第6章 6.4.2 用样本估计总体的离散程度（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦用样本估计总体的离散程度，系统讲解极差、方差、标准差的概念及计算，衔接集中趋势（平均数等）知识，构建完整统计描述体系，为后续统计推断提供学习支架。 以射击成绩等问题情境引入，结合频率分布条形图培养数学眼光，通过对比分析方差与标准差、分层抽样方差计算发展数学思维，借助水稻推广等实例强化数学语言表达。课中辅助教师引导学生从直观到抽象，课后分层训练助学生巩固，查漏补缺。

6.4.2　用样本估计总体的离散程度 学习目标　1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(极差、标准差、方差).2.理解离散程度参数的统计含义.3.掌握求分层抽样的方差的方法. 导语 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识. 一、极差、方差与标准差 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　 6　7　7 问题1　甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？ 提示　经计算得：×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得＝7. 问题2　观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？ 提示　直观上看，还是有差异的.如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中. 问题3　对于甲、乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？ 提示　还经常用甲、乙的极差、方差或标准差说明数据的离散程度. 知识梳理 1.极差：将一组数据中的最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示. 2.总体方差：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2=为总体方差. 3.样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=(xi-)2为这n个数据的样本方差. 4.标准差：标准差是方差的算术平方根.总体方差为σ2，总体标准差σ=；样本方差为s2，样本标准差s=. 注意点： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述. (1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差. (2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决实际问题时一般用标准差，并且标准差的单位与样本数据一致. 例1　有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的极差和方差分别是(　　) A.9，6 B.7 C.6，66 D.9，6.5 答案　A 解析　∵×(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝×(61＋x)＝6，∴x＝5，∴极差为11－2＝9， 方差为s2 ＝＝＝6. 反思感悟　计算时注意方差与标准差的区别. 跟踪训练1　(1)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人的成绩的方差为　　　　　.  分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 答案　 解析　∵＝3， ∴s2＝×(20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22)＝. (2)抽样统计甲射击运动员的5次训练成绩如下：89，90，91，88，92.则该运动员成绩的标准差为　　　　　.  答案　 解析　＝90， s＝＝＝. 二、方差与标准差的应用 例2　(课本例6)省农科院在该省一个地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两种水稻各100亩.待水稻成熟，分别从甲、乙的100亩水稻中随机抽取10亩水稻，它们的亩产量如下表所示.就产量这一指标来讲，试确定哪个品种的水稻在该地区更适合推广. 种类 水稻的亩产量/kg 甲 865 885 886 876 893 885 870 905 890 895 乙 870 875 884 885 886 888 882 890 895 896 解　使用计算器可算出甲、乙品种各10亩抽样水稻的平均亩产量为 ＝885 kg，＝885.1 kg. 由于这10亩水稻是随机抽取的，而这两种水稻的样本均值相差很小，从而我们可以估计大面积种植这两种水稻后的平均亩产量也应相差很小. 借助计算器计算方差可得 ＝129.6，＝59.09. 由于<，因此我们可以估计乙种水稻的亩产量要比甲种水稻稳定.综合以上两种因素，我们可以得出：在该地区，乙种水稻更有推广价值. 例2　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据如下(单位：mm)： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解　(1)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(mm)， ×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(mm). ×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝ ×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同， 又> 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 延伸探究　在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？ 解　甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110(mm)， 方差为×[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝. 反思感悟　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定. 跟踪训练2　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较稳定？ 解　(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均数为×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为s甲＝. 乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)， 平均数为×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)， 方差为×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25， 标准差为s乙＝. (2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定. 从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定. 三、分层抽样的方差 分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为样本方差分别为则全部样本的样本方差为s2＝{n1[＋()2]＋n2[＋()2]}. 拓展：如果将总体分为k(k∈Z，k≥3)层，第j层抽取的样本为…第j层的样本容量为nj，样本均值为样本方差为j＝1，2，…，k.记nj＝n，则全部样本的样本方差为s2＝[nj＋nj()2]. 例3　(课本例7)树人中学高一年级有男生180人，女生120人.该高校高一年级统计小组为调查本年级学生身高情况，采取分层抽样的方法从男生和女生中分别抽取18人，12人.将男生组看作样本A1，计算出样本A1的平均身高为173.5 cm，方差为17；将女生组看作样本A2，计算出样本A2的平均身高为164.0 cm，方差为30.试根据以上数据计算由A1，A2组成的样本A的方差，并估计总体方差. 解　设从男生中抽出的样本个体为y1，y2，…，y18，均值记为，方差记为；从女生中抽取的样本个体为z1，z2，…，z12，均值记为，方差记为. 先计算样本A的均值： ＝＝169.7(cm)； 再计算样本A的方差： s2＝[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y18－)2＋(z1－)2＋(z2－)2＋…＋(z12－)2]＝ [(yi－)＋()]2＋[(zj－)＋()]2} ＝{[(yi－)2＋)2＋2(yi－)·()]＋[(zj－)2＋)2＋2(zj－)()]} ＝{[(yi－)2＋)2＋2()·(yi－)]＋[(zj－)2＋)2＋2()·(zj－)]} ＝{[(yi－)2＋)2]＋[(zj－)2＋)2]} ＝[18＋18()2＋12＋12()2] ＝(18×17＋18×3.82＋12×30＋12×5.72) ＝43.86. 于是可以估计该校高一年级学生身高的方差为43.86. 例3　甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 解　由题意可知＝60，甲队队员在所有队员中所占层权为W甲＝＝70，乙队队员在所有队员中所占层权为W乙＝ 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝W甲＋W乙×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝W甲[＋()2]＋W乙[＋()2]＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296. 反思感悟　计算分层抽样中样本方差s2的步骤 (1)确定； (2)确定； (3)应用公式s2＝{n1[＋()2]＋n2[＋()2]}，计算s2. 跟踪训练3　在一次高一年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩为70分，方差为30；乙班有60人，平均成绩为75，方差为40.求： (1)甲、乙两班全部学生的平均成绩； (2)有人预测，甲、乙两个班级全部学生的成绩的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全部学生的成绩的方差，并判断此人说法是否正确. 解　 (1)设甲班成绩的平均数为方差为；乙班成绩的平均数为方差为 则＝70＝30＝75＝40， 所以甲、乙两班全部学生的平均成绩为×70＋×75＝73， 即甲、乙两班全部学生的平均成绩为73分. (2)甲、乙两个班级全部学生的成绩的方差为 ×[]＋×[] ＝×[30＋(70－73)2]＋×[40＋(75－73)2]＝42>40， 故此人的说法是错误的. 1.知识清单： (1)极差、标准差、方差的计算方法. (2)标准差、方差的应用. 2.方法归纳：数据分析. 3.常见误区： (1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变. (2)在计算方差或标准差时，当重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是(　　) A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定 答案　A 解析　因为甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62， 则甲每场比赛的得分波动比乙的小，即甲发挥更稳定. 2.样本数据17，20，14，18，11，16，18，14的极差与方差分别为(　　) A.9 B.9 C.8 D.8 答案　B 解析　将样本数据从小到大排列为11，14，14，16，17，18，18，20，极差为20－11＝9， 平均数为×(11＋14×2＋16＋17＋18×2＋20)＝16， 方差为×[(11－16)2＋(14－16)2×2＋(16－16)2＋(17－16)2＋(18－16)2×2＋(20－16)2]＝. 3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　) A.57.2，3.6 B.57.2，56.4 C.62.8，63.6 D.62.8，3.6 答案　D 解析　每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变. 4.样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　) A. B. C.2 D. 答案　D 解析　∵样本a，0，1，2，3的平均数为1， ∴＝1，解得a＝－1. 则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为. 5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中则两个班数学成绩的方差为(　　) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 答案　C 解析　由题意可知两个班的数学成绩的平均数为 则两个班数学成绩的方差为 s2＝×[2＋()2]＋×[3＋()2]＝×2＋×3＝2.6. 6.(多选)在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则(　　) A.所剩数据的平均数是9.4 B.所剩数据的平均数是9.5 C.所剩数据的方差是0.016 D.所剩数据的方差是0.04 答案　BC 解析　＝9.5，s2＝×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016. 7.(5分)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为　　　　.  答案　16 解析　设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，所以数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为4×64＝256，即标准差为16. 8.(5分)某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，8.5，已知这5名参赛选手得分的平均数为9，则这5名参赛选手得分的方差为　　　　　　.  答案　0.136 解析　数据9，8.7，9.3，x，8.5的平均数是9， 所以×(9＋8.7＋9.3＋x＋8.5)＝9， 解得x＝9.5， 所以这组数据的方差为s2＝×[(9－9)2＋(8.7－9)2＋(9.3－9)2＋(9.5－9)2＋(8.5－9)2]＝0.136. 9.(10分)甲、乙两名学生在5次英语口语测试中的成绩统计如下： 甲：74　85　86　90　93 乙：76　83　85　87　97 现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度分析，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由. 解　＝85.6； ＝85.6. ×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝×209.2＝41.84； ×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝×231.2＝46.24. 因为<所以甲的水平更稳定，派甲参赛更合适. 10.(12分)某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如表所示， 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差. 解　根据题意，全班平均成绩为 ＝90×＋80×＝85， 第一组的平均数为＝90，方差为＝16. 第二组的平均数为＝80，方差为＝36. 则该班学生这次考试成绩的方差为s2＝×[＋()2]＋×[＋()2]＝×[16＋(90－85)2]＋×[36＋(80－85)2]＝51，∴s＝. 综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和. 11.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则(　　) A.男生的投篮水平比女生的投篮水平高 B.女生的投篮水平比男生的投篮水平高 C.男、女生的投篮水平相当，但女生要比男生稳定 D.男、女生投篮命中数的极差相同 答案　C 解析　由图可知， ×(4＋5＋2＋8＋6)＝5， ×(5＋3＋7＋6＋4)＝5， ×[(4－5)2＋(5－5)2＋(2－5)2＋(8－5)2＋(6－5)2]＝4， ×[(5－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(6－5)2＋(4－5)2]＝2， 所以>所以本次投篮练习中男、女生的投篮水平相当，但女生要比男生稳定. 男生投篮命中数的极差为8－2＝6，女生投篮命中数的极差为7－3＝4，故极差不同. 12.在对某高中1 000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用同比例分层抽样的方法抽取100人，已知这1 000名高二年级学生中男生有600人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为14.5 cm和14.84，女生成绩的平均数和方差分别为15.5 cm和17.64.则总样本方差为(　　) A.14.68 B.15.80 C.16.20 D.18.93 答案　C 解析　按照同比例分层抽样，设在男生、女生中分别抽取m名和n名， 则解得m＝60，n＝40， 由题意，男生样本的平均数为＝14.5 cm，样本方差为＝14.84， 女生样本的平均数为＝15.5 cm，样本方差为＝17.64， 记抽取的总样本的平均数为方差为s2， 可得×14.5＋×15.5＝14.9， 所以s2＝ ＝ ＝16.20. 13.某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则|m－n|等于(　　) A.10 B.5 C.5 D.5 答案　A 解析　因为这组数据的平均数为48，方差为7， 所以 整理得 设m＝48＋t，则n＝48－t， 因为(m－48)2＋(n－48)2＝50，所以2t2＝50，即t2＝25， 则|m－n|＝2|t|＝10. 14.(5分)若x1，x2，…，x2 025的平均数为3，方差为4，且yi＝－3(xi－2)，i＝1，2，…，2 025，则新数据y1，y2，…，y2 025的平均数和标准差分别为　　　　，　　　　.  答案　－3　6 解析　∵x1，x2，…，x2 025的平均数为3，方差为4，yi＝－3(xi－2)＝－3xi＋6，i＝1，2，…，2 025， ∴y1，y2，…，y2 025的平均数为－3＋6＝－3×3＋6＝－3， 方差为(－3)2×4＝36，∴y1，y2，…，y2 025的标准差为6. 15.(5分)已知15个数x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为9，现从中剔除x1，x2，x3，x4，x5这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数x6，x7，…，x15的方差为　　　　.  答案　8 解析　由题意知，x1＋x2＋…＋x15＝15×6＝90，x1＋x2＋…＋x5＝5×8＝40， 所以x6＋x7＋…＋x15＝90－40＝50， 所以剩余的10个数的平均数为＝5. 根据方差公式s2＝(xi－)2＝－n)得， ＋…＋－15×62＝15×9＋…＋－5×82＝5×5， 即＋…＋＝675＋…＋＝345， 所以＋…＋＝675－345＝330， 所以剩余的10个数的方差为×(330－10×52)＝8. 16.(12分)为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A，B两组，测得A组土壤可溶性盐含量数据的样本平均数＝0.82，方差＝0.029 3，B组土壤可溶性盐含量数据的样本平均数＝0.83，方差＝0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如表： A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54 记改良后A组，B组土壤可溶性盐含量数据的样本平均数分别为和样本方差分别为和. (1)求；(6分) (2)应用技术1与技术2对土壤进行可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？(若||>2i＝1，2，则认为该技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低.)(6分) 解　(1)×(0.66＋0.68＋0.69＋0.71＋0.72＋0.74)＝0.70， ×[(0.66－0.70)2＋(0.68－0.70)2＋(0.69－0.70)2＋(0.71－0.70)2＋(0.72－0.70)2＋(0.74－0.70)2]＝0.000 7； ×(0.46＋0.48＋0.49＋0.49＋0.51＋0.54)＝0.495， ×[(0.46－0.495)2＋(0.48－0.495)2＋(0.49－0.495)2＋(0.49－0.495)2＋(0.51－0.495)2＋(0.54－0.495)2]＝0.000 625. (2)当i＝1时＝0.014 4＝0.02. ∵0.014 4<0.02，∴||<2 ∴应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低. 当i＝2时＝0.112 225＝0.113 55， ∵0.112 225<0.113 55，∴||<2 ∴应用技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低. 故应用技术1和技术2后，土壤可溶性盐含量都没有显著降低. 学科网（北京）股份有限公司 $