精品解析：上海市扬子中学2025-2026学年第二学期学程3考试高三数学试题

2025学年第二学期学程3考试 高三数学 满分150，时间：120分钟 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 若集合，则实数______. 【答案】2 【解析】 【详解】集合，. 故答案为：. 2. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式等价变形为，解此不等式即可. 【详解】不等式等价于，解得， 因此，不等式的解集是. 故答案为. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 4. 若正数满足，则的最大值为_________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的侧面展开图求得，结合圆锥的表面积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 因为圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形， 故，则， 故该圆锥的表面积为， 故答案为： 6. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr． ∵含有x2的系数是54，∴r＝2． ∴54，可得6，∴6，n∈N*． 解得n＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 如果函数是奇函数，则__． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数是奇函数，即可求解. 【详解】设，. 故答案为： 8. 已知数列为等比数列，，，则前5项和为___________． 【答案】 【解析】 【详解】已知数列为等比数列，设首项是，公比为，则， ，解得， ． 9. 在中，内角的对边分别是，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到，再结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，因为， 所以， 因为，所以. 故答案为： 10. 已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【解析】 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 11. 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解. 【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为， 所以出租车空驶率， 对于甲，，满足题意； 对于乙，，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为，即. 故答案为：. 12. 已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， ①当对任意均成立时，可得对任意均成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以， 又由对任意均成立， 可得对任意均成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以. ②当且对于任意均成立时， 结合①可知且，此时无解. 综上可得，实数实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由散点图的趋势可知且接近1， ，与绝对值较小， 所以最大. 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 15. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，且，则 C. 一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据二项分布的方差公式求解即可；对B，根据正态分布的对称性求解即可；对C，根据百分位数的定义判断即可；对D，根据对立事件的概率公式，结合事件与事件相互独立事件满足判断即可． 【详解】对A，，故A错误； 对B，若随机变量，且，则，故B错误； 对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即，故C正确； 对D，，，故，故事件与事件不相互独立，故D错误； 故选：C． 16. 设，有如下两个命题： ①函数的图象与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上． 则下列说法正确的是（ ）． A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】B 【解析】 【分析】对①：结合函数性质与图象判断即可得；对②：由曲线的对称性，可得要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形. 【详解】对①：令， 当时，，当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 函数的图象与圆的图象如图所示： 故函数的图象与圆有且只有两个公共点，故①正确； 对②：由， 故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形， 显然，当时，， 点在函数图像外侧，则，此时； 利用极限思想，时，，此时； 时，，此时，如图所示， 故至少两个正方形， 故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：结论②需注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解. （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围; 【小问1详解】 当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. （1）求证：平面平面PAC： （2）若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形得，由底面得，故平面，从而平面平面； （2）设，由体积公式及已知体积解得；利用中位线得   且 ，，由 平面知线面角为，计算得角的大小. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面为菱形，所以， 又因为底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 设，底面为菱形，， 因此菱形面积，四棱锥体积​， 由题可知​​，得，即. 由于，则为中点，故. 连接，又由于是的中点，则 ，， 从而底面，即， 又，从而平面，可知与平面所成角为. ，由于 ， 故与平面所成角的大小为. 19. 地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A,B,C等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数服从二项分布，利用二项分布计算获得B等级的人数不少于2人的概率. 【小问1详解】 由频率和为可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为， 根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为， 所以的可能取值为. ，， ， 所以的分布列为 【小问3详解】 由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为， 设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为， 则服从二项分布， 所以获得B等级的人数不少于2人的概率为 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 ①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，∴， 则， 解得，则. 【小问3详解】 ①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴， 联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 21. 已知函数的极小值为1． （1）求实数a的值； （2）设函数． ①证明：当时，，恒成立； ②若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）①证明见解析；②或 【解析】 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解（2）①法一：先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可；法二：直接利用（1）的结论放缩即可②研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． 【小问2详解】 ①法一：，． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． 法二：由（1）知，的最小值为， 即（当且仅当时，等号成立）． 因为，所以 所以得证． ②． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 【点睛】用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手，一是研究函数的单调性，二是极值（或最值）的符号，三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势，此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学程3考试 高三数学 满分150，时间：120分钟 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 若集合，则实数______. 2. 不等式的解集是________. 3. 已知向量，若，则_________． 4. 若正数满足，则的最大值为_________. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为________. 6. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________. 7. 如果函数是奇函数，则__． 8. 已知数列为等比数列，，，则前5项和为___________． 9. 在中，内角的对边分别是，若，则___________. 10. 已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 11. 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01） 12. 已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，且，则 C. 一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 16. 设，有如下两个命题： ①函数的图象与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上． 则下列说法正确的是（ ）． A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. （1）求证：平面平面PAC： （2）若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 19. 地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率. 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 21. 已知函数的极小值为1． （1）求实数a的值； （2）设函数． ①证明：当时，，恒成立； ②若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $