13.1三角形的概念 课时练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、图形探究到综合应用的三层设计，构建从单一知识点到推理创新的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形内角和、分类、基本要素|单选1-6题辨析概念，填空8-9题巩固表示方法，培养抽象能力| |提升|图形计数、高的性质|填空10-11题规律探究，解答12-15题图形分析，发展几何直观| |拓展|外角性质、面积计算|解答16-17题综合应用与推理，渗透模型意识与创新意识|

13.1三角形的概念 课时练习 一、单选题 1．若三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（    ） A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形 C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形 4．下列命题中正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形． B．三角形的角平分线是射线． C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． D．等边三角形的三条高的交点与其三条中线的交点重合． 5．下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 6．下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．三角分别相等的两个三角形全等 C．角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴 D．若满足，则是锐角三角形 7．已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为(  ) A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0 C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜2 二、填空题 8．已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 9．如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作 ，读作 ．其中，顶点A所对的边为 还可用 表示；顶点B所对的边为 还可用 表示；顶点C所对的边为 还可用 表示． 10．数一数图中共有（   ）个三角形． 11．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 三、解答题 12．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 13．如图所示，在中，点，分别在，上，交于点． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来． (2)写出以为内角的三角形． (3)写出的对边． (4)写出以线段为边的三角形． 14．（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 15．如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 16．如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 17．计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 答案 一、单选题 1．若三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的形状的判定，本题先利用比值的含义求解三角形中的最大角，从而可得到三角形的形状． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比为， ∴三角形最大角为， 所以，这个三角形是直角三角形． 故选：B． 2．若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形角的大小即可得到结论． 【详解】解：∵一个三角形中有一个角为， ∴这个三角形一定是钝角三角形． 故选：C． 3．已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（    ） A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形 C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理的应用，三角形分类，分两种情况：的角为等腰三角形的底角，的角为等腰三角形的顶角，分别求出另外两个内角的度数，然后进行判断即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，则等腰三角形的另外一个底角为，顶角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形； 当的角为等腰三角形的顶角时，则等腰三角形的两个底角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形， 综上分析可知：这个三角形一定是锐角三角形，故C正确． 故选：C． 4．下列命题中正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形． B．三角形的角平分线是射线． C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． D．等边三角形的三条高的交点与其三条中线的交点重合． 【答案】D 【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项． 【详解】解：A.三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故该命题错误； B.三角形的角平分线是线段，故该命题错误； C.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形的内部或外部，也可以在直角三角形的直角顶点上，故该命题错误； D.等边三角形的三条高的交点与其三条中线的交点重合，故该命题正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的定义以及三角形的三条重要线段，熟记三角形的基本概念是解决本题的关键． 5．下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．三角分别相等的两个三角形全等 C．角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴 D．若满足，则是锐角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，对顶角相等，全等三角形的判定，三角形的分类，根据轴对称的性质，对顶角相等，全等三角形的判定，三角形的分类，逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，说法错误，不符合题意； B、三边分别相等的两个三角形全等，三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项错误，不符合题意； C、角是轴对称图形，一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线，故选项错误，不符合题意； D、若满足，则，，，则是锐角三角形，故选项正确，符合题意； 故选：D． 7．已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为(  ) A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0 C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜2 【答案】C 【分析】将两个函数联立求解可确定点M、N的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解即可得出取值范围． 【详解】解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组， 即， 解得，， 假设M(2,1)，N(-2,-1)， 当时， ∵，，， ∴， ∴，， 当时，, ∴， 当时，, ∴， 综上， 或． 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键． 二、填空题 8．已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 【答案】锐角 【分析】根据题意设，则，根据三角形内角和定理求得,进而求得的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：， 设，则， 解得 是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 9．如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作 ，读作 ．其中，顶点A所对的边为 还可用 表示；顶点B所对的边为 还可用 表示；顶点C所对的边为 还可用 表示． 【答案】 三角形ABC BC a AC b AB c 【分析】根据三角形的概念进行求解即可． 【详解】解：如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC．其中，顶点A所对的边为BC还可用a表示；顶点B所对的边为AC还可用b表示；顶点C所对的边为AB还可用c表示． 故答案为：△ABC；三角形ABC；BC；a；AC；b；AB；c． 【点睛】本题主要考查了三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念． 10．数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 11．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 三、解答题 12．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【答案】图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的定义，即可解答． 【详解】解：由图，可知 图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 13．如图所示，在中，点，分别在，上，交于点． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来． (2)写出以为内角的三角形． (3)写出的对边． (4)写出以线段为边的三角形． 【答案】(1)图中有个三角形，分别是，，，，，，， (2)， (3)在中，的对边是；在中，的对边是 (4)， 【分析】本题考查三角形定义，三角形的边和内角 （1）先找出基本三角形，再找组合图形； （2）根据三角形的内角即可解答； （3）根据三角形的边即可解答； （4）根据三角形的边即可解答； 解题的关键是要细心、仔细的数出三角形的个数． 【详解】（1）解：图中有个三角形，分别是，，，，，，，； （2）含有的三角形有，； （3）在中，的对边是；在中，的对边是； （4）以线段为边的三角形有，． 14．（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【答案】（1）3；（2）6；（3）66． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可； （2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得； （3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案. 【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个； （2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个； （3）∵直线AB上有12个点， ∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形． 【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏. 15．如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 16．如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)个，见解析 (4) 【分析】（1）由三角形的高的定义即可直接得出答案； （2）按照要求作出边上的高即可； （3）由直角三角形的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的面积公式可得，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：边上的高是，边上的高是； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、， 答：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、； （4）解：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，画三角形的高，三角形的分类，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 17．计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $