精品解析：上海市静安区2024-2025学年高三下学期期中教学质量调研（高考二模）数学试卷

静安区2024学年度第二学期期中教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1. 已知全集为，集合，则______． 2. 不等式的解集为_____________． 3. 椭圆的离心率是______． 4. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 5. 已知，则______．（请用含的代数式表达） 6. 已知，则_______ 7. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______． 8. 设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为______． 9. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m． 10. 已知，且，则的最小值是_________． 11. 从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为______． 12. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 15. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 18. 某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表： 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 （1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； （2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率. 19. 如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点． （1）求证： ①直线平面； ②； （2）求二面角的正弦值． 20. 如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． （1）求点的横坐标关于正整数n的表达式； （2）求证：点，，…，…在抛物线：上； （3）过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区2024学年度第二学期期中教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1. 已知全集为，集合，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 所以或. 故答案为：或. 2. 不等式的解集为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由分式不等式的解法直接求解即可. 【详解】由得：，解得：，不等式的解集为. 故答案为：. 3. 椭圆的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率. 【详解】在椭圆中，，，， 因此，椭圆的离心率是. 故答案为：. 4. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=，则p=， 故答案为． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 5. 已知，则______．（请用含的代数式表达） 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 6. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式化简求值. 【详解】. 故答案为： 7. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】第一次没有摸到黑球，则还剩下一个黑球，一个不是黑球，共两个球， 所以. 故答案为：. 8. 设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的最值求出和周期，进而可求出，再利用待定系数法求出即可. 【详解】由题意可知，解得， ，所以，所以， 所以， 又当时，函数取得最大值， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：. 9. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m． 【答案】 【解析】 【分析】设底面短边长为，求出容器的容积的表达式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】设底面短边长为， 则长边长为，高为， 则，解得， 则容器的容积，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以要使该容器的容积最大，则容器的高为. 故答案为：. 10. 已知，且，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：. 11. 从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，易得，从而可得出，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 因为，所以，即， 所以，又因为都是正整数， 所以， 当时，此时， 所以（舍去）， 当时，此时， 所以， 综上所述，， 所以. 故答案为：. 12. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】由题意可得两点关于折线对称，连结， 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以． 因为，即， 当，即时，， 此时取得最小值，且． 所以的最小值为． 故答案为：. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题根据一元二次不等式的解集为R， 可得， 所以“”是“一元二次不等式的解集为R”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：D. 15. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】易知，有三个零点 因为二次函数，所以，它有两个零点 由图像易知，当时，； 当时，，故是极小值 类似地可知，是极大值. 故答案为C 16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得出，再利用累加法即可得解. 【详解】由，可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 则， 所以． 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式求出函数解析式，再根据余弦函数的周期性即可得解； （2）根据三角函数的奇偶性求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 ， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 18. 某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表： 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 （1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； （2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率. 【答案】(1)4.7；(2). 【解析】 【详解】试题分析：（1）平均数与一组数据里的每个数据都有关系，；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性． 试题解析：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为 ． 据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为． 3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为、、、、、， 所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情形． 7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的有，，， ，，，，，，，共10种． 10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率为． 12分 考点：1、数据的平均数；2、利用古典概型求随机事件概率． 19. 如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点． （1）求证： ①直线平面； ②； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； ②证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）易得，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 ①在正三棱柱中，， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，面， 所以平面； ②因为，是线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 又平面，所以平面， 又平面， 所以； 【小问2详解】 在中，由于，所以， 则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为轴垂直平面， 则可取平面的法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为． 20. 如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． （1）求点的横坐标关于正整数n的表达式； （2）求证：点，，…，…在抛物线：上； （3）过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1） （2）设点的坐标为， 则，即， 所以， 所以点，，，在抛物线上； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合等差数列的前项和公式求解即可； （2）设点的坐标为，则，再将点的坐标代入即可得证； （3）设直线的方程为，联立方程，利用弦长公式求出，再将用代换求出，从而可得出四边形ABCD面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由， 可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 抛物线的焦点为， 互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴， 设直线的方程为， 代入，得， 则有， 所以， 将上式中的用代换，得， 于是 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为18． 【点睛】 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $