第4章 4.3.3 第1课时 对数函数的图象与性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的概念、反函数概念及图象与性质，从指数式与对数式互化切入对数函数，通过反函数建立与指数函数的联系，再经列表描点画图探究性质，构建完整知识支架。 以问题链驱动探究，结合列表描点、例题与跟踪训练。通过指数式对数式互化培养数学眼光，性质归纳发展数学思维，规范解题提升数学语言。课中助教师引导探究，课后对点练帮助学生查漏补缺。

4.3.3　对数函数的图象与性质 第1课时　对数函数的图象与性质(一) 学习目标　1.理解对数函数、反函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象和性质.3.会类比指数函数研究对数函数的性质. 一、对数函数的概念及应用 问题1　将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果,对于区间(0,＋∞)内的每一个y的值,是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 提示　x＝log2y,任意y∈(0,＋∞),都有唯一的实数x与之对应,x是关于y的函数. 知识梳理　对数函数的概念 对数运算y＝logax(x>0,a>0且a≠1)确定了一个函数,叫作(以a为底的)对数函数. 注意点： (1)因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,所以对数函数的定义域是(0,＋∞),对数函数的底数a>0,且a≠1. (2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0且a≠1)中,logax前面的系数必须是1,自变量x在真数的位置上,否则就不是对数函数. 例1　(2)(课本例10)求下列函数的定义域： ①y＝log0.5(3－x)；②y＝log2x－3(x2＋3). 解　①要使函数有意义,需3－x>0,即x<3. 所以函数y＝log0.5(3－x)的定义域是(－∞,3). ②要使函数有意义,需2x－3>0且2x－3≠1,即x>且x≠2. 所以函数y＝log2x－3(x2＋3)的定义域是∪(2,＋∞). 例1　(1)下列函数中是对数函数的为(　　) A.y＝lox2 B.y＝log3(x－1) C.y＝log(x＋1)x D.y＝logπx 答案　D 解析　只有D满足对数函数的定义. (2)函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　) A.[1,＋∞) B.(1,＋∞) C.(－∞,1) D.(－∞,1] 答案　B 解析　由x－1>0,得x>1. (3)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f ＝　　　　.  答案　－5 解析　设对数函数f(x)＝logax(a>0且a≠1), ∵f(x)的图象过点P(8,3), ∴3＝loga8,∴a3＝8,a＝2. ∴f(x)＝log2x, ∴f ＝log2＝log22－5＝－5. 反思感悟　(1)判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件： ①系数为1. ②底数为大于0且不等于1的常数. ③对数的真数仅有自变量x. (2)对数的真数大于0. 跟踪训练1　(1)下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝loga(5＋x)(a>0且a≠1) B.y＝x C.y＝log3(－x) D.y＝logx(x>0且x≠1) 答案　B 解析　A和C中自变量不是x,所以不是对数函数,D中底数是x,不是常数；B符合对数函数的特征,所以是对数函数. (2)已知函数f(x)是对数函数,且f ＝－则f(2)＝　　　　.  答案　 解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1), 因为f ＝－所以a＝2,f(x)＝log2x, 所以f(2)＝. (3)函数f(x)＝的定义域为　　　　　　　　.  答案　(－1,0)∪(0,3] 解析　由解得－1<x<0或0<x≤3. 所以函数f(x)＝的定义域为(－1,0)∪(0,3]. 二、反函数 问题2　由指数式与对数式互化知y＝logax描述的数量关系是什么？ 提示　x＝ay. 问题3　把上述问题结果中x和y互换位置得到什么？ 提示　y＝ax. 问题4　在同一坐标系下,画出函数y＝2x与y＝log2x的图象,观察两函数图象的关系. 提示　 知识梳理 反函数：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. 例2　(1)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数,则f(f(2))的值为(　　) A.16 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　函数y＝2x的反函数是y＝log2x, 即f(x)＝log2x. ∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0. (2)函数y＝log3x的反函数的定义域为(　　) A.(0,＋∞) B. C.(1,4) D.[－1,4] 答案　D 解析　由y＝log3x 可知y∈[－1,4], 所以反函数的定义域为x∈[－1,4]. 反思感悟　互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两函数定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 跟踪训练2　若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称,函数f(x)＝则f(2)＋g(4)等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　D 解析　方法一　∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称,f(x)＝＝2x, ∴g(x)＝log2x,∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6. 方法二　∵f(x)＝∴f(2)＝4, 故函数f(x)的图象经过点(2,4). ∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称, ∴函数g(x)的图象经过点(4,2),即g(4)＝2, ∴f(2)＋g(4)＝4＋2＝6. 三、对数函数的图象与性质 问题5　请同学们利用列表、描点、连线的画图方法,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝x的函数图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … … y＝x … … 提示　(1)－2　－1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　－1　－2　－3　－4　－5 (2)描点、连线,画出图象,如图所示. 问题6　通过观察函数y＝log2x和y＝x的图象,分析性质,并完成下表： 函数 y＝log2x y＝x 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 特殊点 y的变换情况 当0<x<1时,　　　　；  当x>1时,　　　  当0<x<1时,　　　　；  当x>1时,　　　  对称性 y＝log2x和y＝x的图象关于x轴对称 提示　(0,＋∞)　(0,＋∞)　R　R　增函数 减函数　无最值　无最值　非奇非偶函数 非奇非偶函数　(1,0)　(1,0)　y<0　y>0 y>0　y<0 问题7　为了更好地研究对数函数的性质,再选取底数a＝3,4你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？ 提示　 知识梳理　对数函数的图象和性质 y＝logax(x>0,a>0且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,＋∞) 值域 R 单调性 在(0,＋∞)上是增函数 在(0,＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0),即x＝1时,y＝0 函数 值特点 x∈(0,1)时,y∈(－∞,0)； x∈[1,＋∞)时,y∈[0,＋∞) x∈(0,1)时,y∈(0,＋∞)； x∈[1,＋∞)时,y∈(－∞,0] 对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧； (2)对任意底数a,当x＝1时,y＝0,故过定点(1,0)； (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴； (4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴； (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 例3　(1)如图,若C1,C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象,则(　　) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 答案　B 解析　作直线y＝1(图略),则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1. (2)函数f(x)＝2loga(4x＋1)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过的定点为　　　　　.  答案　(0,1) 解析　令4x＋1＝1,解得x＝0, 所以f(0)＝2loga1＋1＝1, 所以函数f(x)＝2loga(4x＋1)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过的定点为(0,1). (3)已知f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)满足f(－5)＝1,试画出函数f(x)的图象. 解　因为f(－5)＝1,所以loga5＝1,即a＝5, 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示. 反思感悟　对数型函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时,保留y＝f(x)(x>0)图象不变,x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. (2)作y＝|f(x)|的图象时,保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变,把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. (3)对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律. (4)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称,y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称,y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称. 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝loga(x－m)＋n的图象恒过定点(3,5),则lg m＋lg n的值是　　　　.  答案　1 解析　因为函数f(x)＝loga(x－m)＋n的图象恒过定点(3,5), 故3－m＝1,且n＝5,则m＝2,n＝5. 所以lg m＋lg n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象,并写出函数的值域及单调区间. 解　函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示.由图象知,其值域为[0,＋∞),单调递减区间是(－1,0],单调递增区间是(0,＋∞). 1.知识清单： (1)理解对数函数、反函数的概念. (2)初步掌握对数函数的图象与性质. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共45分；多选题每小题6分,共6分 1.若函数y＝f(x)的反函数的图象过点(1,5),则函数y＝f(x)的图象必过点(　　) A.(1,1) B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5) 答案　C 解析　根据反函数定义知反函数的图象过点(1,5), 则函数y＝f(x)的图象过点(5,1). 2.函数y＝log(a－3)(7－a)中,实数a的取值范围是(　　) A.(－∞,7) B.(3,7) C.(3,4)∪(4,7) D.(3,＋∞) 答案　C 解析　由得3<a<7且a≠4, 故实数a的取值范围是(3,4)∪(4,7). 3.设函数f(x)＝则f(f(10))的值为(　　) A.lg 101 B.1 C.2 D.0 答案　C 解析　f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2. 4.已知对数函数的图象过点M(9,－2),则此对数函数的解析式为(　　) A.y＝log2x B.y＝log3x C.y＝lox D.y＝lox 答案　C 解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1), ∵对数函数的图象过点M(9,－2), ∴loga9＝－2,即a－2＝9,解得a＝. ∴f(x)＝lox. 5.函数y＝logax,y＝logbx,y＝logcx,y＝logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是(　　) A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 答案　B 解析　令函数y＝logax,y＝logbx,y＝logcx,y＝logdx取同样的函数值1,得到的自变量的值恰好分别是a,b,c,d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),从而得出c<d<a<b.又a>1,b>1,d<1,c<1,∴c<d<1<a<b. 6.(多选)已知a>0,b>0,且ab＝1,a≠1,则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案　AB 解析　∵g(x)＝－logbx＝lox＝logax, ∴f(x)和g(x)的单调性相同, 结合选项可知A,B正确. 7.(5分)已知函数y＝loga(x－1)＋2x(a>0且a≠1)恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　　.  答案　(2,4) 解析　令x－1＝1得x＝2,此时y＝4, 即函数y＝loga(x－1)＋2x(a>0且a≠1)恒过定点A(2,4). 8.(5分)函数f(x)＝ex(其中e＝2.718…为自然对数的底数)的反函数为g(x),则f(ln(log3e))·g(3)＝　　　.  答案　1 解析　因为g(x)为函数f(x)＝ex的反函数,所以g(x)＝ln x, 所以f(ln(log3e))＝＝log3e＝g(3)＝ln 3, 所以f(ln(log3e))·g(3)＝·ln 3＝1. 9.(9分)求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x)；(3分) (2)y＝log(3x－1)5；(3分) (3)y＝.(3分) 解　(1)要使函数式有意义,需1－x>0, 解得x<1, 所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}. (2)要使函数式有意义,需 解得x>且x≠ 所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是. (3)要使函数式有意义,需 解得x<4,且x≠3, 所以函数y＝的定义域是{x|x<4且x≠3}. 10.(12分)已知函数f(x)＝|lox|. (1)画出函数y＝f(x)的图象；(3分) (2)写出函数y＝f(x)的单调区间；(4分) (3)当x∈时,函数y＝f(x)的值域为[0,1],求m的取值范围.(5分) 解　(1)先作出y＝lox的图象,再把y＝lox的图象x轴下方的部分往上翻折,得到f(x)＝|lox|的图象如图. (2)f(x)的定义域为(0,＋∞), 由图可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增. 故f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,＋∞). (3)由f(x)＝的图象可知 f ＝f(2)＝1,f(1)＝0, 由题意结合图象知,m的取值范围为[1,2]. 11.若点P(16,2),Q(t,log23)都在同一个对数函数的图象上,则t等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1), 因为点P(16,2)在函数的图象上, 所以loga16＝2,解得a＝4, 因为点Q(t,log23)也在函数的图象上,所以log4t＝log23,解得t＝9. 12.设函数f(x)＝f lg x＋1,则f(10)的值是(　　) A.1 B.－1 C.10 D. 答案　A 解析　∵f(x)＝f lg x＋1,将式中x换成 ∴f ＝f(x)lg＋1. 由以上两式,得f(x)＝ ∴f(10)＝＝1. 13.若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数,又是增函数,则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) 答案　B 解析　∵函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上是奇函数, ∴f(0)＝0,∴k＝2, 经检验k＝2满足题意, 又函数f(x)为增函数, ∴a>1, ∴ g(x)＝loga(x＋2),定义域为{x|x>－2},且为增函数. 14.(5分)函数f(x)＝lg的定义域为R,则实数k的取值范围是　　　　.  答案　[0,3) 解析　依题意,得2kx2－kx＋>0的解集为R, 即不等式2kx2－kx＋>0恒成立, 当k＝0时>0恒成立,∴k＝0满足条件. 当k≠0时,则 解得0<k<3. 综上,实数k的取值范围是[0,3). 15.已知函数f(x)＝|lg x－1|,若f(a)＝f(b),且a<b,则[f(a)]2－f(10b)的最小值为(　　) A.－3 B.－ C.－ D.－ 答案　B 解析　由题意可得,f(x)＝|lg x－1|＝作出f(x)的图象如图, 由a<b,且f(a)＝f(b),则f(a)＝1－lg a,f(b)＝lg b－1,即1－lg a＝lg b－1,解得ab＝100, 所以[f(a)]2－f(10b)＝(1－lg a)2－[lg(10b)－1]＝1－2lg a＋lg2a－lg b＝lg2a－lg(a2b)＋1, 又ab＝100,则lg2a－lg(a2b)＋1＝lg2a－lg(100a)＋1＝lg2a－lg a－1, 所以－f(10b)＝lg2a－lg a－1＝故当lg a＝即a＝时－f(10b)取得最小值,为－. 16.(13分)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围. 解　设t(x)＝3－ax, ∵a>0,且a≠1, ∴t(x)＝3－ax为减函数, 则当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3－2a. ∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即当x∈[0,2]时,3－ax>0恒成立. ∴3－2a>0,∴a<. 又a>0且a≠1, ∴0<a<1或1<a< ∴实数a的取值范围为(0,1)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $