第5章 章末复习课 三角函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习讲义以知识网络框架图系统构建三角函数知识体系，涵盖同角三角函数基本关系、诱导公式、图象与性质、图象变换及模型应用，按逻辑递进呈现知识脉络，突出公式正逆用、整体代换等重难点及内在联系。 讲义亮点在于例题与跟踪训练的分层设计，如给值求角问题结合方程求解培养数学运算素养，潮汐模型应用通过建立三角函数关系发展数学建模能力。方法指导强调公式变形、整体代换等技巧，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；(2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限. 2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号. 3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角. 4.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　(1)已知tan α＝α∈则sin α－cos α＝　　　　　　.  答案　－ 解析　因为tan α＝ 由 解得或 又α∈所以sin α＝cos α＝ 所以sin α－cos α＝＝－. (2)已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝　　　　.  答案　－ 解析　∵方程2x2－x－1＝0的根为－或1， 又α是第三象限角，∴sin α＝－ ∴cos α＝－＝－ ∴tan α＝ ∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. 反思感悟　任意角的三角函数的定义及诱导公式是高考考点，应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上的点的位置无关，应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号.主要考查角度：(1)角的概念及其表示；(2)三角函数的定义及其应用；(3)扇形的弧长及面积公式；(4)三角函数的诱导公式. 跟踪训练1　已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点P(x，y). (1)若x＝求tan α及的值； (2)若sin4α＋cos4α＝求sin α－cos α的值. 解　(1)由已知角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x2＋y2＝1，x>0，y<0，由x＝ 得y＝－＝－ 则tan α＝＝－ 再由诱导公式可得. (2)因为sin4α＋cos4α＝－2sin2αcos2α＝1－2sin2αcos2α＝ 所以sin2αcos2α＝又α是第四象限角， 所以sin α<0，cos α>0，即sin αcos α＝－ 所以sin α－cos α＝－ ＝－ ＝－＝－. 二、三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换. 3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 例2　(1)(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 C.函数f(x)在上单调递减 D.函数f(x)的图象关于点对称 答案　BD 解析　对于A，由图象可知A＝2，且T＝因此最小正周期T＝π，所以ω＝2，故A错误； 对于B，又函数图象过点则f ＝2sin＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<所以φ＝ 所以f(x)＝2sin 当x＝－时，f ＝2sin＝2sin＝－2，f(x)取得最小值，即函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确； 对于C，当x∈时，2x＋∈由正弦函数性质可得函数f(x)在上不是单调递减的，故C错误； 对于D，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－π，k∈Z，当k＝0时，x＝－ 即函数f(x)的图象关于点对称，故D正确. (2)已知函数f(x)＝sin其中x∈若f(x)的值域是则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵x∈ ∴x＋∈. ∵当x＋∈时，f(x)的值域为 ∴结合正弦函数的图象知≤a＋≤ ∴≤a≤π. 反思感悟　三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论三角函数的性质，高考中三角函数是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.主要考查角度：(1)三角函数的性质；(2)三角函数图象的变换；(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数). (1)求f(x)的单调区间； (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值. 解　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)； 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)因为0≤x≤ 所以≤2x＋≤ 所以－≤sin≤1， 所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1. 三、三角函数的图象变换问题 1.由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩. 2.掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　已知函数f(x)＝2sin在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间. 解　(1)∵函数f(x)在x＝处取得最值， ∴2ω×＝kπ＋k∈Z， 解得ω＝2k＋k∈Z. 又ω∈(0，2)，∴ω＝ ∴f(x)＝2sin ∴函数f(x)的最小正周期T＝. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin＝2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin的图象， 即g(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴函数g(x)的单调递增区间为k∈Z. 反思感悟　函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的解题技巧 对于y＝Asin(ωx＋φ)＋h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性.针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 跟踪训练3　将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是(　　) A.直线x＝ B.直线x＝ C.直线x＝π D.直线x＝ 答案　D 解析　y＝cos图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y＝cos的图象，再向左平移个单位长度， 得到y＝cos＝cos的图象. 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点， 当x＝时，y＝cos＝1，故选D. 四、三角函数模型的简单应用 1.三角函数模型的简单应用体现在两个方面：一是会用三角函数解决简单的实际问题；二是能把实际问题转化成数学问题，抽象出三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.三角函数模型的简单应用常考查数学建模、数学运算等核心素养. 例4　潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象.一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐.某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象f(x)＝Asin(ωx＋φ)基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深.当x＝时，海水上涨至最高5米. (1)作出函数f(x)在[0，4π]内的图象，并求出潮汐涨落的频率和初相； (2)求海水水深持续加大的时间区间. 解　(1)T＝＝4π， 又因为ω>0，所以ω＝ 又A＝5，x＝时，sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因为0<φ<所以φ＝ 故函数f(x)＝5sinx≥0， 频率f＝；x＝0时，初相φ＝ 图象应用五点作图法分别取x＝0， 4π， 求出对应的函数值，并描点和绘制，如图所示. (2)求海水水深持续加大的时间区间， 即求f(x)的单调递增区间， 令z＝x＋ 函数y＝5sin z的单调递增区间为k∈Z， 即－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， ⇒－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 即－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z). 故海水水深持续加大的时间区间为或(k∈N＋). 反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练4　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面所成的角为且2 min恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是(　　) A.H＝4sin＋2 B.H＝4sin＋2 C.H＝4sin＋2 D.H＝4sin＋2 答案　D 解析　设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝Asin(ωt＋φ)＋b， 周期为120 s，ω＝ 最高高度为4＋4sin＝6， 最低高度为－4＋4sin＝－2， 所以A＋b＝6，－A＋b＝－2， 所以A＝4，b＝2. 当t＝0时，H＝0，4sin φ＋2＝0， 所以sin φ＝－ 可得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以H＝4sin＋2 ＝4sin＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $