精品解析：甘肃嘉峪关市第五中学2026年九年级下学期第二次模拟考试数学试卷

嘉峪关市第五中学2026年高中阶段招生考试第二次模拟考试 数学试卷 总分：120分 考试时长：120分钟 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 2. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ，∴ A计算错误． ∵ ，∴ B计算错误． ∵ ，∴ C计算正确． ∵ ，∴ D计算错误． 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 或2 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不可忽略分母的限制. 【详解】解：由题意得且， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ ， ∴ . 5. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式进行求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 7. 已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先对给定的等式进行变形，因为平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加为0，则各自为0，所以可以分别求出和的值．因为是三角形的三边长，所以根据三角形三边关系定理，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可列出关于的不等式，确定的取值范围．对照选项，判断哪个选项的数值在的取值范围内即可． 【详解】解：可化为． ∵，， ∴，， 解得，， 根据三角形三边关系，得， 即． 选项中只有5符合该范围，故选项D符合题意． 8. 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 10. 如图，点A在半径为2的上，P是半径上一个动点（不与A重合），过P的直线与过A的的切线交于点B，且，设，的面积为，那么关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线的性质得出，在中用表示出的长，根据三角形面积公式列出与的函数关系式，根据二次函数的性质及自变量取值范围判断图象． 【详解】解：是的切线， ，即， ，， ， 在Rt中，， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线 是半径上一个动点（不与重合）， ， 当时，，随的增大而减小． 故选项D的图象符合题意． 二、填空题（18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 12. 分解因式______________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 13. 若在第二象限，那么点必在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据第二象限点的坐标特征得到的取值范围，再判断点横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点所在象限． 【详解】解：点在第二象限， ． ． ． 点的纵坐标为， ． 点的横坐标为正，纵坐标为负，第四象限内点的坐标特征为横坐标正、纵坐标负， 点必在第四象限． 14. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 15. 若一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的众数是________。 【答案】和 【解析】 【分析】根据平均数先求出的值，再根据众数的定义即可得． 【详解】解：因为这组数据的平均数是， 所以， 解得， 则这组数据为，，，，，， 因为数据7和8出现的次数最多，都为2次， 所以众数为和， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查了众数和平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数．要注意本题有两个众数． 16. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知三角形数的变化规律，可得第个三角形数是从1到的连续正整数的和，计算求和即可得到结果． 【详解】解：第一个三角形数为 ， 第二个三角形数为 ， 第三个三角形数为 ， 第四个三角形数为 ， 依此类推，可得第个三角形数为 ．解 三、简答题（30分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】解法一：用平方差公式：； 解法二：用完全平方公式进行计算：． 【详解】解法一： 解法二： 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【详解】试题分析：先将括号里的进行通分，再把除法转化为乘法，再进行约分化简，最后把x的值代入即可. 试题解析： = = = 当时，原式=. 考点：分式的化简求值. 20. 作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在中，， （1）按要求完成作图： ①用尺规作的角平分线，交于O， ②以O为圆心，为半径作； （2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果． 【答案】（1）①如图，射线、点O即为所求；②如图，即为所求： （2）与相切 【解析】 【分析】（1）①②根据题干要求以及角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）过O作于点D，先利用角平分线的性质得到，再根据切线的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与相切．理由如下： 过O作于点D， ∵平分，，（即）， ∴， ∴为的半径， ∴与相切． 21. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率，画出相应的树状图． （1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案． （2）根据题意画出树状图或列表，然后由图表即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：． 【小问2详解】 画树状图得： ， ∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况， ∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：． 22. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？ 【答案】3h. 【解析】 【分析】首先根据勾股定理逆定可证明△ABC是直角三角形，然后计算出∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质算出DC的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离B送奶站最近． 【详解】解：过B作BD⊥公路于D． ∵82+152=172， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°． ∵∠1=30°， ∴∠BCD=180°-90°-30°=60°． 在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°， ∴∠CBD=30°， ∴CD=BC=×15=7.5（km）． ∵7.5÷2.5=3（h）， ∴3小时后这人距离B送奶站最近． 四、解答题（42分） 23. 某校为了了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下： 参加社区活动次数的频数、频率分布表 活动次数 频数 频率 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中______________，______________；______________；______________ （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校共有名学生，请估计该校在上学期参加社区活动超过次的学生有多少人？ 【答案】（1）；；； （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）先用总人数乘对应频率求，再用总人数依次减去已知各组频数得，最后用频数除以总人数算出、即可； （2）依据（1）中算出的频数补全频数分布直方图并标注数值即可； （3）用全校总人数乘样本中活动次数超次的总频率即可． 【小问1详解】 解：总调查人数为人： ； ； ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校在上学期参加社区活动超过次的学生有人． 24. 反比例函数的图象与直线相交于点，， （1）求反比例函数与直线的解析式； （2）连接，，求的面积S． （3）直接写出当x取何值时，． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，． 25. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB， (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：连结OB． ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA． ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA， ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO． 又∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=90°， ∴OB⊥PB． 又∵OB是⊙O半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）⊙O的半径为1. 【解析】 【分析】（1）连结OB，由OA=OB，得∠OAB=∠OBA，再根据PA=PB，得∠PAB=∠PBA，从而得出∠PAO=∠PBO，由PA是⊙O的切线可推得∠PBO=90°，即OB⊥PB，所以PB是⊙O的切线； （2）连结OP，根据PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，再由OA=OB，则点O在线段AB的垂直平分线上，从而得出OP垂直平分线段AB，根据BC⊥AB，得出PO∥BC，则∠AOP=∠ACB=60°．在Rt△APO中，利用tan∠AOP，求出AP，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）连结OP． ∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段AB． 又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP=∠ACB=60°． 在Rt△APO中，∵tan∠AOPtan60°，AP，∴AO=1，∴⊙O的半径为1． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、线段的垂直平分线以及解直角三角形的综合运用． 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点与点都在抛物线上，点不在抛物线上 【解析】 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．解题关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用． （1）根据题意，过点B作轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标； （2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 【小问1详解】 解：（1）过点作轴，垂足为， ，， ， 又，， ∴， ，， 点的坐标为； 【小问2详解】 抛物线经过点，则得到，解得， 所以抛物线的解析式为． 【小问3详解】 假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形： ①若以点为直角顶点； 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴， ，，， ． ，，可求得点； ②若以点为直角顶点； 则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，同理可证， ，，可求得点； ③以A为直角顶点的等腰的顶点有两种情况．即过点A作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况②的点； 点也可能在轴左侧，即还有第③种情况的点． 因此，然后过作轴于，同理：， ，， 为； 经检验，点与点都在抛物线上，点不在抛物线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市第五中学2026年高中阶段招生考试第二次模拟考试 数学试卷 总分：120分 考试时长：120分钟 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 或2 B. 0 C. 2 D. 5. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 7. 已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 8. 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①② 10. 如图，点A在半径为2的上，P是半径上一个动点（不与A重合），过P的直线与过A的的切线交于点B，且，设，的面积为，那么关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 分解因式______________． 13. 若在第二象限，那么点必在第______象限． 14. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 15. 若一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的众数是________。 16. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 三、简答题（30分） 17. 计算： 18. 计算： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在中，， （1）按要求完成作图： ①用尺规作的角平分线，交于O， ②以O为圆心，为半径作； （2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果． 21. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率． 22. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？ 四、解答题（42分） 23. 某校为了了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下： 参加社区活动次数的频数、频率分布表 活动次数 频数 频率 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中______________，______________；______________；______________ （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校共有名学生，请估计该校在上学期参加社区活动超过次的学生有多少人？ 24. 反比例函数的图象与直线相交于点，， （1）求反比例函数与直线的解析式； （2）连接，，求的面积S． （3）直接写出当x取何值时，． 25. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB， (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径． 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $