第二章一元二次方程、函数、不等式单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次方程、函数、不等式单元核心，通过二次函数图像辨析、基本不等式求最值及篱笆围矩形等实际问题，考查数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|基本不等式、二次函数图像、充要条件|基础概念辨析，如第2题结合图像考查系数符号| |多选题|3|不等式解集、不等关系判断|多角度辨析，如第10题考查不等式性质应用| |填空题|3|韦达定理、不等式解法、最值|基础运算，如第12题直接应用韦达定理| |解答题|5|函数最值、实际应用、不等式证明|分层设计，如18题通过矩形面积问题考查数学建模，体现用数学语言表达现实世界|

高中数学人教A版必修一第二章一元二次方程、函数、不等式 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 2．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 4．已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 5．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 7．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 8．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 11．若，，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 13．不等式的解集是___________． 14．设，则的最小值为__________． 四、解答题 15．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 16．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 17． 解不等式. 18．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 19．比较与的大小. $ 高中数学人教A版必修一第二章一元二次方程、函数、不等式解析答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D A A B CD BD 题号 11 答案 AB 1．C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 2．C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 3．D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 4．B 【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 5．D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 6．A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 7．A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 8．B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 9．CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 10．BD 【详解】对于A，由，得，则，即，A错误； 对于B，由，得，则，即，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 11．AB 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 12． 3 【详解】由题设，根据韦达定理得， 所以. 13． 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 14． 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 15．（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 16．(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 17．或 【详解】原不等式等价于   由①，得，或，∴，或. 由②，得，∴. 如图所示，原不等式的解集为或. 18．(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 19． 【详解】 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $