第3章 周末练8 章末检测试卷(三) 函数的概念与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 以函数单元为核心，通过基础概念辨析、性质应用及实际建模，系统覆盖定义域、奇偶性、单调性等考点，注重数学思维与应用意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与定义域|5题（如第2、9题）|概念辨析、定义域求解|从函数定义到定义域限制条件推导| |函数性质应用|9题（如第3、7题）|奇偶性判断、单调性证明|性质判定到综合不等式应用| |函数综合创新|3题（如第6、8题）|图象拼接、递推关系分析|性质与图象结合的跨情境拓展| |实际应用问题|2题（如第14、18题）|分段函数建模、优化问题|数学语言表达现实数量关系|

周末练8　章末检测试卷(三) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知f(x)＝则f(3)等于(　　) A.7 B.2 C.10 D.12 答案　D 解析　∵3>1, ∴f(3)＝32＋3＝12. 2.函数f(x)＝的定义域是(　　) A.[－1,＋∞) B.(－∞,0)∪(0,＋∞) C.[－1,0)∪(0,＋∞) D.R 答案　C 解析　解得－1≤x<0或x>0, 即x∈[－1,0)∪(0,＋∞). 3.已知偶函数f(x)在区间[0,＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1,则下列大小关系正确的是(　　) A.f(1)>f(2) B.f(1)>f(－2) C.f(－1)>f(－2) D.f(－1)<f(2) 答案　D 解析　∵当x≥0时,f(x)＝x＋1是增函数, ∴f(1)<f(2), 又∵f(x)为偶函数, ∴f(1)＝f(－1),f(2)＝f(－2),∴D对. 4.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1,则f(x)等于(　　) A.x2 B.2x2 C.2x2＋2 D.x2＋1 答案　D 解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1, ① ∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1. 又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数, ∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ② 由①②联立,得f(x)＝x2＋1. 5.若函数f(x)＝是R上的减函数,则a的取值范围是(　　) A.[－3,－1] B.(－∞,－1] C.[－1,0) D.[－2,0) 答案　A 解析　因为函数f(x)是R上的减函数,所以有解得－3≤a≤－1. 6.天鹅被人类称为美善天使,它不仅象征着忠诚、长久的爱情,同时它的生命力很顽强,因此也是坚强的代表.除此之外,天鹅还是高空飞翔好手,飞行高度可达9千米,能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”.如图是两只天鹅面对面比心的图片,其中间部分可抽象为如图所示的轴对称心型曲线.下列选项中,两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是(　　) A.y＝|x|＋及y＝|x|－ B.y＝x＋及y＝x－ C.y＝|x|＋及y＝|x|－ D.y＝x＋及y＝x－ 答案　A 解析　因为图形为轴对称图形,所以x与－x对应的y值相等,故函数为偶函数,只有A,C选项中函数为偶函数,故排除B,D； 根据图象可知为封闭图形,x的定义域有限,C中y＝|x|＋及y＝|x|－的定义域均为R,不符合题意,排除C. 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)＝2x3,若对任意x∈[m－2,m],不等式f(m－x)≤f(x)恒成立,则实数m的取值范围为(　　) A.[6,＋∞) B.[2,＋∞) C. D.(－∞,6] 答案　A 解析　已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)＝2x3, 设x<0,则－x>0,f(－x)＝2(－x)3＝－2x3＝－f(x), 所以f(x)＝2x3,且在R上单调递增. 又f(x)＝2×＝f则f(m－x)≤f(x)＝f对于任意x∈恒成立, 即m－x≤x,m≤x对于任意x∈恒成立,所以m≤(m－2),解得m≥6. 8.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x－1)＋f(x－2),且当x<3时,f(x)＝x,则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 答案　B 解析　因为当x<3时,f(x)＝x, 所以f(1)＝1,f(2)＝2, 又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2), 则f(3)>f(2)＋f(1)＝3, f(4)>f(3)＋f(2)>5, f(5)>f(4)＋f(3)>8, f(6)>f(5)＋f(4)>13, f(7)>f(6)＋f(5)>21, f(8)>f(7)＋f(6)>34, f(9)>f(8)＋f(7)>55, f(10)>f(9)＋f(8)>89, f(11)>f(10)＋f(9)>144, f(12)>f(11)＋f(10)>233, f(13)>f(12)＋f(11)>377, f(14)>f(13)＋f(12)>610, f(15)>f(14)＋f(13)>987, f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000, f(17)>f(16)＋f(15)>2 584, f(18)>f(17)＋f(16)>4 181, f(19)>f(18)＋f(17)>6 765, f(20)>f(19)＋f(18)>10 946>10 000>1 000, 则B正确,D错误； 且无证据表明A,C一定正确. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列各组中的两个函数不是同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x＋和g(t)＝t＋ B.f(x)＝|x|和g(t)＝ C.f(x)＝x－1和g(x)＝－ D.f(x)＝和g(x)＝x－3 答案　CD 解析　C中两函数的对应关系不同,D中两函数的定义域不同. 10.已知f(x)为定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),并且当x<0时,有f(x)<0,则(　　) A.f(0)＝0 B.若f(2)＝2,则f(－2)＝2 C.f(x)在R上单调递增 D.若f(2)＝2,且f(a2)－f(2a－5)>4,则实数a的取值范围为(－∞,1)∪(1,＋∞) 答案　ACD 解析　取x＝y＝0得f(0＋0)＝f(0)＋f(0), 即f(0)＝0,故A正确； 取y＝－x代入,得f(0)＝f(x)＋f(－x), 又f(0)＝0,于是f(－x)＝－f(x), 所以f(x)为奇函数,若f(2)＝2, 则f(－2)＝－f(2)＝－2,故B错误； 设x1,x2∈R且x1<x2, 则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＝－f(x1－x2), 由x1－x2<0知,f(x1－x2)<0, 所以f(x2)－f(x1)>0, 所以f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在R上单调递增,故C正确； 若f(2)＝2,则f(4)＝f(2)＋f(2)＝4, 所以f(a2)－f(2a－5)>4等价于f(a2)－f(2a－5)>f(4), 即f(a2)>f(2a－5)＋f(4), 所以f(a2)>f(2a－5＋4)等价于a2>2a－5＋4, 即(a－1)2>0,解得a>1或a<1,故D正确. 11.已知函数f(x)的定义域为D,若存在区间[m,n]⊆D,使得f(x)满足：①f(x)在[m,n]上是单调函数；②f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n],则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有(　　) A.f(x)＝2x B.f(x)＝x2 C.f(x)＝ D.f(x)＝x＋ 答案　ABC 解析　根据题意,函数中存在“倍值区间”, 则满足f(x)在[m,n]上是单调函数,且有或 对于A,f(x)＝2x,定义域为R,f(x)在区间[m,n]上单调递增,其值域是[2m,2n],则区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”； 对于B,f(x)＝x2,在区间[0,2]上单调递增,其值域为[0,4],则区间[0,2]是函数f(x)的“倍值区间”； 对于C,f(x)＝在区间上单调递减,其值域为[1,2],则区间是函数f(x)的“倍值区间”； 对于D,f(x)＝x＋当x>0时,在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,＋∞)上单调递增, 若函数存在倍值区间[m,n],则有或 对于有m＝1,n无解, 对于有变形可得m2－2mn＋1＝0且n2－2mn＋1＝0,无解, 故当x>0时,f(x)不存在“倍值区间”, 同理可得当x<0时,f(x)不存在“倍值区间”, 故f(x)在定义域内不存在“倍值区间”. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若函数f(x)满足f ＝x,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  答案　f(x)＝(x≠1) 解析　令＝t,则x＝t≠1, ∴f(t)＝t≠1,∴f(x)＝(x≠1). 13.已知函数f(x)＝x2－2ax在区间[－1,1]上有最小值－3,则实数a的值为　　　　　.  答案　2或－2 解析　函数的对称轴为直线x＝a, 当a≤－1时,函数在[－1,1]上单调递增,故最小值为f(－1)＝1＋2a＝－3,即a＝－2,符合题意； 当－1<a<1时,函数在上单调递减,在上单调递增, 故最小值为f(a)＝a2－2a2＝－3,即a2＝3,a＝±不符合题意,舍去； 当a≥1时,函数在[－1,1]上单调递减, 故最小值为f(1)＝1－2a＝－3即a＝2,符合题意, 综上,a＝－2或a＝2. 14.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物：①如不超过200元,则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分,给予8折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,若他只去一次购买同样的商品,则应付款　　　　元.  答案　560.4 解析　由题意可知,设消费金额为x元,应付款为y元,则y＝ 由168<200,得第一次购物的消费金额为168元. 由200<423<450,得第二次购物的消费金额为 ＝470(元). 所以x＝168＋470＝638>500, 则y＝0.8×(638－500)＋450＝560.4(元). 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(13分)若函数f(x)＝. (1)求f(－3),f(a2＋1)；(6分) (2)求函数f(x)的定义域.(7分) 解　(1)∵f(x)＝ ∴f(－3)＝＝－1, f(a2＋1)＝. (2)对于函数f(x)＝ 则有解得x≥－3且x≠－2. 因此,函数f(x)＝的定义域为[－3,－2)∪(－2,＋∞). 16.(15分)对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性；(6分) (2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值.(9分) 解　(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x| ＝f(x),∴f(x)是偶函数, 图象关于y轴对称. (2)f(x)＝x2－2|x| ＝ 画出图象如图所示, 根据图象知,函数f(x)的最小值是－1, 单调递增区间是[－1,0],[1,＋∞)； 单调递减区间是(－∞,－1),(0,1). 17.(15分)已知函数f(x)是一次函数,且满足f(x－1)＋f(x)＝2x－1. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)判断函数g(x)＝在(1,＋∞)上的单调性,并用函数单调性的定义给予证明.(8分) 解　(1)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0), 由f(x－1)＋f(x)＝2x－1, 可得a(x－1)＋b＋ax＋b＝2x－1, 整理得(2a－2)x＋2b－a＋1＝0, 所以解得 所以f(x)＝x. (2)g(x)＝＝1＋. 可判断g(x)＝1＋在(1,＋∞)上单调递减,证明如下： 任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1<x2,则 g(x1)－g(x2)＝1＋ ＝ 因为x2>x1>1, 所以x2－x1>0,x1－1>0,x2－1>0, 所以g(x1)－g(x2)>0,即g(x1)>g(x2), 所以函数g(x)在(1,＋∞)上单调递减. 18.(17分)某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划压缩生产某产品的成本.已知生产该产品的年固定成本为400万元,最大产能为100台.每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)＝(x∈N＋),由市场调研知,该产品每台的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(8分) (2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大？最大利润是多少？(9分) 解　(1)由题意可得W(x)＝(x∈N＋), 所以W(x)＝(x∈N＋). (2)当0<x≤40时,W(x)＝－2x2＋140x－400, 当x＝35时,W(x)取最大值,W(35)＝2 050(万元)； 当40<x≤100时,W(x)＝－x－＋1 700＝－＋1 700≤－2＋1 700＝1 580, 当且仅当x2＝3 600,即x＝60时等号成立,即W(x)≤1 580(万元),因为2 050>1 580, 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大,最大利润为2 050万元. 19.(17分)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)若f(x)在区间[2a,a＋1]上不单调,求实数a的取值范围；(6分) (3)在区间[－1,1]上,y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方,试确定实数m的取值范围.(6分) 解　(1)由函数f(x)是二次函数,且f(0)＝f(2),可得函数f(x)的对称轴为x＝1, 又由最小值为1,可设f(x)＝k(x－1)2＋1, 又f(0)＝3,即k×(0－1)2＋1＝3,解得k＝2, 所以函数的解析式为 f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)由(1)得函数f(x)＝2x2－4x＋3的对称轴为x＝1, 要使f(x)在区间[2a,a＋1]上不单调, 则满足2a<1<a＋1,解得0<a< 即实数a的取值范围是. (3)由在区间[－1,1]上,y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方, 可得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在区间[－1,1]上恒成立, 化简得m<x2－3x＋1在区间[－1,1]上恒成立, 设函数g(x)＝x2－3x＋1, 则g(x)在区间[－1,1]上单调递减, 所以g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1, 则m<－1. 故实数m的取值范围为(－∞,－1). 学科网（北京）股份有限公司 $