第5章 5.3.2 正切函数的图象与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦正切函数的图象与性质，基于正弦、余弦函数的学习经验，通过类比迁移，从图象画法（正切线平移）到定义域、值域等性质梳理，再到性质应用，构建完整学习支架。 以问题链驱动探究，引导学生用数学眼光观察函数异同，培养创新意识。例题采用换元法、整体代换等，发展推理能力。课时对点练分层设计，课中辅助教学引导主动学习，课后助力巩固查漏，提升应用意识。

5.3.2　正切函数的图象与性质 学习目标　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题. 导语 我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 一、正切函数的图象 问题1　我们是用什么方法画正弦函数图象的？ 提示　平移正弦线的方法，先画出一个周期的图象，再向左右平移得到正弦函数的图象. 问题2　我们能否采用类似的方法画出函数y＝tan x的图象呢？ 提示　可以.先利用正切线画出y＝tan x的图象，如图，再把函数y＝tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，就可得到正切函数y＝tan x的图象.我们可以通过正切函数的图象得到正切函数的主要性质. 知识梳理　正切函数y＝tan x的图象 函数 y＝tan x 图象 二、正切函数的性质 正切函数y＝tan x的性质 函数 y＝tan x 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间(k∈Z)上都是增函数 对称中心 (k∈Z) 注意点： (1)研究正切函数时应注意定义域. (2)正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的. (3)正切曲线只有对称中心，没有对称轴. (4)正切函数不是单调函数，但有无数个单调递增区间，没有单调递减区间. 角度1　定义域、值域问题 例1　(1)函数y＝3tan的定义域为　　　　　　　　　　　　　　；  (2)函数y＝tan2x－2tan x的值域为　　　　　　　　　　.  答案　(1) (2)[－1，3＋2] 解析　(1)由≠＋kπ，k∈Z， 得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为. (2)令u＝tan x，∵|x|≤ ∴由正切函数的图象(图略)知u∈[－]， ∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－]， ∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1的图象开口向上，对称轴为u＝1， ∴当u＝1时，ymin＝－1， 当u＝－时，ymax＝3＋2 ∴原函数的值域为[－1，3＋2]. 反思感悟　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 跟踪训练1　(1)函数f(x)的定义域是　　　　.  (2)函数y＝tan2x＋tan x＋1的值域为　　　　.  答案　(1)k∈Z (2) 解析　(1)由题意得3－tan2x≥0，即tan2x≤3， 所以－≤tan x≤ 所以kπ－≤x≤kπ＋k∈Z. (2)设t＝tan x，由正切函数的值域可得t∈R， 则y＝t2＋t＋1≥ 所以所求函数的值域是. 角度2　单调性 例2　(1)(课本例5)求函数y＝tan的定义域和单调区间. 解　要使函数y＝tan有意义，自变量x应满足2x＋≠＋kπ(k∈Z)， 即x≠π(k∈Z). 于是函数的定义域是. 由－＋kπ<2x＋<＋kπ，得 －π＋π<x<π，k∈Z. 因此，函数的单调递增区间是 ，k∈Z. (2)(课本例6)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)tan(－3)，tan(－3.1)； (2)tan tan . 解　(1)由于－－π<－3.1<－3<－π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan(－3.1)<tan(－3). (2)由于－＋π<<<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan <tan . 例2　(1)求函数y＝tan的单调区间. 解　y＝tan－tan 由－＋kπ<x－<＋kπ(k∈Z)得－π＋4kπ<x<3π＋4kπ，k∈Z，所以函数y＝tan的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z). (2)比较大小： ①tan 与tan ； ②tan与tan. 解　①因为tan 又0<<<y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan 即tan <tan . ②因为tan－tan tan－tan 又0<<< y＝tan x在上单调递增， 所以tan >tan 所以－tan <－tan 即tan<tan. 反思感悟　(1)y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. (2)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. 跟踪训练2　(1)求函数y＝tan的单调区间. 解　由题意，得kπ－<x＋<kπ＋k∈Z， 即kπ－<x<kπ＋k∈Z， 所以2kπ－<x<2kπ＋k∈Z， 故函数的单调递增区间为(k∈Z). (2)比较大小：tan和tan. 解　∵tan－tantan tan－tantan . 又0<<< y＝tan x在上单调递增， ∴tan <tan 即tan>tan. 三、正切函数图象与性质的综合应用 例3　画出函数y＝|tan x|的图象. (1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性； (2)求不等式|tan x|≤1的解集. 解　(1)由y＝|tan x|， 得y 其图象如图所示， 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为 值域为[0，＋∞)，是偶函数. 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为k∈Z，单调递减区间为k∈Z. (2)由图可知，|tan x|≤1的解集为. 反思感悟　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为k∈Z. 跟踪训练3　已知函数f(x)tan. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求函数g(x)＝f 的单调区间及对称中心. 解　(1)∵函数f(x)tan ∴2x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠k∈Z， ∴函数f(x)的定义域为. (2)∵函数g(x)＝f tan 令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z， 解得－<x<k∈Z， ∴g(x)的单调递增区间是k∈Z，令2x－k∈Z， 解得xk∈Z， ∴函数g(x)的对称中心是k∈Z. 1.知识清单： (1)正切函数图象的画法. (2)正切函数的性质及其应用. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由x－≠kπ＋k∈Z， 得x≠kπ＋k∈Z. 2.函数y＝2tan的对称中心坐标是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　C 解析　令(k∈Z)， 解得x＝kπ＋k∈Z， 故函数的对称中心为(k∈Z). 3.函数f(x)＝sin xtan x(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案　B 解析　f(x)的定义域为关于原点对称， 又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x) ＝sin x·tan x＝f(x)，∴f(x)为偶函数. 4.函数f(x)＝2x·tan x(－1<x<1)的图象可能是(　　) 答案　B 解析　因为函数f(x)＝2x·tan x(－1<x<1)， 所以f(－x)＝－2x·tan(－x)＝2x·tan x＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故排除A，C选项； 又f(1)＝2×1×tan 1＝2tan 1>0，故排除D选项；B选项符合题意. 5.函数y的值域是(　　) A.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞) C.(－∞，1] D.[－1，＋∞) 答案　B 解析　∵－≤x≤且x≠0， ∴－1≤tan x≤1，且tan x≠0，令tan x＝t，画出y的图象(如图)，∴y≤－1或y≥1. 6.(多选)下列关于函数y＝tan的说法不正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x对称 答案　ACD 解析　令kπ－<x＋<kπ＋k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋k∈Z，解得xk∈Z，任取k值不能得到x故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误. 7.(5分)函数y＝tan的单调递增区间是　　　　　　　　　　　　　.  答案　k∈Z 解析　令－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z， 则<x<k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递增区间是k∈Z. 8.(5分)若“∀x∈tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为　　　　.  答案　1 解析　∵函数y＝tan x在上单调递增， ∴y＝tan x在上的最大值为1， 故m≥1，则m的最小值为1. 9.(10分)已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的单调递减区间；(5分) (2)试比较f(π)与f 的大小.(5分) 解　(1)f(x)＝3tan ＝－3tan 由kπ－<<kπ＋(k∈Z)， 得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z). 因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增， 所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)上单调递减.故原函数的单调递减区间为(k∈Z). (2)f(π)＝3tan3tan－3tan f 3tan3tan－3tan 因为0<<< 且y＝tan x 在上单调递增， 所以tan <tan 所以f(π)>f . 10.(10分)设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间；(6分) (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集.(4分) 解　(1)由≠＋kπ(k∈Z)， 得x≠＋2kπ(k∈Z)， ∴f(x)的定义域是； ∵ω∴最小正周期T2π； 由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 综上，函数f(x)的定义域是最小正周期为2π， 单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间. (2)由－1≤f(x)≤即－1≤tan≤得－＋kπ≤≤＋kπ(k∈Z). 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). ∴不等式－1≤f(x)≤的解集是. 11.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间上的图象是(　　) 答案　D 解析　当<x<π时，tan x<sin x， y＝2tan x<0； 当x＝π时，y＝0； 当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x， 且－2<y<0. 12.(多选)下列各式中正确的是(　　) A.tan 735°<tan 800° B.tan 1>tan 2 C.tan <tan D.tan <tan 答案　ABD 解析　tan 735°＝tan(735°－720°)＝tan 15°，tan 800°＝tan(800°－720°)＝tan 80°，且0°<15°<80°<90°，正切函数在上是单调递增的， 所以tan 15°<tan 80°，即tan 735°<tan 800°，故A正确； tan 1>0，tan 2<0，所以tan 1>tan 2，故B正确； tan <0，tan <0；<<<π，正切函数在上是单调递增的， 所以tan >tan 故C错误； tan tan 且0<<<正切函数在上是单调递增的， 所以tan <tan 即tan <tan 故D正确. 13.(多选)方程tan在区间[0，π]上的解为(　　) A.0 B. C. D.π 答案　ACD 解析　由tan 得2x＋＋kπ(k∈Z)，∴x(k∈Z). 又x∈[0，π]，∴x＝0π. 14.(5分)若函数y＝tan＋k，x∈的图象都在x轴上方，则实数k的取值范围为　　　　.  答案　[＋∞) 解析　因为函数y＝tan＋k， x∈的图象都在x轴上方， 所以y＝tan＋k>0对于x∈恒成立， 所以k>－tan对于x∈恒成立， 因为x∈ 所以2x－∈tan∈(－0)， 所以－tan∈(0)，所以k≥. 15.(5分)已知函数f(x)＝sin x＋tan ＋x3，x∈(－1，1)，则满足不等式f(a－1)＋f(2a－1)<0的实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵函数f(x)＝sin x＋tan ＋x3，x∈(－1，1)， ∴f(－x)＝sin(－x)＋tan＋(－x)3＝－－f(x)， ∴f(x)为奇函数， ∴不等式f(a－1)＋f(2a－1)<0，即f(a－1)<－f(2a－1)，即f(a－1)<f(1－2a)， ∵y＝sin x在上单调递增，则y＝sin x在(－1，1)上单调递增， y＝tan 在(－π，π)上单调递增，则y＝tan 在(－1，1)上单调递增， y＝x3在R上单调递增，则y＝x3在(－1，1)上单调递增， ∴函数f(x)＝sin x＋tan ＋x3在(－1，1)上单调递增， ∴不等式f(a－1)<f(1－2a)，转化为解得0<a< ∴满足不等式f(a－1)＋f(2a－1)<0的实数a的取值范围是. 16.(12分)已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1]，其中θ∈. (1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；(6分) (2)若y＝f(x)在区间[－1]上是单调函数，求θ的取值范围.(6分) 解　(1)当θ＝－时， f(x)＝x2－x－1. ∵x∈[－1]， ∴当x时，f(x)取得最小值－ 当x＝－1时，f(x)取得最大值. (2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ. ∵y＝f(x)在区间[－1]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 即tan θ≥1或tan θ≤－. 又θ∈ ∴θ的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $