6.4.3用频率分布直方图估计总体分布教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 6.4.3用频率分布直方图估计总体分布 教学目标 【教学目标】 1．通过实例体会分布的意义和作用； 2．能够利用频率分布直方图估计总体分布的数字特征-----众数和中位数.(数学核心素养：数据分析、数学运算)； 3.能够利用频率分布直方图估计总体分布的数字特征-----平均数.(数学核心素养：数据分析、数学运算)； 4.通过对数据分析整理为合理决策提供依据，让学生初步感受统计结果的随机性与规律性，体会统计思想与确定性思维的差异。 教学内容 教学重点： 体会用样本估计总体的思想，通过样本的频率分布直方图估计总体分布； 教学难点： 用样本的频率分布估计总体分布，用频率分布直方图估计数字特征，中位数。 教学过程 【教学过程】 一、情景引入：1.如图是500名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图,若规定60分为及格线,则如何求解数学成绩在60分以上的人数?若求这500名学生分数的众数,又如何求解呢? 分析：在频率分布直方图中，由于无法知道每个组内的数据是如何分布的，因此我们通常假设它们在组内均匀分布。 解：数学成绩在60分以上的人数：450人，这500名学生分数的众数：75（分） 【设计意图】通过思考题，让学生了解通过样本频率分布直方图估计样本的数字特征——众数，中位数，平均数。 2.为了了解学生的课业负担，A、B两所高中学校分别抽取了200名在校生，了解他们完成作业所需的时间，并分别作出了频数分布直方图如图①②所示，其中分组的区间都为[0.5，1)，[1，1.5)，[1.5，2)，[2，2.5)，[2.5，3]．记A学校所得数据的平均数为x，B学校所得数据的平均数为y. [问题]　你能判断出x，y的大小吗？ 200人完成作业的总时间：0.75×18+1.25×32+1.75×49+2.25×86+2.75×15=374h x=0.75×9% +1.25×16% +1.75×24.5% +2.25×43% +2.75×7.5%=1.87h y=0.75×12.5% +（1.25+2.25）×19.5% +1.75×38% +2.75×11.5%=1.76h 二、探索新知 我们已经知道，样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图，如频率分布直方图，这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数，进而估计总体的相应值? 在频率分布直方图中，由于无法知道每个组内的数据是如何分布的，因此我们通常假设它们在组内均匀分布.根据平均数的意义可知，样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，从而在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．这样我们就可近似估计样本的平均数.根据中位数的意义可知，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计样本中位数的值. 根据众数的意义可知，可将频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点所对应的数据作为样本众数的估计值.综上可知，我们可以通过频率分布直方图估计出样本的平均数、中位数和众数进而估计总体的平均数、中位数和众数.下面进行具体举例说明. 三、应用示例 例9： 某部门就全国高校在读大一学生的月花费金额(单位：元)情况调查了 10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图),每个分组包 括左端点，不包括右端点，如第一组表示月花费金额在[500,1000)，内. (1)为了分析大一学生的月花费金额与家庭等方面的关系，必须按月花费金额 再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步分析，则月花费金额在[2000,2500)，内的应抽取多少人? （2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数； （3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数. 【设计意图】通过逐步递进的小问题，引导学生理解总体分布，体会用样本频率分布直方图估计总体分布情况的统计思 根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图) 解: （1）利用频率之和为1，由图6.4-3可得 (0.000 2+0.000 4+2a+0.000 3＋0.000 1)×500=1, 解得a=0.000 5. 所以月花费金额在[2000,2500)内的频率为0.000 5×500=0.25，则抽出的100人中月花费金额在[2000,2500)内的人数为0.25×100=25. （2）因为0.000 2×500=0.1，0.000 4×500=0.2，0.000 5×500=0.25,0.1＋0.2＋0.25=0.55>0.5. 设样本数据的中位数是x，则 （x-1500）×0.000 5=0.2， 解的x=1900，所以样本数据的中位数是1900（元）. （3）样本数据的平均数为（750×0.000 2＋1 250×0.000 4＋1 750×0.000 5＋2 250×0.000 5＋2750×0.000 3＋3 250×0.000 1）×500=1900（元）. 例9中得到的平均数和中位数大小相等，平均数和中位数一定相等吗? 一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图1），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边矮长些（如图2），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边矮长些（如图3），那么平均数小于中位数.也就是说，与中位数相比，平均数总在矮长的那一边. 频率分布直方图对样本平均数及中位数的影响 (1)对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图①)那么平均数和中位数应该大体上差不多； (2)如果直方图在右边“拖尾”(如图②)那么平均数大于中位数； (3)如果直方图在左边“拖尾”(如图③)那么平均数小于中位数． 　　　　 【设计意图】加强学生利用频率分布直方图估计总体分布的理解，当样本容量增加，分组越细时，样本频率分布直方图对总体分布的估计精度越高。 四、课堂小结 通过本节课的学习，我们了解了总体分布，学会了用样本的频率分布直方图估计总体分布情况，通过频率分布直方图估计数字特征（众数、中位数、平均数）。1.众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的底边中点的横坐标. 2.中位数:中位数在频率分布直方图左右两边直方图的面积应相等,也就是累积频率为0.5时对应的样本数据,常利用小矩形面积求解. 3．平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 五、跟踪训练 1.某校为了解高一年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的900名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内,现将这100名学生的成绩[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140), [140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图,则下列说法正确的是(　　) A.频率分布直方图中a的值为0.040 B.样本数据低于130分的频率为0.3 C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分 D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数相等 解析 由频率分布直方图得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A错误;样本数据低于130分的频率为1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B错误;[80,120)的频率为(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的频率为0.030×10=0.3,故总体的中位数为x，（x-120）×0.03=0.1，x≈123.3(分)(保留1位小数)故C正确;样本分布在[90,100)的频数一定与样本分布在[100,110)的频数相等,总体分布在[90,100)的频数不一定与总体分布在[100,110)的频数相等,故D错误.故选C. 2. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这种产品质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表). 解 质量指标值的样本平均数为 =80×0.06+90×0.26+100×0.38+ 110×0.22+120×0.08=100. 六、分层次布置作业 课后练习题，课本习题（课本250页练习题1，2） 学科网（北京）股份有限公司 $$