专题01 任意角的三角函数7种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题01任意角的三角函数 目录 类型一、由定义或者终边求某角三角函数 类型二、三角函数值符号的判断 类型三、同角三角函数的基本关系知一求二 类型四、正余弦的齐次式问题 类型五、与的相互转化问题 类型六、三角函数式的化简、求值与证明 类型七、诱导公式的综合应用 压轴专练 类型一、由定义或者终边求某角三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，. 例1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果. 【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：. 故选：B. 变式1-1．已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 变式1-2．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形函数的定义可求出结果. 【详解】由，解得，所以点， 所以. 故选：D 变式1-3．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可. 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故选：B. 变式1-4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 类型二、三角函数值符号的判断 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”或者“全是天才” 例2.已知角满足，且，则（ ） A．可能在第一象限 B．可能在第二象限 C．可能在第三象限 D．可能在第四象限 【答案】B 【详解】由知：可能在第二或第四象限； 当在第二象限时，，，满足； 当在第四象限时，，，则，不合题意； 综上所述：可能在第二象限.故选：B. 变式2-1．已知，则函数的值可能是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】若为第一象限角，则， 故， 若为第二象限角，则， 故， 若为第三象限角，则， 故，B正确； 若为第四象限角，则， 故. 故选：B 变式2-2．角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意； 对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意； 对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意； 对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意. 故选：B. 变式2-3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到的终边在第一象限或第三象限讨论求解. 【详解】解：由知的终边在第一象限或第三象限， 当的终边在第一象限时，，，， ，符号不确定； 当的终边在第三象限时，，，， ，符号不确定； 故选：C 变式2-4.已知点在第二象限，则角的一个可能的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求出角的所在象限和正余弦的大小关系，即可得出结论. 【详解】由题意， 点在第二象限， ∴，故， 取，则，取，则， 取，则，故选：C 类型三、同角三角函数的基本关系知一求二 求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 隐藏的平方关系： 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 例3．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】由得：， ， 解得：或， 又，，即，， . 故选：C. 变式3-1．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数平方关系，将已知条件化为求，结合及平方关系求即可. 【详解】由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 变式3-2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角关系，结合角的范围即可求解. 【详解】因为，所以，又，所以，从而因此， 故选:B 变式3-3．已知，，且，下面选项正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角的基本关系和可求出的值，进而求出的值，然后就可以验证C，D选项. 【详解】由，，可得， ， ， 解得或. ，，经检验，当时，，不合题意， ， 此时，，. 故A项正确，B项错误，CD项正确. 故选：ACD. 变式3-4．（1）已知，且为第四象限角，求和的值； （2）已知，求的值； （3）已知，若是第二象限角，求的值． 【答案】（1），；（2），；（3）. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）由同角三角函数的基本关系求解； （3）由得的值，再由求解. 【详解】（1）因为为第四象限角，则， ， . （2）因为，所以，则. 又，故，则. 因为，所以，故， 所以. （3）， 所以， 所以， 所以,又因为是第二象限角，所以，， 所以. 类型四、正余弦的齐次式问题 1.给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切 2.二次型求正切，充分运用“1”的代换： （1） （2） 3.关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． 4.若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例4．已知（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解. 【详解】因为，由题意可知:, 将分式的分子和分母分别除以，可得:, 解得:.故选：. 变式4-1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得，将切化弦，再利用齐次式法计算即可. 【详解】因为， 则，所以， 则， 所以． 故选：D. 变式4-2．已知，则 ． 【答案】 【分析】先进行弦化切，然后把代入求值. 【详解】 ∵，∴原式故答案为： 变式4-3．已知，则＝ . 【答案】 【分析】，再利用可得答案. 【详解】因， 则，又， 则. 故答案为： 变式4-4．已知是关于的方程的两个实根，且，则 . 【答案】 【分析】由条件结合二次方程根与系数关系可得，，结合的范围可得所以，再由同角关系结合齐次化的方法求结果. 【详解】因为是关于的方程的两个实根， 所以，， 又，所以，故， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以. 故答案为：. 类型五、与的相互转化问题 已知中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据的范围得到这三个值的符号，其具体的解法为： (1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解一元二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他． (2)利用sinα±cosα的值及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后结合sinα±cosα的值求出sinα，cosα的值，再求其他 例5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求出的值，即可得出结论. 【详解】由题意， ， ∴， ， 解得：， ∴， ∴解得：， ∴， 故选：A. 变式5-1已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①，两边平方得， 故， 所以与异号，又，所以，， 所以②， 由①②解得 ， 所以． 故选：C 变式5-2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，，， 两边平方得， ，所以，A选项错误，B选项正确. 则，所以 ，所以D选项正确. 由，两式相减并化简得，所以C选项错误. 故选：BD 变式5-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由求出，再由，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即， 所以， 因此.故选:B 类型六、三角函数式的化简、求值与证明 ①直接法：直接带入求解 ②借助周期求分段函数的值 例6．若，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解. 【详解】 ， 由于，所以，故， 故选：D. 变式6-1已知，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对代数式变形左侧，化简即可求得，对所求代数式变形，即可得解. 【详解】∵， ∴， ∴，把代入，得原式. 故选：B 变式6-2．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式 ． （2）因为，所以． 原式 变式6-3．求证： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. ． 变式6-4.（1）若，化简：； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知，结合平方关系式及角的范围化简计算即可； （2）利用切化弦公式化简等式的左边得到右边. 【详解】（1）原式 ， 因为，所以，原式. （2）证明：. 类型七、诱导公式的综合应用 利用诱导公式解决给角求值问题的方法与技巧： （1） 公式记忆 （2）利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为到间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 例7．，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 【答案】B 【分析】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得. 【详解】因，则当k是奇数时，， 当k是偶数时，， 所以 故选：B 变式7-1.（1）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q“广义互余”已知，下列角β中：①；②；③；④.可能与角a“广义互余”的有（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据题目定义以及诱导公式，平方关系即可判断． 【详解】 由，得，所以，故. 由题意，a+β= 90° ，所以sinβ，，.故①③满足；对于②，由，得cos β= ，不满足；对于④，由，可得.则，不满足.故可能与角a“广义互余”的有①③. 故选：A. （2）对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______. 【答案】 【分析】 由为函数关于的一个“生长点”，得到 由诱导公式可得答案. 【详解】 解：为函数关于的一个“生长点”， ， 故答案为：. 变式7-2．证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【详解】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 变式7-3．求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 变式7-4.化简： （1）； （2）. 【答案】（1）1；（2）． 【分析】 （1）由正弦、余弦的诱导公式化简，然后由平方关系变形可得． （2）由正弦、余弦、正切的诱导公式化简后，由商数关系变形． 【详解】 （1）； （2）． 压轴专练 一、单选题 1．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数关系得，进而利用求解即可. 【详解】解：由，知， 由题意，即， 由，得， 所以. 故选：A. 3．已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式、倍角公式，得到，再结合条件，由“齐次式”，即可求解. 【详解】因为， 又，所以， 故选：B. 5．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的商数关系与诱导公式计算化简即可. 【详解】 . 故选：A. 6．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以此时集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 7．已知函数，值域为，则下列选项错误的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为1 D． 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数关系和换元法得到，，A选项，当时，，由函数单调性求出最值，得到值域；B选项，计算出，B正确；C选项，，故；D选项，化简得到，由单调性求出最值，得到值域. 【详解】因为，所以， 令，则，. A选项，当时，， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， ，故正确； B选项，因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确 C选项，因为，所以，所以， ，故，当且仅当或时，等号成立， 所以的最大值为1，故C正确. D选项，当时，， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 故，故D错 故选：D 8．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用题目中角度之间的关系将方程变形，再利用消元法用来表示和的值，化简可求得的值. 【详解】，， ， 设，则， 原方程组可表示为，即， 由①得，由②得， 两式联立得，， 将的值代入中得，， 则. 故选：D. 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解判断各选项即可. 【详解】由，，得，， 又，， 解得，，故A正确，B错误， 则，，故C正确，D错误. 故选：AC. 10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 11．在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知，则 . 【答案】 【分析】先通过已知条件求出的值，再利用立方和公式，结合进行计算. 【详解】由两边平方，得， 而， . 故答案为：. 13．已知，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】观察到，再由诱导公式化简后求出最后结果即可. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 14．设集合有 个真子集． 【答案】/ 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 四、解答题 15．计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 16．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值即可求解； （2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解. 【详解】（1）∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. （2） . 17．角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点， (1)若，求，的值； (2)若 ①求中的值； ②求的值. 【答案】(1)，； (2)①；②. 【分析】（1）利用角与终边上点的坐标的关系即可求解； （2）利用齐次式，将弦化切即可求解. 【详解】（1）因为，，则点在第一象限，角为第一象限角，且， 由且，解得，. （2）①因为，且由题可知， 所以左右两边同时除以，得到， 因为，所以，即. ② . 18．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， (1)求tanα； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. （3）由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 由（2）知，. 所以. 所以的值为. 19．定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”． (1)判断下列函数是否为“代阶函数”？并说明理由． ①，②. (2)设函数为“代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值． 【答案】(1)①是代阶函数，②不是代阶函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用“代阶函数”的定义判断即可； （2）根据“代阶函数”的定义，结合函数的奇偶性变形，得到，求解即可. 【详解】（1）①是代阶函数， 因为，此时，， 所以为代阶函数； ②不是代阶函数， 因为，所以不是代阶函数； （2）由已知存在常数满足， 即， 令，则①， 令，则②， 因为是奇函数，是偶函数， 所以，，，， ①②，整理得， 令，则，又因为， 且，可得，所以， 所以 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01任意角的三角函数 目录 类型一、由定义或者终边求某角三角函数 类型二、三角函数值符号的判断 类型三、同角三角函数的基本关系知一求二 类型四、正余弦的齐次式问题 类型五、与的相互转化问题 类型六、三角函数式的化简、求值与证明 类型七、诱导公式的综合应用 压轴专练 类型一、由定义或者终边求某角三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，. 例1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 变式1-4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 类型二、三角函数值符号的判断 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”或者“全是天才” 例2.已知角满足，且，则（ ） A．可能在第一象限 B．可能在第二象限 C．可能在第三象限 D．可能在第四象限 变式2-1．已知，则函数的值可能是（    ） A．1 B． C．4 D． 变式2-2．角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．若，则（   ） A． B． C． D． 变式2-4.已知点在第二象限，则角的一个可能的区间是（    ） A． B． C． D． 类型三、同角三角函数的基本关系知一求二 求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 隐藏的平方关系： 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 例3．若，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，，且，下面选项正确的是（    ） A． B．或 C． D． 变式3-4．（1）已知，且为第四象限角，求和的值； （2）已知，求的值； （3）已知，若是第二象限角，求的值． 类型四、正余弦的齐次式问题 1.给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切 2.二次型求正切，充分运用“1”的代换： （1） （2） 3.关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． 4.若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例4．已知（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 变式4-1．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，则 ． 变式4-3．已知，则＝ . 变式4-4．已知是关于的方程的两个实根，且，则 . 类型五、与的相互转化问题 已知中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据的范围得到这三个值的符号，其具体的解法为： (1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解一元二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他． (2)利用sinα±cosα的值及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后结合sinα±cosα的值求出sinα，cosα的值，再求其他 例5．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 类型六、三角函数式的化简、求值与证明 ①直接法：直接带入求解 ②借助周期求分段函数的值 例6．若，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 变式6-1已知，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 变式6-2．化简： （1）； （2）． 变式6-3．求证： (1)； (2)； (3)． ． 变式6-4.（1）若，化简：； （2）求证：. 类型七、诱导公式的综合应用 利用诱导公式解决给角求值问题的方法与技巧： （1） 公式记忆 （2）利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为到间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 例7．，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 变式7-1.（1）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q“广义互余”已知，下列角β中：①；②；③；④.可能与角a“广义互余”的有（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ （2）对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______. 变式7-2．证明：，． 变式7-3．求证：当或3时，. 变式7-4.化简： （1）； （2）. 压轴专练 一、单选题 1．若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．（　　） A． B． C． D． 6．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 7．已知函数，值域为，则下列选项错误的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为1 D． 8．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则 . 13．已知，则的值是 ． 14．设集合有 个真子集． 四、解答题 15．计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 16．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 17．角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点， (1)若，求，的值； (2)若 ①求中的值； ②求的值. 18．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， (1)求tanα； (2)求的值； (3)求的值. 19．定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”． (1)判断下列函数是否为“代阶函数”？并说明理由． ①，②. (2)设函数为“代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $