第1章 章末复习课 集合与逻辑（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学讲义通过知识网络思维导图系统构建集合与常用逻辑用语单元体系，涵盖集合的基本概念、关系、运算，以及充分条件与必要条件、全称量词与存在量词五大模块，清晰呈现各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“例题解析+跟踪训练”的分层设计，如集合间关系求参数（例2）、充分必要条件判断（例4）等题型，结合数轴法、定义法培养逻辑推理与直观想象素养。反思感悟总结方法技巧，助力基础学生掌握概念，优秀学生深化思维，为教师提供精准教学支持。

一、集合的基本概念 1.理解集合的概念、集合的特点、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换. 2.掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1　已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 答案　C 解析　①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1； ③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个. 反思感悟　解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 跟踪训练1　已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为(　　) A.2 B.3 C.0 D.－2 答案　B 解析　由2∈A可知，m＝2或m2－3m＋2＝2.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意，故m的值为3. 二、集合间的基本关系 1.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围. 2.掌握集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例2　已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为a<1，所以2a<a＋1， 所以B≠∅. 画数轴如图所示. 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1. 即a<－2或a≥. 由已知a<1，所以a<－2或≤a<1， 即实数a的取值范围为. 反思感悟　处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏. 跟踪训练2　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  答案　a<－4或a>2 解析　当A＝∅时，2a>a＋3，即a>3，满足A⊆B； 当A≠∅时，若A⊆B， 则 解得a<－4或2<a≤3. 综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2. 三、集合的基本运算 1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2.掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　(多选)已知集合A＝(－∞，2)，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A.A∩B＝ B.A∩(∁RB)＝ C.A∪B＝ D.(∁RA)∪B＝R 答案　AB 解析　因为A＝(－∞，2)，B＝{x|3－2x>0}＝ ∁RA＝[2，＋∞)，∁RB＝ 所以A∩B＝ A∩(∁RB)＝A∪B＝(－∞，2)， (∁RA)∪B＝∪[2，＋∞). 反思感悟　(1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 跟踪训练3　已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　联立解得或 因此M∩N中的元素个数为2. 四、充分条件与必要条件 1.若p⇒q，且qp，则p是q的充分而不必要条件，同时q是p的必要而不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　设集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|2－a<x<2＋a}. (1)若a＝2，求A∪B和A∩B； (2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要而不充分条件，求实数a的取值范围. 解　(1)A＝{x|－1<x<3}. 因为a＝2，所以B＝{x|0<x<4}， 所以A∪B＝{x|－1<x<4}，A∩B＝{x|0<x<3}. (2)因为p是q成立的必要而不充分条件， 所以BA， 当B＝∅时，2－a≥2＋a，得a≤0，满足BA； 当B≠∅时等号不能同时取到. 得0<a≤1，所以实数a的取值范围是{a|a≤1}. 反思感悟　充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假. (2)利用集合间的包含关系判断：设p对应的集合为A，q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分而不必要条件或q是p的必要而不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件. 跟踪训练4　已知集合A＝{x|m－1<x<m2＋1}，B＝{x|－2<x<2}. (1)当m＝2时，求A∪B，A∩B； (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分而不必要条件，求实数m的取值范围. 解　(1)B＝{x|－2<x<2}， 当m＝2时，A＝{x|1<x<5}， 所以A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|－2<x<5}. (2)由题意，可得集合A是集合B的真子集， 因为m－1<m2＋1恒成立，所以集合A非空. 所以等号不能同时取到， 解得－1≤m≤1，经检验m＝－1不符合题意， 所以－1<m≤1. 五、全称量词与存在量词 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定. 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养. 例5　命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数. (1)写出命题p的否定； (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解　(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， 通过画数轴(图略)可看出a，b应满足的条件是b<a. 反思感悟　全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 跟踪训练5　若对∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，求实数a的取值范围. 解　设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}， 由题意知，A⊆B，则解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}. 学科网（北京）股份有限公司 $