第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式的应用这一核心知识点，从矩形面积与篱笆长度的实际问题切入，系统梳理“和定积最大”“积定和最小”的原理及“一正二定三相等”的应用条件，通过例题变式构建从理论到实践的学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，如鸡舍设计、农场篱笆最省问题，结合分层例题与变式训练，培养数学运算、逻辑推理和数学建模素养。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　基本不等式的应用 课程标准 素养解读 掌握基本不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养 [情境引入] (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ [问题]　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤2＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2＝2＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省． [知识梳理] [知识点]　　 1．用基本不等式求最值． ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为　2　. 2．基本不等式求最值的条件 ①x，y必须是正数． ②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． ③等号成立的条件是否满足． [预习自测] 1．若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　) A．1＋　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案：B 2．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 答案：A 3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是　________　. 答案：2 　　　利用基本不等式求最值 [例1] (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； (2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋的最小值． [思路点拨]　(1)直接应用基本不等式求最值 . (2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]． (3)x＋＝x－2＋＋2. (4)利用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． [解]　(1)∵x>0， ∴x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0<x<，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈， ∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝， 即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6. 1．常数代换法求最值的方法步骤 　常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 2．含有多个变量的条件最值问题的解决方法 　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 3．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 4．基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2； (2)ab≤2≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． [变式训练] 1．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)xy＝2x＋8y≥2，当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时等号成立， ∴≥8，∴xy≥64， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18， 当且仅当＝. 即x＝12，y＝6时等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 　　　利用基本不等式求参数的值(范围) [例2] 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10　　　 B．9　　 C．8　　　 D．7 [思路点拨]　a>0，b>0时，＋≥恒成立，等价于m≤(2a＋b)恒成立，利用基本不等式求解． [解析]　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使＋≥恒成立， 只需m≤(2a＋b)恒成立， 而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. [答案]　B 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B. [变式训练] 2．(多选)已知正实数x，y满足x＋2y＝2，若不等式3x2－2m2xy＋6y2＋2x＋4y＞0恒成立，则实数m的值可以为(　　) A．－4 B．－2 C．1 D．3 解析：BC　[由题可得m2＜恒成立． ∵(x＋2y)2＝4＝2x＋4y， ∴m2＜＝＝＝＋＋2， 而＋≥2＝2，当且仅当2x2＝5y2，即x＝，y＝时取等号， 则m2＜2＋2≈8.] 　　　利用基本不等式解决实际问题 [例3] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ [思路点拨]　设出长和宽，列出面积公式． [解]　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝. 则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80(2＋)＋4 160(x>1)． (2)因为80(2＋)＋4 160≥80×2＋4160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100，所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． [变式训练] 3．某企业2026年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用x(x∈N*)年后该设备的维修保养费用为x2＋4x万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值(年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数)． 解：(1)根据题意，y＝30x－64－(x2＋4x)＝－x2＋26x－64， 故y关于x的函数关系式为y＝－x2＋26x－64(x∈N*)． (2)由(1)知盈利总额y＝－x2＋26x－64(x∈N*)， 则年平均盈利额W＝， 则W＝26－，因为x＋≥2＝16(当且仅当x＝8时取等号)，所以W≤26－16＝10万元， 故该设备使用8年后年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 1．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－1 C．2 D．0 答案：D 2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 答案：A 3．已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为　________　. 答案：2＋ 4．若对任意x>0，≤a恒成立．则a的取值范围是　________　. 答案： 5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A.　　 B．4　　　 C.　　 D．5 答案：C 2．已知x≥，则f(x)＝有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案：D 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案：B 4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．9 B．1 C. D．3 答案：B 5．(多选)若x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，则(　　) A.＋＞1 B．x＋2y＋xy≥9＋6 C．xy≤8 D.＋≥2 解析：ABD　[∵x＞0，y＞0,2x＋y＝xy，∴＋＝1，∴＋＞＋＝1，A正确；x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋＋≥9＋6，当且仅当x＝y，即x＝1＋，y＝2＋时等号成立，B正确；2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8，C错误；2x＋y＝xy可化为(x－1)(y－2)＝2，又由x＞0，y＞0知，x－1＞0，y－2＞0，则＋≥2＝2当且仅当＝，即x＝2，y＝4时等号成立，D正确．] 6．(多选)已知a，b均为正实数，且a＋b＝1，则(　　) A．ab的最大值为 B.＋的最小值为5 C.的最小值为 D.＋的最小值为 解析：ACD　[对于A选项，由基本不等式可得ab≤2＝， 当且仅当即当a＝b＝时，等号成立，所以ab的最大值为，A正确；对于B选项，＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当即时，等号成立，所以＋的最小值为2＋2，B错误； 对于C选项， ＝a2b2＋(a2＋b2)＋ ＝a2b2＋(a＋b)2－ab＋ ＝a2b2－ab＋＋ ＝2＋≥， 当且仅当即或时，等号成立， 所以的最小值为，C正确；对于D选项，＋＝＋＝a＋2－4＋＋b＋1－2＋＝＋－2，设s＝a＋2，t＝b＋1，可得s＞0，t＞0，且s＋t＝4， 则上式＝(s＋t)－2＝ －2≥－2＝， 当且仅当即即时，等号成立， 所以＋的最小值为，D正确．] 7．若x，y是正实数，(x－y)2＝(xy)3，则＋的最小值为　________　. 解析：因为(x－y)2＝(xy)3且x，y是正实数，所以两边同时除以(xy)2，得2＝xy，又因为2＝2＋＝xy＋≥2＝4，当且仅当xy＝，即x＝2＋，y＝2－时等号成立，所以＋≥＝2. 答案：2 8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝4，则此三角形面积的最大值为　________　. 解析：由题意可得，p＝(a＋b＋c)＝8，则S＝. 由基本不等式可得，S＝≤＝8. 当且仅当8－a＝8－b，即a＝b＝6时取等号． 答案：8 9．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转　____________　年时，年平均利润最大，最大值是　________　万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：5　8 10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数． (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最小，则每批应购入电脑多少台？ 解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04. 所以y＝×300＋0.04×3 000x＝×300＋120x(x∈N*)． (2)由(1)，得y＝×300＋120x≥2＝2×3 600＝7 200. 当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值． 解：(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x) ＝·5x·(2－5x)． ∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. (2)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立， ∴＋的最小值是18. 12．已知：x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求使＋＞a恒成立的参数a的范围． 解：∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝1， ∴＋＝＋＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2. 当且仅当＝，且x＋2y＝1， 即x＝－1，y＝1－时，等号成立． ∴＋的最小值为3＋2，故要使＋＞a恒成立，只需a＜3＋2即可． 即a的取值范围为(－∞，3＋2)． 13．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元， 依题意得当0＜x＜80时，L(x)＝1 000x×0.05－－250＝－x2＋40x－250； 当x≥80时， L(x)＝1 000x×0.05－－250＝1 200－. ∴L(x)＝ (2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元； 当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $