第6章 周末练17 章末检测试卷(六) 统计学初步（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦统计与概率核心素养，以概念辨析-抽样方法-数据描述-数字特征应用为逻辑主线，通过典型例题提炼分层抽样适用条件、数字特征变换规律等可迁移方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|总体样本容量界定方法|从具体调查情境抽象统计概念| |抽样方法|2题|分层抽样适用差异明显群体，简单随机抽样适用于个体少且无差异|根据总体特征选择抽样方法| |数据描述|3题|频率分布直方图中频率=组距×高，中位数计算方法|通过图表直观呈现数据分布特征| |数字特征应用|5题|数据平移方差不变、线性变换数字特征关系（y=ax+b）|从数字特征理解数据集中与离散程度|

周末练17　章末检测试卷(六) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.为客观了解某市市民家庭存书量，该市统计局社情民意调查中心通过电话系统开展专项调查，成功访问了1 000位市民，在这项调查中，总体、样本及样本容量分别是(　　) A.总体是该市市民家庭总数量，样本是1 000位市民的家庭存书量，样本容量是1 000 B.总体是该市市民的家庭存书量，样本是1 000位市民的家庭存书量，样本容量是1 000 C.总体是该市市民的家庭存书量，样本是1 000位市民，样本容量是1 000 D.总体是该市市民家庭总数量，样本是1 000位市民，样本容量是1 000 答案　B 2.①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90~100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为(　　) A.分层抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，简单随机抽样 C.简单随机抽样，分层抽样 D.分层抽样，分层抽样 答案　A 解析　①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层抽样比较恰当；②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当. 3.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是(　　) A.20 B.40 C.64 D.80 答案　D 解析　由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量为400×0.05×4＝80. 4.为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用同比例分层抽样的方法随机调查了A地[20，65]岁的n名女性，其中A地各年龄段的女性比例如图所示.若年龄在[20，50)岁的女性被抽取了40人，则年龄在[35，65]岁的女性被抽取的人数为(　　) A.50 B.25 C.10 D.40 答案　B 解析　由题意，设抽到的年龄在[35，65]岁的女性人数为x，则解得x＝25. 5.对某种电子元件的使用寿命(单位：h)跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的P85为(　　) A.500 h B.450 h C.350 h D.550 h 答案　A 解析　由题图可知电子元件寿命小于500 h的百分比为100×＝85%， 则这一批电子元件中寿命的P85为500 h. 6.已知数据x1，x2，x3，…，xn是n(n≥3，n∈N＋)个普通人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是(　　) A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差不变 D.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变 答案　B 解析　显然世界首富的年收入xn＋1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这(n＋1)个数据中，年收入平均数大大增大.中位数可能不变，也可能变大.数据的集中程度也受到xn＋1比较大的影响，而更加离散，故方差变大. 7.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　) A.s2＋1002 B.＋100，s2＋1002 C.s2 D.＋100，s2 答案　D 解析　方法一　因为每个数据都加上100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变. 方法二　由题意知x1＋x2＋…＋x10＝10 s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]， 则所求平均数[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝(10＋10×100)＝＋100. 而所求方差t2＝[(x1＋100－)2＋(x2＋100－)2＋…＋(x10＋100－)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝s2. 8.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1 120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内，现将这100名学生的成绩按照[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.频率分布直方图中a的值为0.040 B.样本数据低于130分的频率为0.3 C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分 D.总体分布在[90，100)的频数一定与总体分布在[100，110)的频数相等 答案　C 解析　对于A，由频率分布直方图得， (0.005×2＋0.010×2＋0.015＋a＋0.025)×10＝1，解得a＝0.030，故A错误； 对于B，样本数据低于130分的频率为1－(0.025＋0.005)×10＝0.7，故B错误； 对于C，[80，120)的频率为(0.005＋0.010×2＋0.015)×10＝0.4， [120，130)的频率为0.030×10＝0.3. 所以总体的中位数(保留1位小数)估计为120＋×10≈123.3(分)，故C正确； 对于D，样本分布在[90，100)的频数一定与样本分布在[100，110)的频数相等，但总体分布在[90，100)的频数不一定与总体分布在[100，110)的频数相等，故D错误. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.(2024·新课标全国Ⅱ改编)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中错误的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 答案　ABD 解析　对于A， 根据频数分布表可知， 6＋12＋18＝36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34， 所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%＝66%，故B错误； 对于C，因为1 200－900＝300， 1 150－950＝200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得， 平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误. 10.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位：万元)进行统计并得到如图所示的折线图. 下面关于两个门店营业额的分析中，正确的是(　　) A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而平均营业额约为32万元 B.根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均数在[20，25]内 C.根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势 D.乙门店在这9个月中的营业额的极差为25万元 答案　BCD 解析　对于A，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额为32万元，平均营业额远低于32万元，A错误. 对于B，甲门店的营业额的平均数为 ≈21.6. 即该门店营业额的平均数在[20，25]内，B正确. 对于C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确. 对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D正确. 11.已知数据x1，x2，x3，…，xn的众数、平均数、方差、P80分别是a1，b1，c1，d1，数据y1，y2，y3，…，yn的众数、平均数、方差、P80分别是a2，b2，c2，d2，且满足yi＝2xi－1(i＝1，2，3，…，n)，则下列结论正确的是(　　) A.a2＝a1 B.b2＝2b1－1 C.c2＝4c1 D.d2＝2d1－1 答案　BCD 解析　由题意可知，两组数据满足yi＝2xi－1(i＝1，2，3，…，n)，则它们的众数也满足该关系，则有a2＝2a1－1，故A错误； 由平均数计算公式得b2＝ ＝ 2×－1＝2b1－1，故B正确； 由方差的性质可得c2＝4c1，故C正确； 对于数据x1，x2，x3，…，xn， 当0.8n＝k是整数时，d1＝当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则d1＝xk＋1， 故对于数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，…，2xn－1， 当0.8n＝k是整数时，d2＝＝2d1－1，当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则d2＝2xk＋1－1＝2d1－1， 故d2＝2d1－1，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某市为了响应本省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成A，B，C，D四组，对应的行政村个数分别为25，75，100，50，若用同比例分层抽样的方法抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为　　　　.  答案　15 解析　B组所占比例为样本容量为50，故B组中应抽取的行政村数为50×＝15. 13.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33，这33个两位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方式是从第1行第9个数字开始，从左到右依次选取2个数字，则第四个被选中的红色球号码是　　　　.(“双色球”中红色球的号码不可以重复)  81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 68 91 33 75 85 12 39 85 16 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 答案　16 解析　从第1行第9个数字6开始依次选取两位数字，符合要求的前4个数字依次为17，12，33，16，故第四个被选中的红色球号码为16. 14.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6，则这400名学生视力的众数约为　　　　，中位数约为　　　　.  答案　4.7　4.75 解析　由图可知，众数的估计值为4.7. 第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15， 由从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6， 可得第一小组的频率为0.15×＝0.125， 第二小组的频率为0.15×＝0.175. 第三小组的频率为0.15×＝0.3， 所以中位数在第三小组，第三小组的矩形面积为0.3，则第三小组的高为＝1. 设中位数的估计值为x，则0.125＋0.175＋(x－4.55)×1＝0.5，解得x＝4.75. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)某市共有户籍人口400万，其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万.为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图所示的统计图. (1)若采用同比例分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(6分) (2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比.(7分) 解　(1)数据整理如表所示： 健康情况 健康 基本健康 不健康尚能自理　 不能自理 80岁及以上 20 45 20 15 80岁以下 200 225 50 25 从图表中知， 80岁及以上老人应抽取8×＝3(人). 80岁以下老人应抽取8×＝5(人). (2)在600人中80岁及以上老人所占比为 用样本估计总体，80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为××100%＝2.75%. 16.(15分)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下： 男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52； 女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74. (1)分别计算和比较男、女生得分的平均数和标准差；(结果保留整数)(8分) (2)分别计算男、女生得分的四分位数.(7分) 解　(1)男生的平均得分为 (35＋38＋44＋…＋94)≈61. 男生的方差是[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25， ∴s甲≈16. 女生的平均得分为 (51＋52＋55＋…89＋100)≈71. 女生的方差是[(51－71)2＋(52－71)2＋…＋(100－71)2]≈162.11， ∴s乙≈13. (2)男生的数据从小到大的排序为： 35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94. 女生的数据从小到大的排序为： 51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100. 所以男、女生的四分位数分别为： 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 男生 49 57.5 71.5 女生 63 69.5 77 17.(15分)鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是阴历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年阴历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200)的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表： 采购数x [100，120) [120，140) [140，160) [160，180) [180，200) 客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；(5分) (2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(5分) (3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元(2≤m≤5)销售量可增加1 000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.(5分) 解　(1)作出频率分布直方图，如图所示， 根据上图，可知估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数为 50×20×＝17. (2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为 110×10＋130×10＋150×5＋170×20＋190×5＝7 500(箱)，则小张去年年底总的销售量为7 500÷＝12 000(箱). (3)若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入Y＝12 000×20＝240 000(元)； 若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为(12 000＋1 000m)箱，每箱的利润为(20－m)元， 则今年年底小张的收入Y＝(20－m)·(12 000＋1 000m)＝1 000(－m2＋8m＋240)＝1 000[－(m－4)2＋256]， ∴当m＝4时， Y取得最大值，最大值为256 000元， ∵256 000>240 000， ∴小张今年年底收入Y的最大值为256 000元. 18.(17分)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值；(5分) (2)求样本成绩的P75；(5分) (3)已知落在[50，60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.(7分) 解　(1)∵每组小矩形的面积之和为1， ∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1， ∴a＝0.030. (2)成绩落在[40，80)内的频率为 (0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65， 落在[40，90)内的频率为 (0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9， 设P75为m， 由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，得m＝84， 故P75为84. (3)由图可知，成绩在[50，60)内的市民人数为100×0.1＝10， 成绩在[60，70)内的市民人数为100×0.2＝20， 故＝62. s2＝×[7＋(54－62)2]＋×[4＋(66－62)2]＝×71＋×20＝37， ∴两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37. 19.(17分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到了如图所示的条形统计图. 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(5分) (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(5分) (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？(7分) 解　(1)当x≤19时，y＝3 800；当x>19时， y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700. 所以y与x的函数解析式为 y＝(x∈N). (2)由条形统计图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为3 800元，20台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 300元，10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10) ＝4 000(元)； 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 000元，10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元). 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 学科网（北京）股份有限公司 $