2.2 基本不等式（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的定义、证明、几何解释及最值应用，通过天平称重情境导入，将实际问题转化为比较算术与几何平均数的大小，搭建从生活现象到数学概念的学习支架，衔接不等式性质与函数最值知识。 其亮点在于运用数形结合（半圆中半径与半弦关系的几何解释）和逻辑推理（作差法、分析法证明），强化“一正二定三相等”应用条件，典例涵盖禽舍设计等实际问题与数学配凑题，提升数学运算和数学建模素养，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 学 习 目 标 1 2 3 理解基本不等式的定义、证明过程和几何解释，掌握算术平均值、几何平均值的定义 会用基本不等式证明简单不等式，能借助基本不等式解决简单的最值问题 体会数形结合思想，提升逻辑推理和数学运算的核心素养 新课引入 天平称重问题情境 某金店的天平左右两臂长略有不等，顾客买金项链时，店主分别将项链放在左右两盘各称一次，得到两个重量a和b，用两次重量的算术平均数作为项链的重量。这个结果准确吗？实际重量比这个平均值更大还是更小？ 将问题转化为数学问题：设项链真实重量为W，天平两臂长为，根据力学原理得，，两式相乘得=ab，即W=， 问题转化为比较和的大小， 学习本节的基本不等式的知识，就能顺利地解决这个问题。 目标一：基本不等式的完整表述 互动探究 从重要不等式到基本不等式（代数探究） 基本不等式 步骤 推导内容 1. 回顾 已证 2. 替换 令 ，则 3. 变形 代入得 4. 整理 思考： 为什么要限定 a>0,b>0？ 等号成立的条件是什么？ 结论：基本不等式 ≥（a>0,b>0，当且仅当 a=b 时取等号） 术语说明：算术平均数 ：几何平均数 。 基本不等式又称”均值不等式”：算术平均数 ≥ 几何平均数 构建体系 基本不等式 1. 基本不等式的完整表述 ≥ (a>0,b>0) 当且仅当 a=b 时，等号成立。 2. 使用条件——“一正二定三相等” 条件 含义 注意事项 一正 必须为正数，负数不成立 二定 和或积为定值 求最值时需确定定值 三相等 等号能取到 验证 是否在定义域内 3. 基本不等式的变形 a+b≥（和定求积） ab≤（积定求和） 构建体系 基本不等式 4. 拓展不等式链 对任意正数a,b，有调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：≤≤≤，当且仅当a=b时所有等号同时成立。 主要应用的是算术平均数与几何平均数关系，调和平均数与平方平均数，在个别选择题中应用得到。 目标二：基本不等式的证明 构建体系 基本不等式 方法一：作差法（自主完成） 当且仅，即 a=b 时取等号。 方法二：分析法 要证 只需证 a+b≥ 只需证 ≥0 以上步步可逆，故原不等式成立。 构建体系 基本不等式 方法三：几何解释（阅读理解） 如图，AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a，CB=b，过点C作AB的垂线，交半圆于点D，连接AD,OD,BD。有 OD=OB 利用三角形相似，可证得△ACD△DCB， 从而CD=。 从图中可以看出，OD≥CD，当且仅当点C与圆心O重合，等号成立，即“半径大于等于半弦”。即 构建体系 基本不等式 思考交流： 如图，AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a，CB=b，过点O作AB的垂线，交半圆于点F，连接FC。请利用FC≥OF写出一个关于a,b的不等式。 如图所示，有CF= OD=OF CD=,  DE= E≤CD≤OD=OF≤CF, ab≤≤ (a,b∈R) 当且仅当 " a=b" 时取等号。 目标三 ：基本不等式求最值 构建体系 基本不等式 5. 应用方向 类型 条件 结论 和定积最大 （定值） ，当 时取最大 积定和最小 （定值） ，当 时取最小 理解要点： 当两个正数的和固定时，它们的乘积在两数相等时取得最大值。 当两个正数的积固定时，它们的和在两数相等时取得最小值。 构建体系 基本不等式 6.为什么会有这两个结论？ 由基本不等式： ≥ 两边平方（注意正数）： 即 若 a+b=S 固定，则 ab≤。等号当 a=b 时成立。 同样，由 a+b≥： 若 ab=P 固定，则 a+b≥。等号当 a=b 时成立。 构建体系 基本不等式 7.几何直观（配图讲解） 和定积最大：周长为固定值的矩形中，正方形面积最大。 设矩形长宽分别为 a,b，周长 2(a+b)=2S 固定，面积 =ab≤，当 a=b 时取等。 积定和最小：面积为固定值的矩形中，正方形周长最小。 设面积 ab=P 固定，周长 2(a+b)≥，当 a=b 时取等。 典例分析 题型1 和定积最大 例1.已知 x>0,y>0，且 x+2y=6，求 xy 的最大值。 错解警示： 不能直接对 x 和 2y 使用 xy≤，因为这样会得到 xy≤9，但未考虑系数。 正确解法： ≤===4.5 典例分析 题型1 和定积最大 例2. 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计） (1)现有可围36 m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ 解：设每间禽舍的长、宽分别为x 、y ，禽舍的面积为S ， 则4x+6y=36， 设S=xy (0<x<9,0<y<9)，应用基本不等式有 2x+3y≥2 即 2≤18 所以S≤13.5 典例分析 题型2 积定和最小 例3. 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计） (2)若使每间禽舍面积为24 ，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 设每间禽舍的长、宽分别为x 、y ，则xy=24， 则钢筋网总长C=4x+6y (0<x<24, 0<y<24)，应用基本不等式，有 4x+6y≥2即 C≥48, 当且仅当4x=6y时，不等式中的等号成立， 联立xy=24与4x=6y，解得x=6，y=4。 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为6 、4 时，可使钢筋网总长最小，最小钢筋网总长为48 。 典例分析 题型2 积定和最小 例4：已知 x>0，求 x+ 的最小值。 解法： x+≥22=4 当且仅当 x=，即 x=2 时取等。最小值为 4。 变式：若 x>1，求 x+ 的最小值。 解法（配凑定积）： x-1)++1≥2+1=2×2+1=5 等号成立时 ⇒=4⇒x-1=2⇒x=3。 易错提醒（“三关”要过） 正数关：必须确保 a,b>0（或非负，但取等时往往要求正数）。 ❌ 错误：求 x+1/x 的最小值直接写 2，未说明 x>0。若 x<0，可能为负数。 定值关：使用前必须确认和或积是否为常数。若非常数，需要配凑。 ❌ 错误：求 +的最小值，直接写 2，忽略了 +1≥1 导致等号不可达（需用单调性）。 相等关：取等条件必须在定义域内。 ❌ 错误：求 x+（x>2）最小值，若直接套用 x+≥2，这不是定积，错误。 目标四 ：随堂检测 举一反三 1.已知 a>0,b>0，且 ab=9，则 a+4b 的最小值为______。 解答：提示：a+4b≥2，等号 a=4b，由 ab=9 得 b=1.5,a=6。 2.已知 x>0,y>0，且 2x+3y=12，求 xy 的最大值。 解答：xy=⋅(2x)(3y)≤⋅=6，当 2x=3y=6 即 x=3,y=2 时取等。 举一反三 3.判断正误：若 x>0，则 +≥2，且最小值为 2。（ ） 答案：×，因为 +1≥1，但取等需 +1=1⇒x=0，但条件是x>0 4.已知 x>2，求 y=x+ 的最小值。 答案：（配凑：(x-2)++2≥2+2=6） 5.建造一个容积为 4800，深为 3m 的长方体无盖水池，池底造价为 150 元，池壁造价为 120 元/，怎样设计能使总造价最低？最低造价是多少？ 答案：底面为边长40m的正方形时最低，最低造价297600元 举一反三 6.某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元。 （1）仓库顶部面积 S（平方米）的最大允许值是多少？ （2）为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅应设计为多长？ 答案： （1）设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S=xy 平方米。 由题意，知 40x+2×45y+20xy≤3200， 由基本不等式，得 3200≥2+20xy=120+20xy=120+20S（当且仅当 40x=90y 时取“=”）， 所以 S+6-160≤0，即 (-10)(+16)≤0， 解得 -16≤≤10。 由题意知 >0，故 0<≤10，从而 0<S≤100。 故仓库顶部面积 S（平方米）的最大允许值是 100。 （2）S 取得最大值 100 的条件是 40x=90y，且 xy=100， 解得 x=15，即铁栅应设计为 15 米长。 举一反三 7.目前电动汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求。据市场分析，公共充电桩的历年总利润 y（单位：万元）与营运年数 x（x 是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为 20 万元，营运六年时总利润最大，最大为 110 万元。 （1）求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）。 答案：（1）因为营运六年时总利润最大，最大为 110 万元， 所以二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为 (6,110)， 可设 y=a+110 (a<0)。 又营运三年时总利润为 20 万元， 所以 20=a×+110，解得 a=-10， 则 y=-10+110=-10+120x-250 (x∈N_+ )。（2）由（1）得年平均总利润为 =-10(x+)+120≤-20+120=20, 当且仅当 x=，即 x=5 时取“=”。 所以营运的年平均总利润的最大值为 20 万元。 目标五 ：小结 学海拾贝 知识小结 小结维度 内容要点 知识层面 ① 基本不等式：（）② 等号成立条件：③ 算术平均数 ≥ 几何平均数 方法层面 ① 证明方法：作差法、分析法、几何法② 应用方法：直接应用、配凑法③ 使用口诀：一正二定三相等 思想层面 数形结合（代数与几何双向解释）、转化与化归、数学建模 素养层面 逻辑推理（证明）、直观想象（几何解释）、数学运算（求最值）、数学建模（实际问题） 学海拾贝 核心注意事项 一、牢记使用前提：一正、二定、三相等（重中之重，考试第一易错点 一正：a、b必须均为正数 , 适用条件：两个代数式都大于0；负数、0不能直接套公式 2. 二定：求和最小值、求积最大值，必须出现定值 分两类题型： 1）积定求和最小：ab=k（常数）⇒a+b≥，a=b时a+b取最小值； 2）和定求积最大：a+b=k（常数）⇒ab≤，a=b时ab取最大值。 , 易错坑：没有定值不能直接用基本不等式，要配凑常数（拆项、乘除构造定值）。 例：求x+ (x>1)最小值，直接用得2，但x=即x=1不在定义域内，取不到等号，此时不能直接求最值。 3. 三相等：必须能取到a=b,算出最值后，一定要验证是否存在实数a、b满足a=b且符合题干范围；若取不到等号，基本不等式失效，改用函数单调性解题。 学海拾贝 核心注意事项 二、区分两个易混不等式，不要混淆 重要不等式：2ab，a,b∈R（全体实数，无正数要求），等号a=b； 基本不等式：，a>0,b>0（仅限正数）； 联系：对正数a、b，令，代入重要不等式可推出基本不等式。 三、连续多次使用基本不等式：必须保证每次等号条件一致 例：已知a>0,b>0，a+b=1，不能分开写a+≥2,b+≥2相加求a++b+最小值；第一次等号a=1，第二次b=1，无法同时满足a+b=1。 学海拾贝 核心注意事项 四、实际应用题注意隐藏限制 变量具备实际意义：长度、单价、人数等一定为正数，天然满足“一正”； 求出最值后，除验证a=b，还要检查结果符合现实取值范围； 题干有整数限制时，即使等号取不到，要在附近整数取最值。 五、做题规范与书写注意 使用前先写明a>0,b>0，标注依据基本不等式； 求完最值必须写：当且仅当…时取等号。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $