四川省达州市万源市第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 本试卷为九年级开学自测数学模拟试题，分A、B卷（150分），通过几何变换（如矩形折叠）、方程应用（如销售盈利）及动态问题（如菱形存在性），考查空间观念、运算能力与模型意识，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|轴对称与中心对称、一元二次方程根|第3题通过方程变换考查抽象能力| |填空题|10/40|黄金分割、平移性质、因式分解|第13题矩形折叠与正方形关系，体现几何直观| |解答题|8/78|平行四边形证明、函数与几何综合|第18题菱形存在性问题，综合坐标系与几何推理，培养模型意识|

四川省达州市万源市第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣5有一个根为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 4．下列因式分解结果正确的是（　　） A．a2+4a＝a2（a+4） B．a2﹣9＝（a+9）（a﹣9） C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．a2+4a+2＝（a+2）2 5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OA＝（　　） A．5 B．4 C．3.5 D．3 6．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为AB的黄金分割点（AP＜BP），如果BP的长度为6cm，那么AP的长度是（　　）cm． A． B． C．3 D． 7．题目：“某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，则每件上衣的售价应为多少元？”解决该问题时，嘉嘉设“每件上衣的售价为x元”，淇淇设“每件上衣应降价y元”，下列说法正确的是（　　） A．按嘉嘉的条件，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按淇淇的条件，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按嘉嘉的条件，应列方程为（x﹣50）（20+2x）＝672 D．按淇淇的条件，应列方程为（30﹣y）（20+2y）＝672 8．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4） 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，则的值为　　 ． 10．在平面直角坐标系中，将点P（m，m+8）向下平移2个单位长度后，得到的点Q在x轴上，则m的值为　　 ． 11．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围为________． 12．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为 　　 ． 13．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为　　 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 15．（8分）先化简，再求值：（x），其中x＝3． 16．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C均在格点上． （1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）若点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，3），建立平面直角坐标系，并在坐标系中找出一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为_________． 17．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且∠BAE＝∠CAD，． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）若∠CAD＝16°，求∠CBD的度数． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴．y轴于A，B两点，点A的坐标为（1，0），∠ABO＝30°，过点B的直线与x轴交于点C． （1）求直线l的解析式及点C的坐标； （2）点D是直线BC上一点，当△ABD的面积为3时，求点D的坐标； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2＝__________． 20．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 21．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　　 ． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．将△ABC沿射线CB平移得到△A'B'C'，将AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AD，连接DA′，DB′．在△ABC的平移过程中，△A′B′D的周长的最小值为 　　 ． 23．如图，正方形ABCD的边长为9，O是BC边上一点，且BO＝3，连接AO，作AO的垂直平分线交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结OF交CD于点P，连结AP，AQ⊥OF于Q，给出下面五个结论：①AF＝OF；②AP＝PF；③∠OAP＝45°；④△OCP的周长是18；⑤△APF的面积是30．上述结论中，正确结论的序号有__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，使，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）求四边形AECF的面积． 25．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题； （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 26．（12分）如图，在△ABC下方的直线MN∥AB． （1）P为直线MN上一动点，连接PA，PB．若∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN． ①如图1，求证：四边形APBC是平行四边形； ②如图2，∠ACB＝90°，AC＝2BC，作BD⊥MN于点D，连接CD，若，求PD的长； （2）如图3，∠ACB＝90°，BC＝1，作BD⊥MN于点D，连接AD，CD，若△ABD的面积始终为3，求CD长的最大值． 参考答案 四川省达州市万源市第二中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； B．选项中的图形不是轴对称图形而是中心对称图形，故不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； D．选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣5有一个根为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 【解答】解：由条件可知a（x﹣2）2+b（x﹣2）+5＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2025， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣5有一个根为x﹣2＝2025， 解得x＝2027， 故选：D． 4．下列因式分解结果正确的是（　　） A．a2+4a＝a2（a+4） B．a2﹣9＝（a+9）（a﹣9） C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．a2+4a+2＝（a+2）2 【解答】解：a2+4a＝a（a+4），则A不符合题意； a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），则B不符合题意； a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，则C符合题意； a2+4a+2无法利用完全平方公式因式分解，则D不符合题意； 故选：C． 5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OA＝（　　） A．5 B．4 C．3.5 D．3 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°， ∵∠ADB＝30°， ∴AC＝BD＝2AB＝8， ∴OA＝OCAC＝4． 故选：B． 6．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为AB的黄金分割点（AP＜BP），如果BP的长度为6cm，那么AP的长度是（　　）cm． A． B． C．3 D． 【解答】解：由题意得 ， 即， ∴， 故选：D． 7．题目：“某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，则每件上衣的售价应为多少元？”解决该问题时，嘉嘉设“每件上衣的售价为x元”，淇淇设“每件上衣应降价y元”，下列说法正确的是（　　） A．按嘉嘉的条件，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按淇淇的条件，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按嘉嘉的条件，应列方程为（x﹣50）（20+2x）＝672 D．按淇淇的条件，应列方程为（30﹣y）（20+2y）＝672 【解答】解：A．按嘉嘉的条件，则该商场平均每天可售出[20+2（80﹣x）]件上衣，所以A选项不符合题意； B．按淇淇的条件，则该商场平均每天可售出（20+2y）件上衣，所以B选项不符合题意； C．按嘉嘉的条件，应列方程为（x﹣50）[20+2（80﹣x）]＝672，所以C选项不符合题意； D．按淇淇的条件，应列方程为（30﹣y）（20+2y）＝672，所以D选项符合题意． 故选：D． 8．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4） 【解答】解：连接AC，BD相交于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD， ∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2）， ∴BD＝6，AE＝2， ∴DEBD＝3，AC＝2AE＝4， ∴点C的坐标为：（3，4）． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，则的值为　3　 ． 【解答】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 10．在平面直角坐标系中，将点P（m，m+8）向下平移2个单位长度后，得到的点Q在x轴上，则m的值为　﹣6　 ． 【解答】解：∵得到的点Q在x轴上， ∴m+8﹣2＝0， m+6＝0， ∴m＝﹣6． 故答案为：﹣6． 11．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围为k≥﹣2　 ． 【解答】解：由题意可知，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k）＝16+8k， ∴16+8k≥0， 解得k≥﹣2， 故答案为：k≥﹣2． 12．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为 　18　 ． 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF， ∴AD＝CF＝3，AC＝DF， ∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF， ∵△ABC的周长＝12， ∴AB+BC+AC＝12， ∴四边形ABFD的周长＝12+3+3＝18． 故答案为：18． 13．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为　45°　 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． 【解答】解：由于剪下的角展开后可以得到一个正方形，那么剪下的角必须是一个直角． 因此，虚线与折痕所成的锐角的度数为45°，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． 故答案为：45°． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）， 解不等式①得， 解不等式②得x＜2， ∴原不等式组的解集是； （2）， ， 两边同乘以（x﹣1）2得x（x﹣1）+3＝（x﹣1）2， 整理得﹣x+3＝﹣2x+1， 解方程得x＝﹣2， 经检验，当x＝﹣2时，（x﹣1）2≠0， ∴x＝﹣2是分式方程的解． 15．（8分）先化简，再求值：（x），其中x＝3． 【解答】解：（x） ， 当x＝3时， 原式 ． 16．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C均在格点上． （1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）若点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，3），建立平面直角坐标系，并在坐标系中找出一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为　（6，3）或（6，﹣1）或（﹣2，3）　 ． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）建立平面直角坐标系如图所示，点P1，P2，P3均满足题意． ∴点P的坐标为（6，3）或（6，﹣1）或（﹣2，3）． 故答案为：（6，3）或（6，﹣1）或（﹣2，3）． 17．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且∠BAE＝∠CAD，． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）若∠CAD＝16°，求∠CBD的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠CAD+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAD＝∠BAC， ∵在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC∽△AED； （2）解：∵△ABC∽△AED， ∴∠ADE＝∠ACB， 在△CBF和△DAF中， ∠ACB＝∠ADE，∠CFB＝∠AFD， ∴△CBF∽△DAF， ∴∠CBD＝∠CAD＝16°． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴．y轴于A，B两点，点A的坐标为（1，0），∠ABO＝30°，过点B的直线与x轴交于点C． （1）求直线l的解析式及点C的坐标； （2）点D是直线BC上一点，当△ABD的面积为3时，求点D的坐标； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵A（1，0）， ∴OA＝1， ∵∠ABO＝30°， ∴OB，AB＝2， ∴B（O，）， 设直线l的解析式为y＝kx， ∵A（1，0）在直线1上， ∴k， ∴直线l的解析式为yx， ∵B（0，）在直线yx+m上， ∴m， ∴直线BC的解析式为yx． ∵点C在x轴上， ∴令y＝0，则x＝﹣3． ∴C（﹣3，0）； （2）①点D在线段BC上时，过点D作DE⊥AC于点E，如图， ∵C（﹣3，0）， ∴OC＝3， ∵OB， ∴BC2， ∴OBBC， ∴∠BCO＝30°， ∴∠CBO＝60°， ∵∠ABO＝30°， ∴∠ABD＝∠ABO+∠CBO＝90°． ∵△ABD的面积为3， ∴BD•AB＝3， ∵AB＝2OA＝2， ∴BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝23． ∵DE⊥AC，∠BCO＝30°， ∴DECD，CE＝CD•cos30°＝3， ∴OE＝OC﹣CE． ∴D（，）； ②点D在点B的右侧上时，过点D作DF⊥OB于点F，如图 由①知：BD＝3，∠BCO＝30°， ∴CD＝BC﹣BD＝23，∠FBO＝∠CBO＝60°． ∵DF⊥OB， ∴BFBD，DF＝BD•sin60°， ∴Of＝OB+BF． ∴D（，）； 综上，当△ABD的面积为3时，点D的坐标为（，）或（，）； （3）存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为（1，）或（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）．理由： 由题意：A（1，0），B（0，）， ∴OA＝1，OB． ∴AB＝2． ①过点A作直线a∥OB，当点Q在直线a上时，如图， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴AQ1＝AQ2＝AB＝2， ∴Q1（1，2），Q2（1，﹣2）； ②当以AB为一边时，如图， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴OQ3＝OA＝1， ∴Q3（﹣1，0）． ③当以AB为一条对角线时，如图， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴BP4∥AQ4，BP4＝AQ4＝AP4， 设BP4＝AQ4＝AP4＝m， ∴OP4＝OB﹣BP4m， 由勾股定理得：， ∴m， ∴AQ4， ∴Q4（1，）． 综上，存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为（1，）或（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2＝　（a+2b）（a+b）　 ． 【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）； 故答案为：（a+2b）（a+b）． 20．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是m＜6且m≠4　 ． 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣2得：2x﹣m＝3x﹣6， 解得x＝6﹣m， ∵此方程的解为正数， ∴6﹣m＞0， ∴m＜6， ∵分式方程有解， ∴x﹣2≠0， ∴6﹣m≠2， ∴m≠4， ∴m的取值范围为：m＜6且m≠4， 故答案为：m＜6且m≠4． 21．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　　 ． 【解答】解：由根与系数的关系得， m+n＝5，mn＝2， 则． 故答案为：． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．将△ABC沿射线CB平移得到△A'B'C'，将AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AD，连接DA′，DB′．在△ABC的平移过程中，△A′B′D的周长的最小值为 　　 ． 【解答】解：如图，作DD'∥AA'，使AA'＝DD'， 则易得四边形AA'DD'是平行四边形， ∴AD'＝A'D， ∵AA'∥BB'，AA'＝BB'， ∴DD'∥BB'，DD'＝BB'， ∴四边形BB'DD'是平行四边形， ∴B'D＝BD'， ∴△A'B'D的周长＝△ABD'的周长＝AD'+BD'+AB， 在Rt△ABC中，AB， ∴要求△ABD'的周长最小值，就是求AD'+BD'的最小值， 作A关于DD'的对称点A”，连接A“B，则AD'+BD'≥A“B， 延长DD'交CA延长线于M， ∵AB＝AD，∠DAM＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，∠C＝∠AMD＝90°， ∴△ABC≌△BDM（AAS）， ∴AM＝BC＝3， ∴AA“＝6， ∴CA“＝8， 在Rt△A“CB中，A“B， ∴△A'B'D的周长＝△ABD'的周长＝AD'+BD'+AB， 即△A′B′D的周长的最小值是， 故答案为：． 23．如图，正方形ABCD的边长为9，O是BC边上一点，且BO＝3，连接AO，作AO的垂直平分线交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结OF交CD于点P，连结AP，AQ⊥OF于Q，给出下面五个结论：①AF＝OF；②AP＝PF；③∠OAP＝45°；④△OCP的周长是18；⑤△APF的面积是30．上述结论中，正确结论的序号有 　①③④　 ． 【解答】解：①∵EF是线段AO的垂直平分线， ∴AF＝OF， 故结论①正确； ②设AO于EF相交于点K，连接OE，设AE＝a，如图所示： ∵EF是线段AO的垂直平分线， ∴OE＝AE＝a，AK＝OKAO， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为9， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∠B＝∠C＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝9﹣a， 在Rt△BOE中，BO＝3， 由勾股定理得：OE2＝BE2+OB2， ∴a2＝（9﹣a）2+32， 解得：a＝5， ∴AE＝5， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO， ∴AK＝OKAO， 在Rt△AEK中，由勾股定理得：EK， 设KF＝b，则EF＝KF+EK， 在Rt△AEF和Rt△AKF，由勾股定理得：AF2＝EF2﹣AE2＝AK2+KF2， ∴， 解得：b， ∴EF， ∴AF（15， ∴DF＝AF﹣AD＝15﹣9＝6， 又∵CO＝BC﹣BO＝9﹣3＝6，∠C＝∠FDP＝90°， ∴CO＝DF＝6， 在△COP和△DFP中， ， ∴△COP≌△DFP（AAS）， ∴CP＝DPCD，OP＝PF， 在Rt△DFP中，由勾股定理得：PF， ∴OP＝PF， 在Rt△ADP中，AP， ∴AP≠PF， 故结论②不正确； ③由三角形的面积公式得：S△AOFAF•ABOF•AQ， ∵AF＝OF， ∴AB＝AQ＝AD， ∵∠B＝90°，AQ⊥OF于Q， 在Rt△ABO和Rt△AQO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AQO（HL）， ∴∠BAO＝∠QAO， 同理：Rt△ADP≌Rt△AQP（HL）， ∴∠DAP＝∠QAP， ∴∠OAP＝∠QAO+∠QAP＝∠BAO+∠DAP， ∴∠DAB＝∠OAP+（∠BAO+∠DAP）＝2∠OAP＝90°， ∴∠OAP＝45°， 故结论③正确； ④∵CO＝6，CP，OP， ∴CO+CP+OP18， ∴△OCP的周长是18， 故结论④正确； ⑤∵AF＝15，DP， ∴△APF的面积是：AF•DP， 故结论⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，使，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）求四边形AECF的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO， ∵BF＝DE， ∴OD+DE＝OB+BF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，， ∴AB＝AD＝1， ∴， ∴， ∴四边形AECF的面积为． 25．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题； （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【解答】解：（1）y2+8y+16＝（y+4）2，用到的是完全平方公式； （2）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4， ∴因式分解不彻底； （3）设y＝x2﹣2x， ∴（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1 ＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 26．（12分）如图，在△ABC下方的直线MN∥AB． （1）P为直线MN上一动点，连接PA，PB．若∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN． ①如图1，求证：四边形APBC是平行四边形； ②如图2，∠ACB＝90°，AC＝2BC，作BD⊥MN于点D，连接CD，若，求PD的长； （2）如图3，∠ACB＝90°，BC＝1，作BD⊥MN于点D，连接AD，CD，若△ABD的面积始终为3，求CD长的最大值． 【解答】（1）①证明：∵MN∥AB， ∴∠APM＝∠BAP，∠BPN＝∠ABP， ∵∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN， ∴∠ABC＝∠BAP，∠CAB＝∠ABP， ∴BC∥AP，AC∥BP， ∴四边形APBC是平行四边形． ②解：过C作CH⊥MN于点H，交AB于点G，则四边形BDHG是矩形， 设BCx，则AC＝2x， ∴AB5x， 根据等面积可得：CG2x， BGx， ∵S△ACB＝S△ABP， ∴CG＝GH＝2x， ∴CH＝CG+GH＝4x， ∵DH＝BG＝x， ∴CD2＝DH2+CH2，即17＝x2+16x2， 解得x＝1， ∴BP＝AC＝2，BD＝GH＝2， ∴PD4． （3）解：如图，过B作BP∥AC交MN于点P，作AQ⊥BP交BP于点Q，则四边形ACBQ是矩形， ∴AQ＝BC＝1， ∵MN∥AB， ∴S△ABP＝S△ABD＝3， ∴BP•AQ＝3， ∵BP＝6， 取BP中点O，连接OC、OD，则OBBP＝3， 在Rt△OBC中，OC， ∵△BDP是直角三角形，O是BP中点， ∴ODBP＝3， 根据三角形三边关系可得，CD≤OC+OD＝3， ∴CD最大值为3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $