2.2 基本不等式 综合训练试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式的应用，题型覆盖最值求解、性质判断及实际应用，逻辑从基础条件到综合情境，体现知识生成与应用拓展。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|给定条件求最值（如“x+y=1”求代数式最小值）|从“一正二定三相等”基础应用到条件变形| |多选|3题|不等式性质及应用判断（如正实数下代数式最值命题）|结合不等式性质与基本不等式成立条件| |填空|3题|直接求最值（如含参数代数式最小值）|强化符号运算与最值条件分析| |解答|5题|基础最值（如分段函数最值）与实际应用（污水处理池造价、投资收益）|从数学问题到现实情境，构建模型意识，体现数学思维与语言表达|

基本不等式 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 2．已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过变形将原式转化为含正数项的形式，再利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 3．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可． 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时，故的最小值为3. 故选：D. 4．已知，则 mn的最大值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】 D 【分析】根据基本不等式，计算即可得答案. 【详解】由基本不等式得：， 所以，即mn的最大值为 当且仅当，即时取等号. 故选：D 5．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 6．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 7．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 8．下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可； 对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可； 对于C，D由对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以， 所以，当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为， 所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 即，故错误. 故选：B. 二、多选题 9．已知均为正实数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件，结合基本不等式判断A；利用比差法判断B；结合基本不等式判断C，利用比差法证明，结合关系判断D. 【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确： 对于B，，，故B正确； 对于C，，则； 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，， ∵， 即，所以， 即，故D正确. 故选：ABD. 10．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 三、填空题 12．设a，b为正数，，则的最小值为______. 【答案】5 【分析】利用将变为，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】a，b为正数，，则， 当且仅当，即时等号成立，此时，所以最小值为5. 故答案为：5 13．函数的最大值是______   【答案】5 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】易知，可得； 所以，当且仅当，即时等号成立， 故函数的最大值是5， 故答案为：5 14．函数的最小值是___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求函数最小值，注意等号成立的条件即可. 【详解】由题设知， 则，当且仅当时等号成立， 故函数最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 17．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 18．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【答案】(1)7.5万元 (2)该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益 【分析】（1）直接代入函数解析式求函数值即可； （2）根据投资总额为5万元，将总收益表示为分段函数形式，再利用基本不等式以及一元二次函数求分段函数在不同区间上的最值，最后再比大小即可. 【详解】（1）由题可知，，，故获得的收益为万元； （2）设该个体户向B商品投入万元，则向A商品投入万元，设总收益为. ①当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即当时，最大收益为万元； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取到最大值，即当时，最大收益为10万元. 因为，故该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益. 19．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．已知，则 mn的最大值为 （    ） A． B． C． D． 5．5．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 6．6．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 8．下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 二、多选题 9．已知均为正实数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 三、填空题 12．设a，b为正数，，则的最小值为______. 13．函数的最大值是______   14．函数的最小值是___________. 四、解答题 15．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 17．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      18．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 19．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $