第4章 4.3.3 第2课时 对数函数的图象与性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦对数函数性质的深化应用，系统梳理利用单调性比较对数值大小、解对数不等式及解决值域奇偶性等综合性问题的方法，在已学基本图象和性质基础上，通过例题与跟踪训练搭建从基础到综合的学习支架。 资料以分类讨论（如含参数a的大小比较）、数形结合（如借助图象比较同真数对数值）为特色，培养学生逻辑推理（数学思维）与几何直观（数学眼光），例题训练对应且课时对点练分层，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　对数函数的图象与性质(二) 学习目标　1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数解决问题. 一、利用单调性比较对数值的大小 例1　(课本例11)比较下列各组中两个数的大小： (1)log27.6和log28.7； (2)lo7.6和lo8.7； (3)loga7.6和loga8.7(a>0且a≠1)； (4)log0.82和20.8. 解　(1)因为函数y＝log2x在(0,＋∞)上是增函数,且7.6<8.7,所以log27.6<log28.7. (2)因为函数y＝lox在(0,＋∞)上是减函数,且7.6<8.7,所以lo7.6>lo8.7. (3)当a>1时,因为函数y＝logax在(0,＋∞)上是增函数,且7.6<8.7,所以loga7.6<loga8.7；当0<a<1时,因为函数y＝logax在(0,＋∞)上是减函数,所以loga7.6>loga8.7. (4)因为函数y＝log0.8x在(0,＋∞)上是减函数,所以log0.82<log0.81＝0. 又因为20.8>0,所以log0.82<20.8. 例1　比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9,log32； (2)log23,log0.32； (3)logaπ,loga3.14(a>0且a≠1)； (4)log50.4,log60.4. 解　(1)因为y＝log3x在(0,＋∞)上为增函数,1.9<2,所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21＝0,log0.32<log0.31＝0, 所以log23>log0.32. (3)当a>1时,函数y＝logax在(0,＋∞)上为增函数,π>3.14, 则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时,函数y＝logax在(0,＋∞)上为减函数,π>3.14,则有logaπ<loga3.14. 综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.14； 当0<a<1时,logaπ<loga3.14. (4)在同一直角坐标系中,作出y＝log5x,y＝log6x的图象,再作出直线x＝0.4(图略),观察图象可得log50.4<log60.4. 反思感悟　比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 跟踪训练1　比较大小： (1)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1)； (2)log3π,log2log3. 解　(1)当a>1时,y＝logax在(0,＋∞)上是增函数, 又5.1<5.9,所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时,y＝logax在(0,＋∞)上是减函数, 又5.1<5.9, 所以loga5.1>loga5.9. 综上,当a>1时,loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时,loga5.1>loga5.9. (2)∵log2log23, 又1<log23<2,∴<log2<1. 又log3log32<log3π>1, ∴log3π>log2>log3. 二、利用单调性解对数不等式 例2　解下列关于x的不等式： (1)lox>lo(4－x)； (2)loga(2x－5)>loga(x－1)(a>0且a≠1)； (3)logx>1(x>0且x≠1). 解　(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时,原不等式等价于 解得<x<4. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4}； 当0<a<1时,原不等式的解集为. (3)当x>1时,logx>logxx, 所以x<无解； 当0<x<1时,logx>logxx, 所以<x<1. 综上,原不等式的解集为. 反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y＝logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab),再借助y＝logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解. 跟踪训练2　(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合. 解　∵log3x<1＝log33, 又函数y＝log3x在(0,＋∞)上为增函数, ∴x满足的条件为即0<x<3. ∴x的取值集合为{x|0<x<3}. (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1),求x的取值范围. 解　∵函数y＝log0.7x在(0,＋∞)上为减函数, ∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1),得 解得x>1. ∴x的取值范围是(1,＋∞). 三、与对数函数有关的综合性问题 例3　已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2. (1)若f(x)>0,求x的取值范围； (2)若x∈(－1,3],求f(x)的值域. 解　(1)函数f(x)＝log2(x＋1)－2, ∵f(x)>0,即log2(x＋1)－2>0, ∴log2(x＋1)>2,∴x＋1>4, ∴x>3. ∴x的取值范围是(3,＋∞). (2)∵x∈(－1,3],∴x＋1∈(0,4], ∴log2(x＋1)∈(－∞,2], ∴log2(x＋1)－2∈(－∞,0]. ∴f(x)的值域为(－∞,0]. 反思感悟　(1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解. (2)判断函数的奇偶性,一定要先求函数的定义域,再研究f(x)与f(－x)的关系. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求不等式f(x)>1的解集. 解　(1)要使函数f(x)有意义, 则解得－2<x<2.故所求函数f(x)的定义域为(－2,2). (2)f(x)为奇函数,证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(－2,2), 关于原点对称, 设任意的x∈(－2,2),则－x∈(－2,2), 且f(－x)＝lg(－x＋2)－lg(2＋x)＝－f(x), 故f(x)为奇函数. (3)f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x)＝lg易知f(x)在定义域(－2,2)上是增函数, 所以f(x)>1等价于>10,解得x>. 所以不等式f(x)>1的解集是. 1.知识清单： (1)利用对数函数的图象及性质比较大小. (2)利用单调性解对数不等式. (3)求简单对数函数的值域、最值、奇偶性问题. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共6分 1.若lg(2x－4)≤1,则x的取值范围是(　　) A.(－∞,7] B.(2,7] C.[7,＋∞) D.(2,＋∞) 答案　B 解析　由lg(2x－4)≤1,得0<2x－4≤10, 即2<x≤7. 2.函数f(x)＝logax(0<a<1)在[a2,a]上的最大值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.a 答案　C 解析　∵0<a<1, ∴f(x)＝logax在[a2,a]上递减, ∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. 3.设a＝log37,b＝21.1,c＝0.83.1,则(　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 答案　B 解析　∵a＝log37,∴1<a<2. ∵b＝21.1,∴b>2. ∵c＝0.83.1,∴0<c<1.即c<a<b. 4.函数 f(x)＝log2x－2在[8]上的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为y＝log2x在[8]上是增函数, 所以log2≤log2x≤log28, 即log2x∈. 故log2x－2∈ 即函数f(x)的值域为. 5.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　) 答案　B 解析　由f(x)的定义域为(－∞,－1)∪(1,＋∞),且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x),得f(x)是偶函数,由此知C,D错误； 又当x>1时,f(x)＝lg(x－1)在(1,＋∞)上单调递增,所以B正确. 6.(多选)已知函数f(x)＝logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,2),则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)是增函数 B.函数f(x)是偶函数 C.若x>1,则f(x)>0 D.若f(x)<1,则x∈(2,＋∞) 答案　AC 解析　由题意,得f(4)＝2,即loga4＝2,∴a2＝4, ∵a>0且a≠1,∴a＝2,∴f(x)＝log2x, ∴f(x)在(0,＋∞)上是增函数,但不是偶函数,故A正确,B错误； 当x>1时,f(x)>0,故C正确； 由log2x<1,得x<2, 又∵x>0,∴x∈(0,2),故D错误. 7.(5分)已知f(x)＝|log3x|,若f(a)>f(3),则a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　∪(3,＋∞) 解析　作出函数f(x)的图象,如图所示, 由于f(3)＝f  若f(a)>f(3),则结合图象可知0<a<或a>3. 故a的取值范围为∪(3,＋∞). 8.(5分)已知f(x)＝的值域为R,那么实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　要使函数f(x)的值域为R, 则必须满足 即所以－≤a<. 9.(10分)比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3,ln 2；(2分) (2)loga3.1,loga5.2(a>0且a≠1)；(3分) (3)log30.2,log40.2；(2分) (4)log3π,logπ3.(3分) 解　(1)因为函数y＝ln x在(0,＋∞)上是增函数, 且0.3<2,所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时,函数y＝logax在(0,＋∞)上是增函数, 因为3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时,函数y＝logax在(0,＋∞)上是减函数, 因为3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 综上所述,当a>1时,loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时,loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24, 所以< 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x在(0,＋∞)上是增函数,且π>3,所以log3π>log33＝1. 同理,1＝logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. 10.(12分)已知函数f(x)＝log2(1＋x2).求证： (1)函数f(x)是偶函数；(5分) (2)函数f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增.(7分) 证明　(1)函数f(x)的定义域是R, f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x), 所以函数f(x)是偶函数. (2)设x1,x2为区间(0,＋∞)内的任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋)－log2(1＋)＝log2. 由于0<x1<x2,则0<<0<1＋<1＋ 所以0<<1,所以log2<0, 所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增. 11.已知函数f(x)＝ln(－x)＋2,则f(lg 5)＋f 等于(　　) A.4 B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　∵f(x)＝ln(－x)＋2, ∴f(x)＋f(－x) ＝ln(－x)＋2＋ln(＋x)＋2 ＝ln 1＋4＝4, 则f(lg 5)＋f ＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4. 12.已知a＝3log83,b＝log34,c＝则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 答案　C 解析　a＝3log83＝log23>log2＝log2； b＝log34<log3＝log3； c＝故a>c>b. 13.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,＋∞)上单调递增,f ＝0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　　　　　　　　　.  答案　∪(2,＋∞) 解析　∵f(x)是R上的偶函数, ∴它的图象关于y轴对称. ∵f(x)在[0,＋∞)上单调递增, ∴f(x)在(－∞,0]上单调递减, 由f ＝0,得f＝0,则函数的大致图象如图所示. 由f(lox)>0得, lox<－或lox> 解得x>2或0<x< ∴原不等式的解集为∪(2,＋∞). 14.(5分)若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞,1]上单调递减,则a的取值范围是　　　　.  答案　[2,3) 解析　令g(x)＝x2－ax＋2(a>0且a≠1), (1)当a>1时,g(x)在(－∞,1]上单调递减, 则解得2≤a<3； (2)当0<a<1时,不成立. 综上,2≤a<3,即a的取值范围是[2,3). 15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(loa)≤2f(1),则a的最小值是(　　) A. B.1 C. D.2 答案　C 解析　由题设,f(x)在(－∞,0)上单调递减, 由偶函数知f(loa)＝f(－log2a)＝f(log2a), ∴f(log2a)＋f(loa)＝2f(log2a)≤2f(1), 即f(log2a)≤f(1), ∴|log2a|≤1,则－1≤log2a≤1,得≤a≤2. 故a的最小值是. 16.(12分)已知函数f(x)＝lo的图象关于原点对称,其中a为常数. (1)求a的值；(6分) (2)若当x∈(1,＋∞)时,f(x)＋lo(x－1)<m恒成立,求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称, ∵>0, ∴(x－1)(1－ax)>0,令(x－1)(1－ax)＝0, 得x1＝1,x2＝ ∴＝－1,a＝－1,经验证,a＝－1满足题意. (2)∵f(x)＋lo(x－1)＝lo＋lo(x－1) ＝lo(1＋x), ∴当x>1时,lo(1＋x)<－1, 又当x∈(1,＋∞)时,f(x)＋lo(x－1)<m恒成立, ∴m≥－1. 即实数m的取值范围是[－1,＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $