四川省达州市渠县第三中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 四川省达州市渠县第三中学九年级开学自测数学模拟试题，分A、B卷（100+50分），通过选择、填空、解答题检测几何（旋转、相似）与代数（方程、函数）知识，注重基础巩固与能力提升，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称与中心对称、直角三角形判定等|结合图形考查空间观念（如矩形对角线计算）| |填空题|10题40分|因式分解、比例性质、菱形与正方形转化等|设置动态几何问题（如菱形变正方形求对角线）| |解答题|8题78分|分式方程求解、增长率与利润模型、函数与平行四边形综合等|突出推理能力（如证明AB²=AD·AC）和模型意识（亚运会吉祥物销售问题）|

四川省达州市渠县第三中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO．若AB＝12，AD＝16，则DO的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，4，6 B． C．2，， D．5，12，13 4．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△ADE，连接BE，若AD∥BE，则∠CAE的度数为（　　） A．20° B．30° C．25° D．35° 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，若OE＝3.5，则CD的长为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 7．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．6 B．8 C．16 D．18 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．要使分式无意义，x应满足的条件是_______． 10．因式分解：a3﹣9a＝_______． 11．已知k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则k2﹣k＝_______． 12．若，b+d+f＝10，则a+c+e＝_______． 13．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为_______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）解方程：； （2）解方程：﹣2x2+5x﹣3＝0． 15．先化简：，再从±1，±2中选择一个合适的m值代入求值． 16．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，该吉祥物进价为35元，售价为58元，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 17．在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在图中画出△ABC，△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2； （3）请直接写出△OA1B的形状． 18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD． （1）求证：AB2＝AD•AC； （2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若关于x的方程3x2+2x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 20．如图，一次函数与y＝﹣x+4的图象相交于点E（2，n），则关于x的不等式组的解集为_______． 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E，F分别为AB，AC中点，连接EF并延长，交△ABC的外角平分线于点M，则EM＝_______． 22．如图，菱形ABCD中，分别以点C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF，且直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M．连接BM，若AB＝4，则BM＝_______． 23．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_______． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知，点P是等边三角形ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ，QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝6，PB＝8，∠APB＝150°，求PC的长度． 25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，E，F分别是AC，AB边上两点，连接EF．现将纸片ACB的一角沿直线EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA． （1）试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； （2）若∠B＝60°，，求四边形AEMF的周长． 26．如图1，直线l1：y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B．直线l1关于x轴对称的直线l2交y轴于点C，直线l3：y＝﹣2x+b经过点C． （1）①求线段AB的长； ②求出直线l3的函数表达式； （2）点R、T分别在直线l2、l3上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； （3）如图2，点E（﹣4，0）在x轴上，过点E作直线PE⊥x轴，交直线l1于点P，点在四边形OBPE内部，直线PF交OE于点Q，直线OF交PE于M，求QE•（AE+EM）的值． 参 考 答 案 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 2．如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO．若AB＝12，AD＝16，则DO的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝12，AD＝16， ∴， ∴， 故选：D． 3．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，4，6 B． C．2，， D．5，12，13 【解答】解：A、∵22+42≠62，∴不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，符合题意， 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△ADE，连接BE，若AD∥BE，则∠CAE的度数为（　　） A．20° B．30° C．25° D．35° 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°得到△ADE， ∴AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝80°， ∴∠AEB（180°﹣∠BAE）50°， ∵AD∥BE， ∴∠EAD＝∠AEB＝50°， ∴∠CAE＝∠CAD﹣∠EAD＝80°﹣50°＝30°， 故选：B． 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，若OE＝3.5，则CD的长为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∴OE是△BCD的中位线， ∴CD＝2OE＝7， 故选：D． 7．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠BAC， A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确； 故选：D． 8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．6 B．8 C．16 D．18 【解答】解：解第一个不等式得：x≥2， 解第二个不等式得：x， ∵该不等式组的解集为x≥2， ∴2， 解得：a＜6.5， 原分式方程去分母得：a﹣1+1﹣y＝y﹣2， 解得：y， ∵该分式方程的解为非负整数，且a为整数， ∴为非负整数，2，且a为整数， 则a＝﹣2或0或4或6， 那么﹣2+0+4+6＝8， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．要使分式无意义，x应满足的条件是x＝3　 ． 【解答】解：∵分式无意义， ∴x﹣3＝0， 解得：x＝3， 故答案为：x＝3． 10．因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3）　 ． 【解答】解：原式＝a（a2﹣9） ＝a（a+3）（a﹣3）， 故答案为：a（a+3）（a﹣3）． 11．已知k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则k2﹣k＝　2　 ． 【解答】解：∵k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴x＝k满足该方程，即k2﹣k﹣2＝0， 解得k2﹣k＝2． 故答案为：2． 12．若，b+d+f＝10，则a+c+e＝　5　 ． 【解答】解：∵， ∴b＝2a，d＝2c，f＝2e， ∵b+d+f＝10， ∴2a+2c+2e＝10， ∴a+c+e＝5． 故答案为：5． 13．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 　5　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AC＝5， ∴AB＝BC＝5， ∵四边形A′B′C′D′为正方形， ∴∠A′B′C′＝90°， 由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5， ∴A′C′5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）解方程：； （2）解方程：﹣2x2+5x﹣3＝0． 【解答】解：（1）去分母得（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝4， x2+2x+1﹣x2+1＝4， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，则x＝1为原方程的增根， 所以原方程无解； （2）方程化为2x2﹣5x+3＝0， ∵a＝2，b＝﹣5，c＝3， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1， ∴x， ∴x1＝1，x2． 15．先化简：，再从±1，±2中选择一个合适的m值代入求值． 【解答】解： • • ， ∵m＝1或±2时，原分式无意义， ∴x＝﹣1， 当x＝﹣1时，原式3． 16．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，该吉祥物进价为35元，售价为58元，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 17．在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在图中画出△ABC，△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2； （3）请直接写出△OA1B的形状． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示． （3）∵OB＝OA1，A1B，即OB2+O， ∴△OA1B的形状是等腰直角三角形． 18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD． （1）求证：AB2＝AD•AC； （2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ADB＝2∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴， ∴AB2＝AD•AC． （2）解：∵△ADB∽△ABC， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠C＝∠DBC， ∵DC＝2AD＝2， ∴AD＝1，DB＝DC＝2， ∴AC＝AD+DC＝1+2＝3， ∵AB2＝AD•AC＝1×3＝3，AD2＝12＝1，DB2＝22＝4， ∴AB2+AD2＝DB2＝4， ∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°， ∴∠A的度数是90°． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若关于x的方程3x2+2x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k　 ． 【解答】解：∵关于x的方程3x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， 即4+12k＞0， k． 故答案为：k． 20．如图，一次函数与y＝﹣x+4的图象相交于点E（2，n），则关于x的不等式组的解集为 　2≤x＜4　 ． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+4的图象过点E（2，n）， ∴n＝﹣2+4， 解得n＝2， ∴E（2，2）， 又∵y＝﹣x+4与x轴的交点是（4，0）， ∴关于x的不等式组的解集为2≤x＜4． 故答案为：2≤x＜4． 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E，F分别为AB，AC中点，连接EF并延长，交△ABC的外角平分线于点M，则EM＝　4　 ． 【解答】解：由勾股定理得， AC， 在Rt△ABC中，点E，F分别为AB，AC中点， ∴EF，EF∥BC，BF是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴BFCF， ∵连接EF并延长，交△ABC的外角平分线于点M， ∴EM∥BC， ∴∠FMC＝∠MCD， 又∵CM平分∠FCD， ∴∠FMC＝∠FCM＝∠MCD， ∴FM＝FC， ∴EM＝EF+FM4， 故答案为：4． 22．如图，菱形ABCD中，分别以点C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF，且直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M．连接BM，若AB＝4，则BM＝　2　 ． 【解答】解：在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，AD＝2DM， ∴∠DAM＝30°， ∵AD＝AB＝4， ∴AM＝2， ∵AB∥CD， ∴AB⊥AM， ∴∠BAM＝90°， ∴BM2． 故答案为：2． 23．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　10　 ． 【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点， ∴连接BN，BD， ∴BN＝ND， ∴DN+MN＝BN+MN， 连接BM交AC于点P， ∵点 N为AC上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点N运动到点P时， BN+MN＝BP+PM＝BM， BN+MN的最小值为BM的长度， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°， ∴BM10， ∴DN+MN的最小值是10． 故答案为：10． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知，点P是等边三角形ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ，QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝6，PB＝8，∠APB＝150°，求PC的长度． 【解答】（1）证明：由旋转的性质得：AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中， ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）； （2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP＝PQ＝6，∠AQP＝60°， ∵∠APB＝150°， ∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°， ∵PB＝QC，PB＝8， ∴QC＝8， 在直角三角形PCQ中，由勾股定理得：． 25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，E，F分别是AC，AB边上两点，连接EF．现将纸片ACB的一角沿直线EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA． （1）试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； （2）若∠B＝60°，，求四边形AEMF的周长． 【解答】解：（1）四边形AEMF形状为菱形．理由如下： 证明：根据折叠的性质，可知∠A＝∠EMF，且AE＝EM，AF＝FM． ∵MF∥CA， ∴∠EMF＝∠CEM， ∴∠A＝∠CEM， ∴AF∥EM． ∴四边形AEMF为平行四边形． 又∵AE＝EM， ∴四边形AEMF为菱形． （2）∵∠ACB＝90°，MF∥CA， ∴∠FMB＝90°． ∵，AF＝FM， ∴AB＝AF+FB＝FM2， ∴FM． 又∵四边形AEMF为菱形， ∴四边形AEMF周长为：4FM＝4． 故四边形AEMF周长为4． 26．如图1，直线l1：y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B．直线l1关于x轴对称的直线l2交y轴于点C，直线l3：y＝﹣2x+b经过点C． （1）①求线段AB的长； ②求出直线l3的函数表达式； （2）点R、T分别在直线l2、l3上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； （3）如图2，点E（﹣4，0）在x轴上，过点E作直线PE⊥x轴，交直线l1于点P，点在四边形OBPE内部，直线PF交OE于点Q，直线OF交PE于M，求QE•（AE+EM）的值． 【解答】解：（1）①∵直线l1：y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B， 则点B、A的坐标分别为：（0，4）、（4，0）， 则AB＝4； ②∵直线l1关于x轴对称的直线l2交y轴于点C， 则点C（0，﹣4），则b＝﹣4， 则直线l3的表达式为：y＝﹣2x﹣4； （2）设点R、T的坐标分别为：（m，m﹣4）、（n，﹣2n﹣4）， 当AB为对角线时，由中点坐标公式得： ，解得：， 则点R的坐标为：（，）； 当AR、AT为对角线时， 同理可得：或， 解得：m或， 则点R的坐标为：（，）或（，）； 则点R的坐标为：（，）或（，）或（，）； （3）由点P、F的坐标得，直线PF的表达式为：y（t﹣4）（x+4）+8， 令y＝0，则xQ4， 则QE＝xQ4+4， 同理可得：点M（﹣4，﹣2t）， 则EM＝﹣2t， 而AE＝4+4＝8， 则QE•（AE+EM）＝（8﹣2t）32． 1 学科网（北京）股份有限公司 $