2.2基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“基本不等式”核心内容，以2002年国际数学家大会会标（赵爽弦图）为导入，引导学生观察图形中的不等关系，抽象出重要不等式a²+b²≥2ab，再通过代换推导基本不等式√ab≤(a+b)/2，搭建从直观到抽象的知识支架。 其特色在于融合数学文化与几何直观，借助弦图抽象和圆的直径与弦的几何意义，培养学生数学眼光与思维。采用作差法、分析法证明及小组讨论，结合“一正二定三相等”条件的例题练习，助力学生理解应用，教师可提升教学效率。

2.2 基本不等式 赵爽与勾股圆方图 4 ```markdown ``` 右图是2002年在北京召开 的第24届国际数学家大会会 标.会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去像一个风车， 代表中国人民热情好客. 你 能 在 这 个 图 中 找 出 一 些 相等关系和不等关系吗? 将图中的“风车”抽象成右图. 在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a 、b (a≠b), 那么正方形的边长为√a²+b² . 这样，4个直角三角形的面积和小于 正方形ABCD 的面积，故a²+b²> 2ab. B. A 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a 、b (a≠b), 那么正方形的边长为√a²+b² . 这样，4个直角三角形的面积和小于 正方形ABCD的面积，故a²+b²> 2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点， 这时有a²+b²=2ab. 将图中的“风车”抽象成右图. 1、重要不等式 Va、b∈R, 有 a²+b²≥2ab, 当且仅当a=b 时，等号成立. 证明：a²+ b²-2ab=(a-b²≥0, ∴a²+b²≥2ab, 当且仅当a=b 时，等号成立. 1、重要不等式 Va 、b∈R, 有 a²+b²≥2ab, 当且仅当a=b 时，等号成立. 特别地，如果a>0,b>0, 我们用 √a,√b 分别代替上式中的a 、 b, 可 得 当 且 仅 当a=b 时，等号成立 . 2、基本(均值)不等式 Va>0,b>0 , 有 √ab 当且仅当a=b 时，等号成立. 其中， 做正数a,b 的算术平均数， √ ab 叫做正数a,b 的几何平均数. 两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 数 探究新知 基本不等式 几何平均数 算术平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 当且仅当a=b 时，等号成立. 你能证明基本不等式吗? 基本不等式文字表述： 如果a>0,b>0, 那么 探究1: 基本不等式的证明 求证： ( a>0,b>0), 方法一：作差法 只要证 只要证 只要证 即证 2√ab≤a+b 2√ab-(a+b)≤0 (a+b)-2√ab≥0 上式显然成立的. 当且仅当a= b 时 ，等号成立. 小组合作讨论5分钟 当且仅当a=b 时，等号成立. 当且仅当a=b 时，等号成立. 方法二：分析法 探究新知 证明：要证 “条件” “结论” 证明： 执 果 索 因 探究新知 探究2: 基本不等式的几何意义 小组合作讨论3分钟 如图，AB是圆的直径，0为圆心，点C是AB上一点， 讨点C作垂真于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形， 得出基本不等式的几何解释吗? A B ①如何用a,b 表 示 0D? ②如何用a,b 表示 CD? CD= 基本不等式的几何意义：圆的半径不小于半弦 ③0D与CD的大小关系怎样? CD E 如果a >0,b>0, 那么 √ab≤ 当且仅当a= b 时 ，等号成立 基本不等式常用变形公式： ① a+b ≥ 基本不等式： 探究新知 探究 ： 在右图中，AB 是圆的直径，点C是 AB 上 一 点 ，AC=a, BC= b. 过 点C 作 垂 直 于AB的弦DE, 连接AD,BD. B 你能利用这个图形，得出基本不等 式 的 几 何 解 释 吗 ? 如图，可证△ACD~△DCB, 因而CD=√ab. 由于 CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时， 上述不等式的等号成立. 当且仅当a=b 时，等号成立. 使用条件：一正，二定，三相等. 2、基本(均值)不等式 Va>0,b>0 , 有 √ab: 当且仅当a=b 时，等号成立. 一正：只有正数才能用均值不等式； 二定：有定值(和或积)才会考虑用均值不等式； 三相等：当且仅当a=b 时取等号(能取到等号， 均值不等式用的才是对的). 2、基本(均值)不等式 Va>0,b>0 , 有 证明：(1): 。 例1: 已知a 、b 、c 都是正数，证明下列不等式. (1) ;(2) 当且仅当a=b 时，等号成立. ;(3) 4 例1: 已知a 、b 、c 都是正数，证明下列不等式. (1) ; (2) ;(3) 证 明 ：(2) 当 且 仅 当 即a=1 时，等号成立. 4 例1: 已知a 、b 、c 都是正数，证明下列不等式. (1) ; (2) ;(3) 当 且 仅 当 即a=b 时，等号成立. 证 明 ：(3) 4 例1: 已 知a 、b 、c 都是正数，证明下列不等式. (4)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc; (5)a+b+c≥√ab+√bc+√ac. 证明：∵a ,b, c 都是正数， a+b≥2√ab,b+c≥2√bc,c+a≥2√ac (a+b)(b+c)(c+a )≥8abc 当且仅当a= b=c 时，等号成立 例1: 已 知a 、b 、c 都是正数，证明下列不等式. (4)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc; (5)a+b+c≥√ab+√bc+√ac. 证明：(5)∵a 、b 、c都是正数， ∴a+b≥2√ab,a+b≥2√bc,a+b≥2√ac, ∴a+b+c≥√ab+√bc+√ac, 当且仅当a=b=C 时，等号成立. 练习1: 已知x、y 是正数，且x≠y, 求 证 ： 证明：∵x、y是正数，且x≠y, ∴x+y>2√xy,∴ 又∵2xy>0,∴ 解：( 1)“ >0,: 当 且 仅 当 即x=1 时，等号成立. 例2:(1)已知x>0, 最小值； (2)已知x>0, 求 的最大值； 当 且 仅 当 即x=1 时，等号成立. 例2:(1)已知x>0, 最小值； (2)已知x>0, 求 的最大值； 解：(2 ) >0, 例2: (3)已知O≤x≤10, 求√x(10-x) 的最大值； (4)已知-1≤x≤1, 求 1 -x² 的最大值. 当 且 仅 当x=10 一x, 即x=5 时，等号成立 . 解：(3)∵O≤x≤10,∴O≤10-x≤10, 例2: (3)已知O≤x≤10, 求√x(10-x) 的最大值； (4)已知-1≤x≤1, 求 1 -x² 的最大值. 解：(4)∵-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2,O≤1+x≤2, 当且仅当1-x=1+x, 即x=0 时，等号成立. 练习2:当 x 取什么值时， 取得最小值? 最小值是多少? 解：∵ 当 且 仅 当 , 即x=±1 时，等号成立. 练习3: 已知x>0, 求证： 的 最大值是2-4√3. 证明： ∵x>0, ∴ 当 且 仅 当 , 等号成立， 课 堂 小 结 1、重要不等式 Va、b∈R, 有a²+b²≥ 2ab, 当且仅当a=b 时，等号成立. 2、基本(均值)不等式 Va>0, b>0, 有 当且仅当a=b 时，等号成立. 使用条件： 一正，二定，三相等. $