第6章 §6.3 第2课时 统计图表(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦统计图表中的频率分布直方图与折线图，承接数据整理（如频数分布表），通过确定组距组数、列频率分布表、绘制图表等步骤，构建从数据到图表的转化支架，为后续统计分析与推断奠定基础。 以学生成绩、身高、体能测试等真实数据为实例，引导学生用数学眼光观察数据分布规律，通过计算频率、分析图表培养数学思维中的逻辑推理与数据分析能力，用图表语言精准表达数据特征。课中例题与跟踪训练结合提升教学效率，课后课时对点练助力学生巩固应用，强化数据意识与实践能力。

第2课时　统计图表(二) 学习目标　1.会用频率分布直方图展示数据的分布规律.2.会画频率分布直方图和频率分布折线图.3.掌握频率分布直方图的简单应用. 一、画频率分布直方图 1.直方图 频数分布直方图 纵轴表示频数，每一组数对应的小矩形的高度与频数成正比 频率分布直方图 纵轴表示每一组数对应的小矩形的高度与频率成正比，每个小矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有小矩形的面积之和为1 2.绘制频率分布直方图的步骤 例1　某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，数据如下： 135　98　102　110　99　121　110　96 100　103　125　97　117　113　110　92 102　109　104　112　105　124　87　131 97　102　123　104　104　128　109　123 111　103　105　92　114　108　104　102 129　126　97　100　115　111　106　117 104　109　111　89　110　121　80　120 121　104　108　118　129　99　90　99 121　123　107　111　91　100　99　101 116　97　102　108　101　95　107　101 102　108　117　99　118　106　119　97 126　108　123　119　98　121　101　113 102　103　104　108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图. 解　在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5， 则组数为＝11. (1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85) 1 0.01 [85，90) 2 0.02 [90，95) 4 0.04 [95，100) 14 0.14 [100，105) 24 0.24 [105，110) 15 0.15 [110，115) 12 0.12 [115，120) 9 0.09 [120，125) 11 0.11 [125，130) 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 (2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示. 反思感悟　(1)组数的决定方法是：当样本容量是n时，可以参照经验公式将数据分成大约K＝1＋4lg n组. (2)画频率分布直方图小矩形的高的方法是：假设频数为1的小矩形的高为h，则频数为k的小矩形的高为kh. (3)在坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积来表示.其中，小矩形的高＝×频数. 跟踪训练1　为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [145.5，149.5) 1 0.02 [149.5，153.5) 4 0.08 [153.5，157.5) 20 0.40 [157.5，161.5) 15 0.30 [161.5，165.5) 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)画出频率分布直方图. 解　(1)方法一　N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04 ∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50. 方法二　M＝＝50， m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2， N＝1.00，n＝＝0.04. (2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示. 二、频率分布直方图的简单应用 例2　某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中a的值； (2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数. 分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解　(1)依题意得，10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005. (2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10. 反思感悟　解决与频率分布直方图有关问题的关系式 (1)×组距＝频率. (2)＝频率，此关系式的变形为样本容量×频率＝频数. 跟踪训练2　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？ 解　(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为 ＝0.08. 因为第二小组的频率＝ 所以样本容量＝＝150. (2)由频率分布直方图可得样本中高一年级学生的达标率约为×100%＝88%. 三、频率分布折线图 问题　在上面的例1中，顺次连接频率分布直方图中各小矩形上端的中点，你能画出它的图形吗？ 提示　 知识梳理　频率分布折线图 取各相邻小矩形上底边的中点，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图. 例3　某中学从高一年级随机抽取50名学生进行体能测试，其得分(满分100分)如下(单位：分)： 48　64　52　86　71　48　64　41　86　79 71　68　82　84　68　64　62　68　81　57 90　52　74　73　56　78　47　66　55　64 56　88　69　40　73　97　68　56　67　59 70　52　79　44　55　69　62　58　32　58 根据上面的数据，回答下列问题： (1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？ (2)将区间[30，100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图. 解　(1)这次测试成绩的最低分是32分，最高分是97分. (2)根据题意，列出样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [30，40) 1 0.02 [40，50) 6 0.12 [50，60) 12 0.24 [60，70) 14 0.28 [70，80) 9 0.18 [80，90) 6 0.12 [90，100] 2 0.04 合计 50 1.00 频率分布直方图和频率分布折线图如图所示. 反思感悟　频率分布折线图能清楚地反映出数据频率分布的规律. 跟踪训练3　有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10，15)，4；[15，20)，5；[20，25)，10；[25，30)，11；[30，35)，9；[35，40)，8；[40，45]，3. (1)求出样本中各组的频率； (2)画出频率分布直方图及频率分布折线图. 解　(1)由所给的数据，可得下表： 分组 频数 频率 [10，15) 4 0.08 [15，20) 5 0.10 [20，25) 10 0.20 [25，30) 11 0.22 [30，35) 9 0.18 [35，40) 8 0.16 [40，45] 3 0.06 合计 50 1.00 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示. 1.知识清单： (1)频率分布直方图的理解. (2)频率(数)分布直方图的绘制. (3)频率分布折线图的绘制. (4)频率分布直方图的应用. 2.方法归纳：图表识别、数据分析. 3.常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清. 课时对点练 [分值：80分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是(　　) A.14和0.14 B.0.14和14 C.和0.14 D.和 答案　A 2.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量(单位：克)如下： 125　120　122　105　130　114　116　95　120　134 则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为(　　) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 答案　C 解析　在125，120，122，105，130，114，116，95，120，134这10个数中，落在[114.5，124.5)内的有116，120，120，122，共4个， 则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为＝0.4. 3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，由图可知，这一批电子元件中寿命在100~300 h的电子元件的数量与寿命在300~600 h的电子元件的数量的比是(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶6 答案　C 解析　由题意，知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比，即1∶4. 4.为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　) A.64 B.54 C.48 D.27 答案　B 解析　由题意知[4.7，4.8)之间的频率为0.32，[4.6，4.7)之间的频率为1－0.62－0.05－0.11＝0.22，所以a＝(0.22＋0.32)×100＝54. 5.(多选)如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是(　　) A.成绩是75分的人数为20 B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多 C.成绩落在[70，90)内的人数为35 D.成绩落在[70，80)内的人数为20 答案　CD 解析　成绩落在[70，80)内的人数为10××55＝20，不能说成绩是75分的人数为20，所以A错误，D正确； 从频率分布折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在[50，60)内的人数和成绩落在内的人数相等，所以B错误； 成绩落在[70，90)内的人数为×55＝35，所以C正确. 6.(5分)为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2个小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为　　　　.  答案　48 解析　设报考飞行员的总人数为n， 设第一小组的频率为a， 则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1， 解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25. 又第2小组的频数为12，则有0.25＝所以n＝48. 7.(13分)某市2024年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为烟尘、总悬浮颗粒物等)： 61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45. (1)列出频率分布表；(4分) (2)作出频率分布直方图；(4分) (3)根据国家标准，空气污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，为良(特别说明：在80以上时被认为接近轻微污染)；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价. (5分) 解　(1)频率分布表： 分组 频数 频率 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111] 2 合计 30 1 (2)频率分布直方图如图所示. (3)答对下述两条中的一条即可. ①该市4月份中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市4月份空气质量基本良好. ②轻微污染有2天，占当月天数的；空气污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善. 8.(14分)如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内的频数为8. (1)求样本在[15，18)内的频率；(4分) (2)求样本容量；(4分) (3)若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33)内的频数.(6分) 解　由样本频率分布直方图可知组距为3. (1)由样本频率分布直方图得样本在[15，18)内的频率等于×3＝. (2)∵样本在[15，18)内的频数为8， ∴样本容量为＝8×＝50. (3)∵在[12，15)内的小矩形面积为0.06， ∴样本在[12，15)内的频率为0.06， ∴样本在[15，33)内的频数为50×(1－0.06)＝47， 又∵样本在[15，18)内的频数为8， ∴在[18，33)内的频数为47－8＝39. 9.某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则这100个新生婴儿中，体重(单位：kg)在[3.2，4.0)内的人数是(　　) A.30 B.40 C.50 D.55 答案　B 解析　在频率分布直方图中小矩形的面积为频率. 在[3.2，3.6)内的频率为0.625×0.4＝0.25，频数为0.25×100＝25， 在[3.6，4.0)内的频率为0.375×0.4＝0.15，频数为0.15×100＝15. 则这100个新生婴儿中，体重在[3.2，4.0)内的有25＋15＝40(人). 10.(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是(　　) A.m＝0.031 B.n＝800 C.100分以下的人数为60 D.成绩在区间[120，140)内的人数占大半 答案　AC 解析　分析可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A说法正确； 因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，故B说法错误； 因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C说法正确； 成绩在区间[120，140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47<0.5，人数占小半，故D说法错误. 11.(多选)供电部门对某社区1 000位居民12月份用电情况进行统计后，按用电量分为[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是(　　) A.12月份用电量人数最多的一组有400人 B.12月份用电量在[20，30)内的有300人 C.12月份用电量不低于20度的有500人 D.用同比例分层抽样的方法从用电量为[10，20)，[20，30)的居民中抽取14人，则用电量为[20，30)的居民应抽取8人 答案　ABC 解析　根据频率分布直方图知，12月份用电量人数最多的一组是[10，20)，有1 000×0.04×10＝400(人)，A正确；12月份用电量在[20，30)内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有1 000×0.5＝500(人)，C正确；由题意得，用电量为[10，20)，[20，30)的居民共有(0.04＋0.03)×10×1 000＝700(人)，其中用电量为[20，30)的居民有0.03×10×1 000＝300(人)，所以在抽取的14人中，用电量为[20，30)的居民应抽取×14＝6(人)，D错误. 12.(5分)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a＝　　　　.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用同比例分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　　　　.  答案　0.030　3 解析　因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由频率分布直方图可知三组内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内抽取的学生人数为×18＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $