第5章 周末练14 章末检测试卷(五) 三角函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 以三角函数为核心，通过章末检测系统整合概念应用、性质分析与实际建模，突出解题方法的阶梯式提炼与知识逻辑的连贯性，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|扇形公式互化、三角函数定义判断象限|从弧度制到三角函数定义，构建概念应用链条| |函数性质|4题|奇偶性判定、单调性分析、周期计算|性质推导（定义→图象→应用），形成逻辑闭环| |图象变换|2题|平移伸缩逆向变换、零点问题数形结合|变换规则与图象特征双向关联，强化直观想象| |实际建模|2题|物理运动（过山车）、人文数据（游客人数）模型构建|从实际问题抽象三角函数模型，体现数学语言表达现实世界|

周末练14　章末检测试卷(五) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为(　　) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm 答案　B 解析　∵S＝αr2＝r2＝16 cm2， ∴r＝4(cm)，l＝αr＝2×4＝8(cm). 2.若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　由题意，根据三角函数的定义 sin θ＝<0，cos θ＝>0， ∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限. 3.已知角θ终边经过点(3，－4)，则等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　C 解析　由三角函数的定义可得tan θ＝－ 因此 ＝＝－. 4.已知函数f(x)＝(2x＋a·2－x)cos x为R上的奇函数，则实数a等于(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　A 解析　因为函数f(x)＝(2x＋a·2－x)cos x为R上的奇函数， 则f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1， 若a＝－1，则f(x)＝(2x－2－x)cos x，且定义域为R， 则f(－x)＝(2－x－2x)cos (－x)＝－(2x－2－x)cos x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝(2x＋a·2－x)cos x为R上的奇函数， 综上，a＝－1. 5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 答案　A 解析　易得周期T满足T＝＝π， 故T＝. 且图中最高点的横坐标 x＝T＝×. 故一个单调递减区间为. 又函数周期为T＝. 故f(x)的单调递减区间为k∈Z. 6.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，数百年来画中女子神秘的微笑让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　依题意知AB＝BC＝6，设∠ABC＝2θ. 则sin θ＝＝0.866≈. ∴θ＝2θ＝. 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α， 则α＋2θ＝π，∴α＝. 7.若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，沿y轴向下平移1个单位长度，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　) A.y＝sin＋1 B.y＝sin＋1 C.y＝sin－1 D.y＝sin－1 答案　B 解析　把函数y＝sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 2x的图象，沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝sin 2x＋1的图象，图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1的图象. 8.方程lg|x|＝sin的实数根的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　由≤1得－1≤lg|x|≤1， 即≤|x|≤10， 方程lg|x|＝sin实根的个数就是函数y＝lg|x|与y＝sin图象公共点的个数， 当x>0时，两函数图象如图所示， 两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点，故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法错误的是(　　) A.240°化成弧度数是 B.若角α终边上一点的坐标为(3k，4k)(k≠0)，则cos α＝ C.若角α为锐角，则2α为钝角 D.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 答案　BC 解析　对于A，240°化成弧度是240×故A正确； 对于B，点(3k，4k)(k≠0)到原点的距离为5|k|， 若k>0，则cos α＝若k<0，则cos α＝＝－故B错误； 对于C，若α＝则2α＝故C错误； 对于D，设扇形的半径为r，则r＝π，解得r＝3， 所以扇形的面积S＝×r2＝故D正确. 10.已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点对称 B.函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－ C.若x∈则函数f(x)的最小值为＋1 D.若0<x1<x2<π，则f(x1)<f(x2) 答案　BC 解析　A项，令2x－＝kπ(k∈Z)，知函数f(x)关于点(k∈Z)对称，所以A不正确； B项，令2x－＋kπ(k∈Z)，知函数f(x)关于x＝(k∈Z)对称，所以B正确； C项，若x∈2x－∈ 则函数f(x)的最小值为＋1，所以C正确； D项，由于当0<x1<x2<π，f(x)不具有单调性，所以D不正确. 11.如图(1)是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图(2)，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时过山车(看作质点)离地平面的高度.已知轨道最高点P距离地平面50 m，最低点Q距离地平面10 m，入口处M距离地平面20 m.当t＝4 s时，过山车到达最高点P，当t＝10 s时，过山车到达最低点Q.设h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B下列结论正确的是(　　) A.函数h(t)的最小正周期为12 B.φ＝ C.当t＝14 s时，过山车距离地平面40 m D.一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s 答案　ACD 解析　由题意可知，最小正周期T满足＝10－4＝6，得T＝12，又ω>0， 所以＝12，得ω＝又解得A＝20，B＝30. 所以h(t)＝20sin＋30，又h(0)＝20，即20sin φ＋30＝20，得sin φ＝－因为|φ|<所以φ＝－所以h(t)＝20sin＋30. 对于A，T＝12，A正确；对于B，φ＝－B错误； 对于C，h(14)＝20sin＋30＝20sin＋30＝40，C正确； 对于D，由h(t)<20，得20sin＋30<20，即sin<－＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z，解得8＋12k<t<12＋12k，k∈Z， 所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－(8＋12k)＝4(s)，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知cos(45°＋α)＝则cos(135°－α)＝　　　.  答案　－ 解析　cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)] ＝－cos(45°＋α)＝－. 13.已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为则ω＝　　　　，f ＝　　　　.  答案　4　0 解析　∵f(x)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段的长度即为f(x)＝tan ωx的一个周期， ∴ω＝4，∴f(x)＝tan 4x， ∴f ＝tan＝tan π＝0. 14.函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值为　　　　.  答案　 解析　∵函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π， ∴ω＝＝2，即f(x)＝cos(x∈R)， 将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度， 所得函数为g(x)＝cos ＝cos的图象， 又所得图象关于原点对称， ∴2φ＋＝kπ＋k∈Z， 即φ＝k∈Z，又0<φ<∴φ＝. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知f(α)＝. (1)化简f(α)；(5分) (2)若f(α)＝且<α<求cos α－sin α的值.(8分) 解　(1)f(α)＝＝sin αcos α. (2)由f(α)＝sin αcos α＝可知， (cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×. 又∵<α< ∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－. 16.(15分)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(7分) (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.(8分) 解　(1)f(x)的最小正周期为π，y0＝3. 由2x0＋得x0＝. (2)因为x∈ 所以2x＋∈. 于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0； 当2x＋＝－即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 17.(15分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：f(x)的图象关于点对称； 条件②：f(x)的图象关于直线x＝对称. (1)请写出你选择的条件，并求f(x)的解析式；(7分) (2)在(1)的条件下，当x∈时，求f(x)的最大值和最小值，并指出相应的x取值.(8分) 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 解　(1)由题意＝π⇒ω＝2， 若选①，因为函数的图象关于点对称， 所以2×＋φ＝kπ(k∈Z) 解得φ＝－＋kπ(k∈Z)， 又－<φ<所以φ＝ 所以f(x)＝2sin. 若选②，因为函数的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z) 解得φ＝＋kπ(k∈Z)， 又－<φ<所以φ＝ 所以f(x)＝2sin. (2)结合(1)，因为x∈ 所以2x＋∈ 则当2x＋＝－即x＝－时，f(x)的最小值为f ＝2sin＝－ 当2x＋即x＝时，f(x)的最大值为f＝2sin＝2. 18.(17分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P且图象上与点P最近的一个最低点是Q. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)若f 且α为第三象限角，求cos 2α的值.(10分) 解　(1)根据题意可知，A＝2， ∴T＝＝π，解得ω＝2. 又f＝0，∴sin＝0，而|φ|< ∴φ＝－. ∴f(x)＝2sin. (2)由f 可得2sin 2α＝ 即sin 2α＝. ∵α为第三象限角， ∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z， ∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ，k∈Z， 又sin 2α＝≠1， ∴易知2α为第一或第二象限角， ∴当π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z时， 2α为第一象限角， cos 2α＝. 当＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z时， 2α为第二象限角， cos 2α＝－＝－. 综上，cos 2α的值±. 19.(17分)某同学在做研究性学习时发现，在邢台大峡谷景区，每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位：万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)＝10来刻画.其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n＝2时表示二月份；A和k是正整数；ω>0.统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律： ①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同； ②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400 000人； ③二月份该风景区游客大约为100 000人，随后逐渐增加，八月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的φ(n)的表达式；(7分) (2)一般地，当该地区游客超过400 000人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由.(10分) 解　(1)根据三条规律，可知该函数为周期函数且周期为12，可得T＝＝12，即ω＝ 由规律②③可知 解得A＝2，k＝3， 综上可得，φ(n)＝10n∈[1，12]，n∈N＋. (2)由条件φ(n)＝10>40， 可得cos> ∴2kπ－<n＋2<2kπ＋k∈Z， 即12k－2－<n<12k＋2－k∈Z， 又n∈[1，12]，n∈N＋， ∴k＝1，6.18<n<10.18， 故n＝7，8，9，10， 即一年中的7，8，9，10四个月是该风景区的旅游“旺季”. 学科网（北京）股份有限公司 $