2.2基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式≤（a＞0，b＞0）这一核心知识点，承接2.1重要不等式a²+b²≥2ab（由赵爽弦图引入），通过替换得到，是全章及高中求最值的核心工具，后续应用于函数、立体几何、圆锥曲线等内容。 资料特色在于融合数学眼光（几何意义中半径不小于半弦的直观理解）、数学思维（分析法证明的逻辑推理）与数学语言（规范表述及变形），通过分层处理（普通班与优生班）、题型精练（如“1”的代换应用题）辅助教学，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2　基本不等式 讲义　2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、课标要求与教材位置 《普通高中数学课程标准》要求：掌握基本不等式 ≤（a＞0，b＞0），理解它的代数与几何意义，能用它解决简单的最大值、最小值问题。这里"掌握"是最高层级——不仅要会用，还要理解它从哪里来、等号何时成立、用它求最值需要哪些前提。 本节位于第二章"一元二次函数、方程和不等式"的第二节，紧接2.1的重要不等式 a²+b²≥2ab。2.1从赵爽弦图得到 a²+b²≥2ab（a、b为任意实数），本节把 a、b 换成 、，就得到只对正数成立的基本不等式。它是全章乃至整个高中"求最值"的核心工具，后面研究一元二次函数的最值、必修二立体几何的用料最省、选择性必修的圆锥曲线取值范围，都会反复用到。 高考落点：直接考"给定和（或积）求积（或和）的最值""含参恒成立求参数范围"；间接用在函数、解析几何的取值范围题里。本节按2课时安排——第一课时学基本不等式的概念、两种证明与几何意义、直接求最值（例1）；第二课时学最值原理（例2）与实际应用（例3、例4）以及拼凑、"1"的代换等技巧。本讲义为便于备课，一次覆盖全节。 二、知识精讲 （一）从重要不等式到基本不等式 教材引入：2.1中由赵爽弦图得到重要不等式：a、bR，有 a²+b²≥2ab，当且仅当 a＝b 时等号成立。特别地，当 a＞0，b＞0 时，用 、 分别代替上式中的 a、b，得 　　　　 ≤ 　（a＞0，b＞0）， 当且仅当 a＝b 时，等号成立。这个不等式称为基本不等式。 规范表述：对任意正数 a、b， 叫做 a、b 的算术平均数， 叫做 a、b 的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 教学处理：这里要讲清"重要不等式"与"基本不等式"的区别与联系——前者对一切实数成立、比较的是平方和与2ab；后者只对正数成立、比较的是算术平均与几何平均。用 、 代入是二者的桥梁，这一步值得在黑板上完整演示一遍。 （二）基本不等式的代数证明（分析法） 教材用"分析法"直接由不等式性质推出基本不等式，即从要证的结论出发，一步步找它成立的充分条件，直到找到一个显然成立的式子。 　要证　 ≤ 　　　　　① 　只要证　2 ≤ a+b　　　　　② 　只要证　2 － a － b ≤ 0　　③ 　只要证　－( － )² ≤ 0　　　④ 　只要证　( － )² ≥ 0　　　　⑤ ⑤显然成立，当且仅当 ＝ 即 a＝b 时，⑤中的等号成立。只要把上述过程倒过来写，就是一个完整的证明。 方法点拨：分析法的书写关键是每一步写"只要证"，方向是"执果索因"；证完再强调"把过程倒过来"才是严格的综合法证明。③到④这一步是把 a、b 写成 ()²、()²，再配成完全平方，学生容易卡在这里，要板演。 （三）基本不等式的几何意义 教材图（图2.2-1）：AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，AC＝a，BC＝b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD。由 △ACD∽△DCB 可得 CD²＝AC·CB＝ab，即 CD＝。 圆的半径为 ＝。由于半弦 CD 小于或等于半径，用不等式表示就是 ≤ ；当且仅当点 C 与圆心重合，即 a＝b 时，半弦等于半径，等号成立。 教学处理：几何意义把"算术平均不小于几何平均"翻译成"半径不小于半弦"，直观且好记。可让学生自己在图上指出哪一段是 、哪一段是 ，比死记结论有用得多。 （四）基本不等式的常用变形 同一个不等式，换一个样子就是一个新工具。下面几个变形要让学生随手能写（a、b＞0）： 　（1）a＋b ≥ 2（和不小于积的两倍根）； 　（2）ab ≤ ()²，即 ab≤（积不大于和的一半的平方）； 　（3）(a+b)² ≥ 4ab； 　（4） ＋ ≥ 2（a、b 同号即可，取 与 互为倒数）。 这些变形都在 a＝b 时取等。求"和"的最小值常用（1），求"积"的最大值常用（2）。 （五）用基本不等式求最值：一正、二定、三相等 教材例2（原理）：已知 x、y 都是正数，求证：(1) 如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x+y 有最小值 2；(2) 如果和 x+y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 ()S²。 证明：因为 x、y 都是正数，所以 ≥ 。(1) 当 xy＝P 时，≥，所以 x+y≥2，当且仅当 x＝y 时取等，和有最小值 2。(2) 当 x+y＝S 时，≤，所以 xy≤()S²，当且仅当 x＝y 时取等，积有最大值 ()S²。 口诀（求最值三查）：①一正——各项必须都是正数；②二定——和为定值（求积的最大）或积为定值（求和的最小），凑不出定值就用不上；③三相等——等号能取到，即存在使各项相等的取值。三者缺一不可，尤其"三相等"最容易被忽略。 三、概念辨析与易错点 1．丢掉"一正"。基本不等式要求 a＞0，b＞0。对 x＜0，x＋≤－2（不是≥2）；用之前必须先确认各项为正，否则整个结论方向都可能反。 2．凑不出定值也硬用。求 x＋（x＞0）的最小值，因为 x·()＝4 是定值才能用；若是 x＋，积不是定值，直接用基本不等式得不到最小值，要改用拆项或函数方法。 3．忘验"三相等"。多次使用基本不等式或加了范围限制时，必须检验各处等号能否同时取到。取等条件算出来的 x 不在定义域内，"最小值"就是假的。 4．和定、积定用反。和为定值求积的最大，积为定值求和的最小。记法："定谁求谁的反面"——和定求积、积定求和。 5．"最小值"与"≥某数"混为一谈。x＋≥2 只说明 2 是下界；只有验证了 x＝1 时确实取到 2，才能说最小值是 2。写解答必须写出取等的 x。 6．几何平均写成 ()() 却忘了 a、b 为正。 只有在 a、b＞0 时才是几何平均；负数没有算术—几何平均的比较。 四、题型归纳 题型一　直接求最值（和积互为定值） 例：已知 x＞0，求 x＋ 的最小值。 解：因为 x＞0，所以 x＋ ≥ 2 ＝ 2，当且仅当 x＝，即 x＝1 时等号成立。所以最小值为 2。 方法点拨：看到"两项之积为常数"就想基本不等式。三步：验一正→用不等式得下界→解取等方程验证。取等的 x 必须写出来。 题型二　拼凑法（配凑定值） 例：已知 x＞1，求 x＋ 的最小值。 解：因为 x＞1，所以 x－1＞0。x＋＝(x－1)＋＋1 ≥ 2＋1 ＝ 2＋1，当且仅当 x－1＝，即 x＝1＋ 时等号成立。所以最小值为 2＋1。 方法点拨：两项之积不是常数时，先"拆、凑"出积为常数的两项，多出来的常数单独留在外面。凑完一定要回代验证取等条件成立。 题型三　"1"的代换 例：已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求 ＋ 的最小值。 解：因为 a＋b＝1，所以 ＋＝(＋)(a＋b)＝1＋4＋＋＝5＋(＋) ≥ 5＋2＝5＋4＝9，当且仅当 ＝，即 b＝2a，结合 a＋b＝1 得 a＝、b＝ 时等号成立。所以最小值为 9。 方法点拨：已知"和为定值"求"分式和"的最小值，把定值凑成 1 乘上去展开，是本节最典型的技巧。展开后剩下的两项互为倒数关系，正好用基本不等式。 题型四　和定积最大、积定和最小的应用题 例（教材例3）：(1) 用篱笆围一个面积为 100m² 的矩形菜园，边长为多少时篱笆最短？最短是多少？(2) 用一段长 36m 的篱笆围矩形菜园，边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形相邻两边长为 x m、y m。(1) 由已知 xy＝100（积定）。x＋y≥2＝20，所以篱笆长 2(x+y)≥40，当且仅当 x＝y＝10 时取等。即边长为 10m 的正方形时篱笆最短，最短 40m。(2) 由已知 2(x+y)＝36，即 x+y＝18（和定）。面积 xy≤()²＝81，当且仅当 x＝y＝9 时取等。即边长为 9m 的正方形时面积最大，最大 81m²。 方法点拨：实际问题先设变量、列出"和"或"积"的定值关系，判断求的是和还是积，再套原理。答"当…时取得…值"，并回到实际情境说清边长。 题型五　用基本不等式证明不等式 例：已知 a、b 为正实数，求证 ≥ 。 证明：因为 a、b＞0，两边都是正数，只要证 ≥ ()²，即 2(a²+b²) ≥ (a+b)²，即 2a²+2b² ≥ a²+2ab+b²，即 a²+b² ≥ 2ab，即 (a－b)² ≥ 0。这显然成立，当且仅当 a＝b 时等号成立。所以原不等式成立。 方法点拨：两边为正的不等式证明，可"平方去根号"转化为多项式不等式，再作差配方。这类题把重要不等式 a²+b²≥2ab 与基本不等式串在一起，是理解二者关系的好素材。 五、与考试的对应 月考、期中直接考：给定和或积求另一者的最值（题型一、四）；含分式的"1"的代换（题型三）；含参"恒成立"求参数范围（把恒成立转化为求最值）。这些是本节的高频得分点，也是高频失分点——失分几乎都出在"忘验一正""凑不出定值硬用""不写取等条件"。 高考里基本不等式很少单独成题，多作为工具嵌在函数最值、解析几何取值范围、导数压轴的某一步。为后续铺垫：一元二次函数最值（本章2.3）、必修二立体几何的最省用料、选择性必修的圆锥曲线弦长与面积最值都要用它。 六、初高中衔接与教学提醒 学生基础：初中已学过 a²+b²≥2ab 的特殊情形与配方，但没有系统的"求最值三查"意识。 进度建议：第一课时务必把两种证明和几何意义讲透，例1只作"直接应用"的示范；第二课时集中练拼凑、"1"的代换与应用题，把"三相等"的检验固化成习惯动作。 分层处理：拼凑法与"1"的代换，普通班放慢、多练基本型；优生班加三元均值链（如 x²+ 拆成 x²++）与含参恒成立。★标注的拔高只要求优生班课上完成。 当堂过关：默写基本不等式及取等条件；口答"求最值三查"；随堂完成例1与一道拼凑题。 七、题型精练（附详解） （可直接抽作当堂检测或周测题源。） 1．（　）已知 a＞0，b＞0，ab＝2，则 ＋ 的最小值为　A．2　B．2　C．/2　D． 2．（　）已知 a＞0，b＞0，ab＝2，则 (a＋1)(b＋2) 的最小值为　A．4　B．6　C．2　D．8 3．（　）函数 y＝x²＋1＋ 的最小值为　A．4　B．5　C．6　D．7 4．（　）已知 x＞1，则 x＋ 的最小值为　A．3　B．4　C．2＋1　D．5 5．（　）当 x＞ 时，y＝x＋ 的最小值是　　B．4　C．5　D．9 6．（　）已知 aR，设 P＝(4＋a²)(4＋)，Q＝24，则 P 与 Q 的大小关系是　A．P＞Q　B．P＝Q　C．P＜Q　D．不确定 7．（填空）已知正实数 a、b 满足 ab＝8，则 a＋2b 的最小值为＿＿＿＿。 8．（填空）正实数 a、b 的几何平均数为 2，则 a 与 4b 的算术平均数的最小值为＿＿＿＿。 9．（解答）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求 ＋ 的最小值。 10．（解答）用一段长 36m 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），当边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 详解 1．D。 ＋＝＝≥＝，当 a＝b＝ 时取等。（坑：直接对 、 用基本不等式得 ＋≥＝，同样得 ，但要说明取等。） 2．D。 (a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝2＋2a＋b＋2＝4＋(2a＋b)。 又 2a＋b≥2＝2＝4， 所以原式≥8， 当 2a＝b 且 ab＝2， 即 a＝1、b＝2 时取等。选 D。 3．B。 令 t＝x²＋2≥2， 则 y＝t－1＋＝t＋－1≥2－1＝5， 当 t＝3 即 x²＝1、x＝±1 时取等（此时 t＝3＞2，取等有效）。选 B。 4．C。 x＞1 时 x－1＞0，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1， 当 x＝1＋ 时取等。选 C。 5．A。 x＞ 时 2x－1＞0， y＝()(2x－1)＋＋≥2＋＝4＋＝， 当 ()(2x－1)＝， 即 2x－1＝4、x＝ 时取等。选 A。 6．A。 P＝16＋＋4a²＋1＝17＋4(a²＋)。 因为 a²＞0，a²＋≥2， 所以 P≥17＋8＝25＞24＝Q， 当 a²＝1 即 a＝±1 时 P＝25。选 A。 7．8。 a＋2b≥2＝2＝8， 当 a＝2b 且 ab＝8，即 a＝4、b＝2 时取等，最小值 8。 8．4。 几何平均为 2 即 ＝2，ab＝4。 a＋4b≥2＝2＝8， 所以 ≥4， 当 a＝4b 且 ab＝4，即 a＝4、b＝1 时取等，最小值 4。 9．因为 a＋b＝1， 所以＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当 b＝2a，即 a＝、b＝ 时取等。 最小值为 9。 10．设垂直于墙的两边各长 x m，平行于墙的一边长 y m， 则用篱笆 2x＋y＝36。 面积 S＝xy＝x(36－2x)＝()(2x)(36－2x)≤()()²＝()·18²＝162， 当 2x＝36－2x，即 x＝9、y＝18 时取等。 所以垂直于墙的边长 9m、平行于墙的边长 18m 时面积最大，最大面积 162m²。 学科网（北京）股份有限公司 $