2.2 基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理重要不等式（a²+b²≥2ab）与基本不等式（算术平均数≥几何平均数）的内容及等号条件，构建从定义理解到比较大小、证明不等式、求最值、“1”的妙用及实际应用的完整学习支架。 资料以5类题型为核心，搭配典例与变式题（含高考真题、各地期末题），通过实际问题（如矩形菜园、造价计算）培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

专题2.2 基本不等式【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1··由基本不等式比较大小】 1 【题型 2·利用基本不等式证明不等式】 2 【题型 3·利用基本不等式求最值】 3 【题型 4··基本不等式“1”的妙用求最值】 4 【题型 5·基本不等式的实际应用】 5 【课后练习】 7 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【题型 1··由基本不等式比较大小】 【典例1】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·贵州·期末）（多选）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段检测）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【题型 2·利用基本不等式证明不等式】 【例2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【变式2-1】（25-26高一上·山东青岛·期中）（多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型 3·利用基本不等式求最值】 【例3】（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【变式3-1】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）若正数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 题型 4··基本不等式“1”的妙用求最值】 【例4】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知，，，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 知识点3 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型 5·基本不等式的实际应用】 【例5】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【变式5-1】（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【变式5-2】（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【变式5-3】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元? 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·云南昭通·期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．7 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广西柳州·期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 6.（24-25高一上·海南海口·阶段检测）已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 7．（24-25高一上·浙江衢州·阶段检测）（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知正数满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为6 9．（25-26高一上·广西来宾·期中）已知，，且，则xy的最大值为______. 10．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 11．（24-25高一上·广西柳州·期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要______米棚栏. 12．（24-25高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 13．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． (1)若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． (2)当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1··由基本不等式比较大小】 1 【题型 2·利用基本不等式证明不等式】 3 【题型 3·利用基本不等式求最值】 6 【题型 4··基本不等式“1”的妙用求最值】 7 【题型 5·基本不等式的实际应用】 10 【课后练习】 13 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【题型 1··由基本不等式比较大小】 【典例1】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 【变式1-1】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·贵州·期末）（多选）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项ABD利用不等式即可判断，而选项C举反例.即可得到答案. 【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 【变式1-3】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段检测）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 【题型 2·利用基本不等式证明不等式】 【例2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-1】（25-26高一上·山东青岛·期中）（多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式逐一判断即可. 【详解】由均值不等式可知，当且仅当时，等号成立． 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； ，当且仅当时，等号成立，故B正确； ，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误； ，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【变式2-3】（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型 3·利用基本不等式求最值】 【例3】（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【详解】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 【变式3-1】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）若正数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】由，得， 所以，当且仅当时，等号成立． 故选：B 【变式3-3】（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】变形得，利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是12． 故选：A． 题型 4··基本不等式“1”的妙用求最值】 【例4】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可 （2）利用“1”的代换，化简得到，展开后再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为． （2）因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为12． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知，，，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A 【变式4-1】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】因为均为正数，且， 所以 ，当且仅当即时取等号. 故选：D 【变式4-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 知识点3 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型 5·基本不等式的实际应用】 【例5】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 【变式5-1】（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为 . （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【变式5-2】（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 【变式5-3】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元? 【答案】(1), (2)当水池底面设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】（1）根据题意列式得出总造价； （2）结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则,. （2） ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池底面设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·云南昭通·期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为8. 故选：D. 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．7 【答案】A 【分析】先凑型使得积为定值再根据基本不等式求得最值即可. 【详解】， 当且仅当“”即“”时成立，符合，所以最小值为； 故选：A 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 5．（24-25高一上·广西柳州·期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 【答案】D 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：D 6.（24-25高一上·海南海口·阶段检测）已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的巧用，求和的最小值即可. 【详解】已知，，， 所以 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A. 7．（24-25高一上·浙江衢州·阶段检测）（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，可判断AB；利用，结合基本不等式可判断C；由，计算可判断D. 【详解】因为正数，满足，所以，所以， 当且仅当时，取等号，故A正确，B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ，当且仅当时，取等号，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一下·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知正数满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为6 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值为，因此A正确； 对于B：因为是正数，， 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，B正确； 对于C：因为 当且仅当时取等号，即当时，，因此C不正确； 对于D，由， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：ABD. 9．（25-26高一上·广西来宾·期中）已知，，且，则xy的最大值为______. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，且，得， 当且仅当取等号，所以xy的最大值为1. 故答案为：1 10．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 11．（24-25高一上·广西柳州·期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要______米棚栏. 【答案】 【分析】根据面积可得，周长为，然后根据基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，且周长是， 根据基本不等式，，当取等号， 即至少需要米棚栏. 故答案为： 12．（24-25高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求解， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是 13．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． (1)若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． (2)当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)当 时，总造价最低，为万元. 【分析】（1）分别求出贮水池的底面积和侧面积，得到底面造价和侧面造价，即可得所求函数关系. （2）根据基本不等式，求函数的最小值及对应的值. 【详解】（1）因为贮水池的体积为 ，深为3，所以贮水池的底面积为 . 则底面造价为：元. 设底部长为 ，则宽为 ，贮水池侧面积为：，侧面造价为：. 所以：总造价为：. （2）因为（当且仅当即时取“”）， 此时有最小值，为元. 所以，当 时，总造价最低，为万元. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $