相等 ，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∴ ∠ 2 =∠ 3(两直线平行 ，内错角相等) ∵∠ 3+ ∠ 4 = 180° ，∴ l1 ∥ l2(同旁内角互补，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∵∠ 3+ ∠ 4= 180°(两直线平行 ，同旁内角互补) 考点1：平行线的判定 【典型例题】 如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 如图，点E在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式训练2】 将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中一定能说明纸条两边平行的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法一一判定即可． 【详解】解：①，（同位角相等，两直线平行）可得出纸条两边平行， ②，无法得出纸条两边平行， ③，，则，（内错角相等，两直线平行）可得出纸条两边平行， ④，无法得出纸条两边平行， 故①③可得出纸条两边平行， 故选：C 考点2：平行线的性质 【典型例题】 如图，直线，，，交直线于点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据垂直和直角三角形的性质得出的度数，根据平行得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：A． 【变式训练1】 图1是某相框支架的实物图，其示意图如图2所示，其中．若，则的度数为（    ） A．75° B．85° C．95° D．105° 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，利用邻补角求角的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再根据邻补角求出的度数 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故选：D． 【变式训练2】 如图，已知中，，，则图中相等的同位角有（  ） A．两组 B．三组 C．四组 D．五组 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，能理解同位角的意义是解此题的关键，题型较好，难度不大．根据推出两对同位角，根据推出两对同位角，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，，共4对同位角， 故选：C． 考点3：平行线的性质和判定 【典型例题】 如图，直线被直线所截，下列说法正确的个数是（   ） ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①∵，， ∴根据“如果两条直线都分别平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行”，即； 即正确； ②∵， ∴根据“内错角相等，两直线平行”，可得； 即正确； ③∵，由图可得和是同旁内角， ∴根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； 即正确； ④如图： ∵（对顶角相等），， ∴， ∴根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 ； 即正确， 综上所述：①②③④都正确，共4个， 故选：D； 【变式训练1】 如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 由平行线的性质，即“两条直线平行，同位角相等”可判断①；由“内错角相等，两直线平行”可判断②；由可判断③和④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 但由已知信息无法推断， 故不一定成立，故③错误； ∵， ∴， ∵， 但不一定成立，故④错误， ∴正确的为①和②，共2个． 故选：B． 【变式训练2】 如图，已知，为判定，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．乙不可行，丙可行 B．甲和乙都可行 C．甲和丙都不可行 D．甲可行，丙不可行 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质逐个判断甲、乙、丙即可． 【详解】解：甲：∵，， ∴， 即， ∴， 故甲可行； 乙：无法推出，故乙不可行； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故丙可行； 故甲、丙可行，乙不行， 只有选项A符合题意， 故选：A． 考点4：平行线公理 【典型例题】 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线m上，若已知，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（内错角相等），结合已知角的度数，推导求出的度数．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）与平行公理的推论（平行于同一直线的两条直线互相平行），作辅助线构造平行关系，利用角的和差与平行线性质转化角度是解题关键． 【详解】解：过点作． ，， ， ，， ∵，， ， ， 故选：． 【变式训练1】 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 【变式训练2】 如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：A． 一、单选题 1．如图所示，由能得到的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、由，不能得到，此选项不符合题意； B、由，得出，此选项符合题意； C、由，能得到，而不能得出，此选项不符合题意； D、由，不能得到，此选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，点A，B分别在直线上，若，则，其依据是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可解答． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故选：C． 3．如图，下列条件中，不能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．进行判定即可作答． 【详解】解：A．，满足内错角相等，能判断直线； B．，不能判断直线； C．，满足同位角相等，能判断直线； D．，满足同旁内角互补，能判断直线． 故选：B． 4．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，直接利用两直线平行，同旁内角互补可得答案． 【详解】解：∵反射光线刚好与平行，， ∴， 故选：C 5．如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；根据平行线的性质和邻补角的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．如图，在下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：A．因为，所以，故选项A不符合题意； B．因为，所以，故选项B不符合题意； C．因为，所以，故选项C不符合题意； D．因为，所以，不能判断，故选项D符合题意． 故选：D． 7．如图，直线，分别与直线交于点、，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，平角的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 8．下列推理，错误的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质，逐一判断各选项，可得到结果． 本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 【详解】解：A．如果，根据内错角相等，两直线平行，则，故推理正确，不符合题意； B．如果，根据同旁内角互补，两直线平行，则，故推理正确，不符合题意； C．如果，根据两直线平行，同位角或内错角相等，应得到或，故原推理错误，符合题意； D．如果，根据两直线平行，同位角相等，则，故推理正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 9．如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1= ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是利用折叠得到等角关系，结合平行线的性质求出角度． 由折叠性质得与折叠后对应角相等，根据纸条上下边平行的性质得到相关角的度数，再通过角的倍数关系计算∠1的度数． 【详解】解：根据折叠性质， 又由纸条对边平行得，即， 解得： 故答案为 10．如图，直线，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行同位角相等和对顶角相等进行分析即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明，得出，从而可证，结合，，即可求出，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 12．如图直线，点 C 在上，点 B 在 ， ，则 【答案】/65度 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，余角性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】如图，∵，， ∴． 故答案为：． 13．如图，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 利用内错角相等两直线平行进行判定即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 14．如图，，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，    ∵， ， ， ， 故答案为：． 15．如图所示，有一副三角板按图摆放，可得到，依据是 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：根据题意得，，依据内错角相等，两直线平行， ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 16．如图，，．若，则的度数为 度． 【答案】56 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 三、解答题 17．如下图，在中，D是上一点，交于点E，，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质定理，三角形全等的判定和性质；结合平行线的性质证出，得到，再根据计算即可． 【详解】解：，，． 在和中，， ， ． ， ． 一题多解法： ， ． 在和中，， ， ． ， ． 18．如图，，垂足为，点、分别在线段、上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，垂直定义，同角的余角相等，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （）由，，得，然后根据平行线的判定证明即可； （）由，得，又，故有，从而证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：， 平分，平分 ， ， ， ． 20．如图，点F在线段上，点E、G在线段上，于点H，于点K，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，解题的关键是∶ （1）先证明，得出，结合已知得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据垂直定义可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， 平分， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第二十三讲 平行线的证明 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平行线判定的基本事 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行。简述为：同位角相等， 两直线平行 几何语言 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)， 所以a ∥ b (同位角相等，两直线平行) 知识点02：平行线的判定定理 1 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简述为：内错角相等，两直线平行 几何语言 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)， 所以 a ∥ b (内错角相等，两直线平行) 知识点03：平行线的判定定理 2 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简述为：同旁内角互补，两直线平行 几何语言 ∵∠ 1+ ∠ 2 = 180°(已知)， ∴ a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) 知识点04：平行线的性质定理 定理1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等 符号语言 ∵ a∥b， ∴∠1＝∠5， ∠2＝∠8， ∠4＝∠6，∠3＝∠7 定理2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等 符号语言 ∵ a∥b， ∴∠3＝∠5， ∠4＝∠8 定理3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补 符号语言 ∵ a∥b， ∴∠3＋∠8＝180°， ∠4＋∠5＝180° 定理4平行于同一条直线的两条直线平行 ∵ a∥b，b∥c， ∴ a∥c 知识点05：平行线的判定与性质 平行线的判定 图示 平行线的性质 ∵ ∠ 1= ∠ 2，∴ l1 ∥ l2 (同位角 相 等 ，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∴∠ 1 =∠ 2(两直线平行 ， 同位角相等) ∵∠ 2= ∠ 3， ∴l 1 ∥ l2(内错 角相等 ，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∴ ∠ 2 =∠ 3(两直线平行 ，内错角相等) ∵∠ 3+ ∠ 4 = 180° ，∴ l1 ∥ l2(同旁内角互补，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∵∠ 3+ ∠ 4= 180°(两直线平行 ，同旁内角互补) 考点1：平行线的判定 【典型例题】 如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 如图，点E在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式训练2】 将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中一定能说明纸条两边平行的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法一一判定即可． 【详解】解：①，（同位角相等，两直线平行）可得出纸条两边平行， ②，无法得出纸条两边平行， ③，，则，（内错角相等，两直线平行）可得出纸条两边平行， ④，无法得出纸条两边平行， 故①③可得出纸条两边平行， 故选：C 考点2：平行线的性质 【典型例题】 如图，直线，，，交直线于点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据垂直和直角三角形的性质得出的度数，根据平行得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：A． 【变式训练1】 图1是某相框支架的实物图，其示意图如图2所示，其中．若，则的度数为（    ） A．75° B．85° C．95° D．105° 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，利用邻补角求角的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再根据邻补角求出的度数 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故选：D． 【变式训练2】 如图，已知中，，，则图中相等的同位角有（  ） A．两组 B．三组 C．四组 D．五组 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，能理解同位角的意义是解此题的关键，题型较好，难度不大．根据推出两对同位角，根据推出两对同位角，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，，共4对同位角， 故选：C． 考点3：平行线的性质和判定 【典型例题】 如图，直线被直线所截，下列说法正确的个数是（   ） ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①∵，， ∴根据“如果两条直线都分别平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行”，即； 即正确； ②∵， ∴根据“内错角相等，两直线平行”，可得； 即正确； ③∵，由图可得和是同旁内角， ∴根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； 即正确； ④如图： ∵（对顶角相等），， ∴， ∴根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 ； 即正确， 综上所述：①②③④都正确，共4个， 故选：D； 【变式训练1】 如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 由平行线的性质，即“两条直线平行，同位角相等”可判断①；由“内错角相等，两直线平行”可判断②；由可判断③和④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 但由已知信息无法推断， 故不一定成立，故③错误； ∵， ∴， ∵， 但不一定成立，故④错误， ∴正确的为①和②，共2个． 故选：B． 【变式训练2】 如图，已知，为判定，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．乙不可行，丙可行 B．甲和乙都可行 C．甲和丙都不可行 D．甲可行，丙不可行 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质逐个判断甲、乙、丙即可． 【详解】解：甲：∵，， ∴， 即， ∴， 故甲可行； 乙：无法推出，故乙不可行； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故丙可行； 故甲、丙可行，乙不行， 只有选项A符合题意， 故选：A． 考点4：平行线公理 【典型例题】 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线m上，若已知，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（内错角相等），结合已知角的度数，推导求出的度数．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）与平行公理的推论（平行于同一直线的两条直线互相平行），作辅助线构造平行关系，利用角的和差与平行线性质转化角度是解题关键． 【详解】解：过点作． ，， ， ，， ∵，， ， ， 故选：． 【变式训练1】 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 【变式训练2】 如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：A． 一、单选题 1．如图所示，由能得到的是（    ） A．B．C．D． 2．如图，点A，B分别在直线上，若，则，其依据是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 3．如图，下列条件中，不能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 4．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线，分别与直线交于点、，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．下列推理，错误的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 二、填空题 9．如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1= ． 10．如图，直线，，则的度数为 ． 11．如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 12．如图直线，点 C 在上，点 B 在 ， ，则 13．如图，当 时，． 14．如图，，若，则的度数为 ．    15．如图所示，有一副三角板按图摆放，可得到，依据是 16．如图，，．若，则的度数为 度． 三、解答题 17．如下图，在中，D是上一点，交于点E，，，，．求的长． 18．如图，，垂足为，点、分别在线段、上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，点F在线段上，点E、G在线段上，于点H，于点K，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$