第4章 周末练11 章末检测试卷(四) 幂函数、指数函数和对数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 以函数与集合为核心，通过基础概念辨析、性质应用及实际情境问题，系统构建“概念-性质-应用”的解题方法体系，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|集合运算、幂函数定义、定义域求解|从集合基本运算到函数定义，形成概念生成链条| |函数性质|5题|零点存在性定理、构造函数（如g(x)=f(x)+x）、奇偶性证明|以单调性、奇偶性为核心，推导性质应用逻辑| |综合应用|4题|换元法（指数函数）、对数模型解实际问题|结合实际情境（如白细胞计数），体现数学语言表达现实世界|

周末练11　章末检测试卷(四) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B等于(　　) A.{x|x≤2} B.{x|x≤4} C.{x|0<x≤4} D.{x|0<x≤2} 答案　C 解析　由log2x≤1，可得0<x≤2，即A＝{x|0<x≤2}， 又B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝{x|0<x≤4}. 2.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　) A.[0，1] B.[1，2] C.[－2，－1] D.[－1，0] 答案　D 解析　∵f(－1)＝3－1－(－1)2－1＝－<0， f(0)＝30－02＝1>0， ∴f(－1)·f(0)<0， ∴有零点的区间是[－1，0]. 3.已知幂函数f(x)＝(a2－3a－3)xa在区间(0，＋∞)上单调递增，则函数g(x)＝bx＋a－1(b>1)的图象过定点(　　) A.(－4，0) B.(－4，－1) C.(1，0) D.(1，－1) 答案　A 解析　因为幂函数f(x)＝(a2－3a－3)xa在区间(0，＋∞)上单调递增， 则解得a＝4， 所以g(x)＝bx＋4－1(b>1)，则g(－4)＝b0－1＝0， 即函数g(x)的图象过定点(－4，0). 4.设a＝20.2，bc＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 答案　D 解析　因为a＝20.2>20＝1， b20.3>20.2＝a， c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，所以c<a<b. 5.已知函数f(x)的定义域为[－1，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为(　　) A.[0，1] B.[－1，0] C. D. 答案　D 解析　由题意可得解得－≤x≤0， 所以函数g(x)的定义域为. 6.函数f(x)的图象大致为(　　) 答案　A 解析　当x<1时，1－x>0，f(x)>0，故排除B，C； 当x>1时，1－x<0，f(x)<0，故排除D. 7.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L，可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型W(m)＝－W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位：109/L)与随用药量m(单位：mg)的变化规律，其中W0为初始白细胞计数对应值，K为参数.已知W0＝20，用药量m＝50时，在规定时间后测得白细胞计数W＝14，要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到(参考数据：≈1.221)(　　) A.58 B.59 C.60 D.62 答案　D 解析　由已知W0＝20，当m＝50时，W(50)＝14， 代入W(m)＝－W0ln(Km)， 则14＝－20ln(50K)，解得K 则W(m)＝－20ln 因为当用药量m＝50时，在规定时间后测得白细胞计数W＝14，白细胞计数值偏高， 所以令W(m)＝－20ln≤10， 即ln≥－ 解得m≥50≈50×1.221＝61.05. 所以要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到62. 8.已知函数f(x)的定义域为R，对于任意的x1，x2，当x1<x2时，有>－1，且f(1)＝1，则不等式f(log2|3x－1|)<2－log2|3x－1|的解集为(　　) A.(1，＋∞) B.(－∞，1) C.(－1，0)∪(0，3) D.(－∞，0)∪(0，1) 答案　D 解析　根据题意，设g(x)＝f(x)＋x，若函数f(x)满足对任意x1<x2， 有>－1，则>0，即>0， 所以函数g(x)在R上为增函数， 又f(1)＝1，则g(1)＝1＋1＝2， f(log2|3x－1|)<2－log2|3x－1|⇒f(log2|3x－1|)＋log2|3x－1|<2⇒g(log2|3x－1|)<g(1)⇒log2|3x－1|<1， 则有0<|3x－1|<2，解得x<1且x≠0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(0，1). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知log3a>log3b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.0<< B.log3(a－b)>0 C.3a－b<1 D.< 答案　AD 解析　因为log3a>log3b， 所以a>b>0， 所以0<<故选项A正确； 当ab＝1时，log3(a－b)＝log3－1<0，故选项B错误； 3a－b>30＝1，故选项C错误； 由指数函数和幂函数的单调性得<<故选项D正确. 10.若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a可以是(　　) A.2 B. C. D. 答案　CD 解析　由题意，直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点， 当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图(1)所示， 由已知得0<3a<1，∴0<a<； 当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图(2)所示， 由已知可得0<3a<1， ∴0<a<结合a>1可得a无解. 综上可知，a的取值范围为. 11.已知函数f(x)＝ex－e－x＋ln(x＋)(其中e是自然对数的底数)，下列说法正确的是(　　) A.f(x)是非奇非偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在定义域上是增函数 D.若∀x∈[－1，2]，关于x的不等式f(x2＋2)＋f(－2ax)≥0恒成立，则a的取值范围为 答案　BCD 解析　 因为>|x|， 故＋x>|x|＋x≥0，故f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(x)＋f(－x)＝ex－e－x＋ln(x＋)＋e－x－ex＋ln(－x＋)＝ln 1＝0， 故f(x)为R上的奇函数，故A错误，B正确； 当x∈[0，＋∞)时，y＝x，yy＝ex，y＝－e－x均为增函数， 故y＝ln(＋x)为[0，＋∞)上的增函数，故f(x)为[0，＋∞)上的增函数， 所以f(x)为R上的增函数，故C正确； 而f(x2＋2)＋f(－2ax)≥0等价于f(x2＋2)≥－f(－2ax)＝f(2ax)， 故x2＋2≥2ax在上恒成立， 若－1≤x<0，则2a≥x＋ 由对勾函数的性质可得s(x)＝x＋在[－1，0)上单调递减，故2a≥s(－1)＝－3， 即a≥－； 若x＝0，则2>0恒成立，故a∈R； 若0<x≤2，则2a≤x＋而x＋≥2当且仅当x时等号成立， 故2a≤2即a≤ 综上，a的取值范围为故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知4m＝2，lg x＝m，则x＝　　　　.  答案　 13.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝　　　　.  答案　1 解析　∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， ∴(－x)ln(－x＋)＝xln(x＋)， ∴－ln(－x＋)＝ln(x＋)， ∴ln(－x＋)＋ln(x＋)＝0， ∴ln[(＋x)(－x)]＝0， ∴ln a＝0，∴a＝1. 14.设m是不为0的实数，已知函数f(x)若函数F(x)＝2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是　　　　　.  答案　(0，2) 解析　作出函数f(x)的大致图象，如图所示. 由F(x)＝f(x)0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0. f(x)有3个零点， 要使函数F(x)＝2－mf(x)有7个零点， 则2f(x)－m＝0，即f(x)(m≠0)有4个根，即曲线y＝f(x)与直线y有4个交点， 结合图象可得0<<1，解得0<m<2， 即m的取值范围为(0，2). 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)(1)计算：＋(lg 5)0＋；(6分) (2)解方程：log3(6x－9)＝3.(7分) 解　(1)原式＋(lg 5)0＋ ＋1＋4. (2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27， ∴6x＝36＝62，∴x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解. ∴原方程的解为x＝2. 16.(15分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)， (1)求函数的定义域；(7分) (2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.(8分) 解　(1)由真数2x＋3－x2>0， 解得－1<x<3， 所以函数的定义域为{x|－1<x<3}. (2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数.因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4， 所以当x＝1时，u取得最大值4， 又y＝log4u为增函数， 所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1. 所以y的最大值为1， 此时x＝1. 17.(15分)已知定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，当x∈[－1，0]时的解析式为f(x)(a∈R). (1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(7分) (2)求f(x)在[0，1]上的最大值.(8分) 解　(1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数， 所以f(0)＝0，即1－a＝0，得a＝1. 设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]， 所以f(x)＝－f(－x)＝－2x－4x， 即当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－4x. (2)f(x)＝2x－4x＝－其中2x∈[1，2]，所以当2x＝1，即x＝0时，f(x)取得最大值为0. 18.(17分)某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1). (1)若a求一天中哪个时刻污水污染指数最低；(8分) (2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？(9分) 解　(1)因为a 则f(x)＋2≥2. 当f(x)＝2时，log25(x＋1)－0， 得x＋1＝25，即x＝4. 所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低. (2)设t＝log25(x＋1)， 则当0≤x≤24时，0≤t≤1. 设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]， 则g(t) 显然g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增， 则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}， 因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2， 则有 解得a≤ 又a∈(0，1)， 故调节参数a应控制在内. 19.(17分)定义在R上的函数f(x)是单调函数，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，且∀x<0，f(x)<0. (1)求f(0)，并判断函数f(x)的奇偶性；(4分) (2)判断函数f(x)的单调性并证明；(5分) (3)若存在x∈使得f(16x＋16－x)＋f(4x＋4－x＋m)<0成立，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)在等式f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)中， 令x＝y＝0，可得f(0)＝2f(0)，解得f(0)＝0. 因为函数f(x)的定义域为R， 令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)， 因此，函数f(x)为奇函数. (2)函数f(x)为R上的增函数.证明过程如下： 任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1－x2<0，所以f(x1－x2)<0. 因为f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在R上为增函数. (3)由存在x∈使得f(16x＋16－x)＋f(4x＋4－x＋m)<0， 可得f(4x＋4－x＋m)<－f(16x＋16－x)＝f(－16x－16－x). 因为函数f(x)在R上为增函数，则4x＋4－x＋m<－16x－16－x. 令g(x)＝4x＋4－x，其中x∈则g(－x)＝4－x＋4x＝g(x)， 即函数g(x)为偶函数， 任取x1，x2∈且x1<x2， 则g(x1)－g(x2)()＋()－因为0≤x1<x2≤1，则<x1＋x2>0，则>1， 所以g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 所以函数g(x)在上单调递增，则当x∈时，g(0)≤g(x)≤g(1)， 即2≤g(x)≤ 所以当x∈时，2≤g(x)≤. 令t＝4x＋4－x，t∈则t216x＋16－x＋2，则16x＋16－x＝t2－2， 所以t＋m<－(t2－2)，可得m<－t2－t＋2. 令h(t)＝－t2－t＋2，其中t∈由题意可得m<h(t)max， 因为函数h(t)＝－t2－t＋2＝－在上单调递减， 则h(t)max＝h(2)＝－22－2＋2＝－4， 则m<－4，因此，实数m的取值范围是(－∞，－4). 学科网（北京）股份有限公司 $