第6章 6．4　用样本估计总体-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

6．4　用样本估计总体 6．4．1　用样本估计总体的集中趋势 6．4．2　用样本估计总体的离散程度 [课标解读]　1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．2．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． 知识点　有关概念 1．参数是用来描述总体特征的指标． 统计量是用来描述样本特征的指标． 2．平均数 (1)平均数＝． (2)在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近．于是，称为μ的估计． (3)一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn． (4)在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL． 我们称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权． 对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的均值，我们称＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计． 3．众数和中位数 众数：观测数据中出现次数最多的数，用M0表示． 将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于中间位置的数是中位数，用Me表示． 具体而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数． 由中位数的定义可知，所研究的数据中有一半小于或等于中位数，一半大于或等于中位数． 中位数的作用与算术平均数有些相近，可以用来表示总体的“中等”水平，因此中位数作为一组数据的代表，也能反映一组数据的集中趋势． 4．极差 在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． 5．方差 (1)总体方差 若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差． (2)样本方差 若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差． 6．标准差 标准差是方差的算术平方根． 如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． [点拨]　(1)平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大，会去掉最低分与最高分后再计算平均数．但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别． (2)如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数． (3)①标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． ②标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． ③标准差的大小不会超过极差． 1．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)中位数是一组数据中间的数．(　　) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数．(　　) (3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)√ 2．下面的表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x，y的值分别为(　　) 甲组 9 12 x 24 27 乙组 9 15 y 18 24 A．12，15 B．15，15 C．15，18 D．18，18 C　[乙组数据的平均数：(9＋15＋18＋24＋y)÷5＝16．8，解得y＝18．因为甲组数据共有5个，且中位数为15，所以x＝15，故选C．] 3．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95．则这一组数据的众数和中位数分别为(　　) A．84，68 B．84，78 C．84，81 D．78，81 C　[将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81．] 4．某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均值为 ，方差为 ，标准差为 ． 解析：　依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为＝11． 由方差公