精品解析：宁夏中卫市海原县某校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年度模拟考 高三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算可求得答案. 【详解】由，可得. 故选：A. 3. 样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义代入计算可得结果. 【详解】删除a后的新数据的平均数为， 则原数据的平均数也为5，因此数据总和为50，所以可得， 解得. 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】不等式等价于，解得或． 故选：D 5. 已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 故选：C 6. 等差数列的前项和，已知，，则的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故选． 7. 已知抛物线焦点为，点 在抛物线 上，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的准线方程及点的纵坐标后，利用抛物线的定义计算即可. 【详解】抛物线的标准方程为， 故其准线方程为， 点在抛物线上， 故， 由抛物线的定义知，， 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，，可得，， 所以 . 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等比数列公式得到，，计算得到，，对比选项得到答案. 【详解】，，解得，，故，， ，故BD正确，AC错误. 故选：BD. 10. 是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递增区间为和 B. C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先得到时，单调递增，当时，单调递减，结合函数的奇偶性得到A正确；B选项，由函数奇偶性和单调性得到；C选项，由函数单调性得到最大值为；D选项，利用函数奇偶性得到. 【详解】A选项，当时，， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 又是定义在R上的偶函数，故当时，单调递增， 综上，的单调递增区间为和，A正确； B选项，由A选项，当时，单调递减，，B错误； C选项，由A选项，在和上单调递增，在和上单调递减， 故当和时，取得最大值，最大值为，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：ACD 11. 设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ） A. 的实轴长为 B. C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用即可；B利用对称性得出，再结合双曲线的定义即可；C利用即可求出点坐标，再计算直线的斜率即可；D利用并结合双曲线的定义可得，再利用勾股定理即可. 【详解】设为双曲线的半焦距，则2， 由，即，所以的实轴长为，故A正确； 由于关于原点中心对称，关于原点中心对称， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故B正确； 由，解得，所以， 所以直线斜率即直线斜率，，故C错误； 由，，可得，， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示即求. 【详解】∵向量，，， ∴， 所以． 故答案为：. 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 14. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】正六棱锥，如图所示，为底面中心， 取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并求的单调递减区间； （2）求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可； （2）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解. 【小问1详解】 由题意可知．所以 即 所以 所以 所以的单调减区间为 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上的值域为. 16. 已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由基本量求解椭圆方程即可. （2）求出直线与椭圆的交点坐标，再求解三角形面积即可. 【小问1详解】 由题设知，所以， 于是椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意，直线的方程为，设， 联立，解得或， 所以的面积 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接交于点，连接， 由四边形为正方形，得为的中点，又E是棱PA的中点，则， 而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在四棱锥中，平面， 因平面，所以， 以点为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，得， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数单调区间； （2）求的极值. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出函数的单调区间； （2）分，两种情况讨论函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案. 【详解】解：由题意，的定义域为，且. （1）当时，，令，解得. ∴当时，，单调递减， 当时，，单调递增. ∴在上单调递减，在上单调递增； （2）①当时，恒成立，在上单调递增，故函数无极值； ②当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. ∴的极小值为，无极大值. 19. 在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动概率均相等. （1）求该质点在第秒末移动到点的概率； （2）设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值； （3）设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据组合公式得到共有种可能，再计算出所有情况，利用古典概型公式即可得到答案； （2）首先得到的所有可能取值为、、，再按步骤写出其分布列，计算其期望即可； （3）设质点向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，则，化简比较大小即可. 【小问1详解】 在第秒末质点要移动到点，需要沿轴正方向移动次， 沿轴正方向移动次，所以共有种可能. 故该质点在第秒末移动到点的概率为. 【小问2详解】 质点在第秒可能移动到点、、、、、、、 、、、、、、 、、、、、， 所以的所有可能取值为、、. ，，， 所以. 【小问3详解】 质点要在第秒末回到原点， 则必定向轴正、负方向移动相同的次数，设为次， 向轴正、负方向移动相同的次数，设为次， 向轴正、负方向移动相同的次数，为次. 所以， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度模拟考 高三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A B. C. D. 3. 样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前项和，已知，，则的值是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，点 在抛物线 上，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递增区间为和 B. C. 的最大值为4 D. 当时， 11. 设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ） A. 的实轴长为 B. C. 若，则直线斜率为 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则实数______． 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 14. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并求的单调递减区间； （2）求在上的值域． 16. 已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）求的极值. 19. 在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等. （1）求该质点在第秒末移动到点的概率； （2）设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求均值； （3）设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $