专题02 空间向量的数量积运算10种常见考法归类（41题）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，先系统梳理空间向量夹角的定义、范围及与异面直线所成角的联系，再阐述数量积的定义、性质、运算律，构建从概念到应用（判断图形形状、求最值、垂直问题等）的递进学习支架，覆盖10种常见考法。 该资料按10种考法归类题型，结合正四面体、正方体等实例，通过解题策略培养数学思维（逻辑推理、运算能力）和数学眼光（空间观念）。课中辅助教师分题型教学，课后41道题帮助学生巩固，查漏补缺，提升应用意识。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册考点通关 专题02 空间向量的数量积运算10种常见考法归类（41题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的夹角 题型二 空间向量的运算律 题型三 空间向量数量积的运算 题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状 题型五 空间向量数量积的最值问题 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 题型八 利用空间向量的数量积求夹角 （一）求两个向量的夹角 （二）求异面直线所成角 题型九 利用空间向量的数量积求投影向量 题型十 新定义问题 知识点1 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (3)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (4)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 题型一 空间向量的夹角 1．（2026高二·全国·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 2．（2026高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 知识点2 空间向量的数量积 1．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2. 空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 注： 题型二 空间向量的运算律 3．【多选】（2026高二·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 4．（2026高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 5．（2026高二·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 6．（2026高二·江西·阶段检测）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 题型三 空间向量数量积的运算 解题策略：1.求空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 7．（2026高二·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 8．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 9．（2026高二·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 10．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 11．（2026高二·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 12．（2026高二·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 13．（2026高二·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 14．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 【答案】0 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状 15．（2026高一·全国·专题练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________. 【答案】等腰三角形 【分析】由，利用向量的减法和数量积运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 则，即， 所以的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 题型五 空间向量数量积的最值问题 16．（2026高二·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，将转化为，则题意求得的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面． 又， 因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形. 所以，. 因为， 所以，. 所以的取值范围为． 故答案为：． 17．（2026高二·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 18．如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. （2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 19．（2026高三·全国·二轮复习）如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O，整理可得，进而分析求解. 【详解】由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为． 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则． 由于P为正方体表面上的动点，则，所以． 故选：B. 20．（2026高二·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 21．（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 知识点3 空间向量数量积的性质 1.空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③若与同向，则；若与反向，则．特别地，； ④； ⑤ 2、空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系． (2)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (3)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; (4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题． 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 解题策略：1.利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可． 2.利用向量法证明垂直关系的步骤 第一步：将已知的几何问题转化为向量问题； 第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量； 第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； 第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论． 22．（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 23．（2026高二·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【详解】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 24．（2026高二·湖北·阶段检测）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【答案】(1) (2) ， 则 . 故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）略 25．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【答案】(1)； (2) ， 所以，所以， 同理可证，所以. 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. 【详解】（1）， ， 所以； （2）略 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 解题策略：求空间两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用空间向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题． 注：利用空间向量的数量积求距离 (1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 26．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 所以 ， 故对角线. 27．（2026高二·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 28．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【答案】 【分析】根据空间向量基本定理把用表示出来，再利用向量数量积公式得到的长. 【详解】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 29．（2026高一·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    题型八 利用空间向量的数量积求夹角 （1） 求两个向量的夹角 解题策略：利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围． (2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 30．（26-27高二·全国·暑假作业）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 31．（2026高二·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 32．（2026高二·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. （2） 求异面直线所成角 解题策略： 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 33．（2026高二·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 34．【多选】（2026高二·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 知识点4 投影向量 （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 题型九 利用空间向量的数量积求投影向量 35．（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 36．（2026高二·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    37．（2026高二·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 38．【多选】（2026高二·山东·阶段检测）如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（   ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】选项A：向量分解法，拆分为基向量（）的组合，结合点的中点关系推导表达式； 选项B：向量点积法，展开，利用直三棱柱侧棱垂直、正三角形夹角性质计算点积； 选项C：平面投影，作向量端点到平面的垂线，用勾股定理算投影向量模长； 选项D：直线投影，作端点到直线的垂线，或用投影公式算投影向量； 【详解】因为直三棱柱所有棱长为1，分别是，中点，所以 选项A：，A正确； 选项B ：因为底面是正三角形，所以与的夹角是，与的夹角是， 所以； ； 又，故， 所以 ，B错误； 选项C ：过作平面，垂足为，易知， 过作平面，垂足为，易知， 即在平面上的投影向量为， 所以.C正确； 选项D ：过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为， 因为，则：.D错误.    故选：AC. 39．（2026高二·湖北十堰·阶段检测）如下图所示，在平行六面体中，，，，    (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 【答案】(1)0； (2)； (3). 【分析】（1）由题意，即可求数量积； （2）由，应用数量积的运算律及已知求，再由投影向量的定义求在上的投影向量； （3）由，应用向量数量积的运算律求模长即可得. 【详解】（1）由，即，则； （2）由，则， 而，则在上的投影向量； （3）由，则 ， 所以. 题型十 新定义问题 40．【多选】（2026高二·山西太原·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【分析】根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 41．（2026高二·湖南郴州·开学考试）已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册考点通关 专题02 空间向量的数量积运算10种常见考法归类（41题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的夹角 题型二 空间向量的运算律 题型三 空间向量数量积的运算 题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状 题型五 空间向量数量积的最值问题 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 题型八 利用空间向量的数量积求夹角 （一）求两个向量的夹角 （二）求异面直线所成角 题型九 利用空间向量的数量积求投影向量 题型十 新定义问题 知识点1 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (3)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (4)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 题型一 空间向量的夹角 1．（2026高二·全国·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 2．（2026高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 知识点2 空间向量的数量积 1．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2. 空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 注： 题型二 空间向量的运算律 3．【多选】（2026高二·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 4．（2026高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 5．（2026高二·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 6．（2026高二·江西·阶段检测）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 题型三 空间向量数量积的运算 解题策略：1.求空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 7．（2026高二·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 8．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（2026高二·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 10．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 11．（2026高二·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 12．（2026高二·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 13．（2026高二·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 14．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状 15．（2026高一·全国·专题练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________. 题型五 空间向量数量积的最值问题 16．（2026高二·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 17．（2026高二·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 19．（2026高三·全国·二轮复习）如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 20．（2026高二·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 21．（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 知识点3 空间向量数量积的性质 1.空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③若与同向，则；若与反向，则．特别地，； ④； ⑤ 2、空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系． (2)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (3)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; (4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题． 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 解题策略：1.利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可． 2.利用向量法证明垂直关系的步骤 第一步：将已知的几何问题转化为向量问题； 第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量； 第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； 第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论． 22．（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 23．（2026高二·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 24．（2026高二·湖北·阶段检测）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 25．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 解题策略：求空间两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用空间向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题． 注：利用空间向量的数量积求距离 (1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 26．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 27．（2026高二·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 28．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    29．（2026高一·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 题型八 利用空间向量的数量积求夹角 （1） 求两个向量的夹角 解题策略：利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围． (2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 30．（26-27高二·全国·暑假作业）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高二·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． （2） 求异面直线所成角 解题策略： 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 33．（2026高二·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 34．【多选】（2026高二·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 知识点4 投影向量 （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 题型九 利用空间向量的数量积求投影向量 35．（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 36．（2026高二·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 37．（2026高二·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 38．【多选】（2026高二·山东·阶段检测）如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（   ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 39．（2026高二·湖北十堰·阶段检测）如下图所示，在平行六面体中，，，，    (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 题型十 新定义问题 40．【多选】（2026高二·山西太原·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 41．（2026高二·湖南郴州·开学考试）已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 $