第5章 5.3.1 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学正弦函数、余弦函数的性质，围绕单调区间、三角函数值大小比较、对称性展开，通过图象观察、问题引导梳理知识，结合例题及延伸探究构建从直观感知到抽象应用的学习支架。 资料以问题驱动培养数学眼光，如观察图象发现单调区间；用换元法发展数学思维，例如例1中整体代换求单调区间；通过规范表达强化数学语言。课时对点练分层设计，课中辅助教学突破重难点，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质(二) 学习目标　1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间.2.会比较三角函数值的大小.3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性. 一、正弦函数、余弦函数的单调性 问题1　观察正弦函数y＝sin x的函数图象，你能写出y＝sin x在x∈上的单调区间吗？ 提示　由图我们发现，区间正好是正弦函数y＝sin x的一个周期，其中在区间上单调递增，在区间上单调递减.类似地，我们通过观察余弦函数在一个周期[－π，π]上的函数值的变化规律，可知y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减. 知识梳理 y＝sin x y＝cos x 图象 单调性 在闭区间(k∈Z)上都是增函数，在闭区间(k∈Z)上都是减函数 在闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，在闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都是减函数 例1　(课本例4)求函数y＝sin的单调递增区间. 解　令z＝2x＋则y＝sinsin z. 因为函数y＝sin z的单调递增区间是k∈Z，于是由 －＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ， 得－π＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 因此，函数y＝sin的单调递增区间是k∈Z. 例1　求函数y＝2sin的单调区间. 解　令z＝x－则y＝2sin z. ∵z＝x－是增函数， ∴y＝2sin z单调递增(减)时， 函数y＝2sin也单调递增(减). 由z∈(k∈Z)， 得x－∈(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)， 故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z). 同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z). 延伸探究1　求函数f(x)＝2sinx∈[0，2π]的单调区间. 解　由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为k∈Z， 又∵x∈[0，2π]， ∴0≤x≤或≤x≤2π， 同理函数f(x)＝2sinx∈[0，2π]的单调递减区间为. ∴函数f(x)＝2sinx∈[0，2π]的单调递增区间为单调递减区间为. 延伸探究2　求函数y＝sin的单调递增区间. 解　y＝sin－sin 令z＝x－又y＝－sin z的单调递增区间是k∈Z， ∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数y＝sin的单调递增区间为k∈Z. 反思感悟　求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上. 跟踪训练1　求函数f(x)＝2cos的单调递增区间. 解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是k∈Z. 二、利用单调性比较大小 例2　(课本例3)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin(－1)，sin(－1.1)； (2)cos cos . 解　(1)由于－<－1.1<－1<且y＝sin x在区间上单调递增， 因此sin(－1)>sin(－1.1). (2)由于π<<<2π，且y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，因此cos <cos . 例2　比较大小： (1)sin 220°与sin 230°； (2)sin与cos. 解　(1)因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上是减函数，且90°<220°<230°<270°， 所以sin 220°>sin 230°. (2)sinsin －sin coscos －cos －sin . 因为函数y＝sin x在上是增函数，而－<<< 所以sin <sin 所以－sin >－sin . 故sin>cos. 反思感悟　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 跟踪训练2　比较大小： (1)cos与cos ； (2)cos 1与sin 2. 解　(1)coscos cos ＝－cos 而cos －cos ∵函数y＝cos x在上是减函数， 且0<<<∴cos >cos . ∴－cos <－cos ∴cos<cos . (2)∵1∈∴cos 1＝sin ∵y＝sin x在上是减函数， 又＋1，2∈且＋1>2， ∴sin<sin 2，即cos 1<sin 2. 三、正弦函数、余弦函数的对称性 问题2　正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示　有，(kπ，0)(k∈Z). 问题3　正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 提示　是轴对称图形，方程为x＋kπ(k∈Z). 问题4　类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 提示　对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(k∈Z). 知识梳理 y＝sin x y＝cos x 图象 对称轴 x＝kπ＋k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z k∈Z 例3　函数y＝sin的图象的对称轴是直线　　　　　　，对称中心是　　　　　　.  答案　x(k∈Z)　(k∈Z) 解析　要使sin±1， 必有2x＋kπ＋(k∈Z)， ∴x(k∈Z)， 故函数y＝sin的图象的对称轴是直线x(k∈Z). ∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin0， ∴2x＋kπ(k∈Z)，即x(k∈Z). 故函数y＝sin的图象的对称中心是(k∈Z). 反思感悟　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想. 跟踪训练3　函数f(x)＝cos＋2图象的一个对称中心为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　令4x－kπ＋(k∈Z)，可得x(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)， 当k＝0时，x故满足条件. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的单调区间. (2)比较三角函数值的大小. (3)正弦函数、余弦函数的对称性. 2.方法归纳：整体思想、换元思想. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A.y轴 B.直线x＝－π C.直线x D.直线x＝π 答案　C 解析　当x时，y取最大值， ∴直线x是一条对称轴. 2.使y＝sin x和y＝cos x均为减函数的一个区间是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象(图略)知均为减函数的一个区间是. 3.函数f(x)＝2sin图象的对称中心有(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令2x－kπ，k∈Z，解得xk∈Z， 故f(x)图象的对称中心为k∈Z， 经检验只有k＝0，即符合题意. 4.已知函数f(x)＝2cosx∈则f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f(x)＝2cos可化为f(x)＝2cos令2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋k∈Z. 令k＝0，得－≤x≤；令k＝1，得≤x≤. ∵x∈ ∴f(x)的单调递增区间是. 5.函数f(x)＝－cos＋1，x∈的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为x∈所以2x＋∈则cos∈ 故－cos∈故f(x)的值域为. 6.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A.sin>sin B.cos 400°>cos C.sin 3>sin 2 D.sin >cos 答案　BD 解析　∵y＝sin x在上是增函数， 又－<－<－<0， ∴sin<sin故A不成立. cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立. y＝sin x在上是减函数， 又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立. sin－sin cos －cos －sin－sin . ∵0<<<且y＝sin x在上是增函数. ∴sin <sin ∴－sin >－sin 即sin >cos 故D成立. 7.(5分)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递减区间是　　　　　　.  答案　 解析　∵正弦函数的单调递减区间为∴－≤2x＋≤－. 又x∈[－π，0]，解得－≤x≤－ 则原函数的单调递减区间是. 8.(5分)sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为　　　　　　　　　　　　.  答案　sin 3<sin 1<sin 2 解析　∵1<<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. y＝sin x在上是增函数， 且0<π－3<1<π－2< ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2. 9.(10分)比较下列各组数的大小. (1)sin 与sin ；(5分) (2)cos 与cos .(5分) 解　(1)∵sin sinsin sin sinsin 又∵y＝sin x在上单调递增， 且0<<< ∴sin <sin ∴sin <sin . (2)∵cos coscos cos coscos . 又∵y＝cos x在[0，π]上单调递减， 且0<<<π， ∴cos >cos ∴cos >cos . 10.(10分)已知函数f(x)＝2cos. (1)求f(x)的单调递增区间；(5分) (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.(5分) 解　(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)， 解得≤x≤(k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)当3x＋2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 即x(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 11.已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)若f(x)关于x对称，则f(x)的一个单调递增区间可以是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f(x)关于x对称， 则＋φ＋kπ，k∈Z，∴φ＋kπ，k∈Z， 又∵|φ|<∴φ∴f(x)＝－2sin. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋k∈Z. 当k＝0时，得≤x≤. 即f(x)的一个单调递增区间可以是. 12.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，则“f(x)在上既不单调递增也不单调递减”是“ω>1”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　因为x∈且ω>0，则ωx＋∈ 若f(x)在上既不单调递增也不单调递减， 则ω＋>解得ω> 又因为(1，＋∞) 所以“f(x)在上既不单调递增也不单调递减”是“ω>1”的必要而不充分条件. 13.(多选)设函数f(x)＝cos则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为2π B.y＝f(x)的图象关于直线x对称 C.f(x)与x轴的一个交点坐标为 D.f(x)在上是减函数 答案　ABC 解析　A显然正确. f(x)的对称轴方程为x＋kπ，k∈Z， 即x＝－＋kπ，k∈Z， 当k＝3时，x故B正确. 令f(x)＝0，∴x＋＋kπ，k∈Z， 得x＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x故C正确. 令t＝x＋当x∈时，t∈ 由y＝cos t的图象知y＝cos t在上是减函数，在上是增函数，故D不正确. 14.(5分)已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是　　　　　　.   答案　 解析　函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增， 当－<x<时，－<ωx＋< ∵当x＝0时，ωx＋ 由于函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增， ∴解得ω≤ ∵ω>0，∴0<ω≤因此，ω的取值范围是. 15.(多选)设函数f(x)＝sin2x－2sin |x|－3，则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)的最小值是－4 D.f(x)在[－2π，2π]上有2个零点 答案　ACD 解析　由题意，函数f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝sin2(－x)－2sin |－x|－3＝sin2x－2sin |x|－3＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数，故A正确； 因为x<0， 所以f(x)＝sin2x＋2sin x－3＝(sin x＋1)2－4， 令t＝sin x，在x∈上单调递增， 所以y＝(t＋1)2－4，在(－1，＋∞)上单调递增， 因为x∈ 所以t＝sin x∈ 所以f(x)在上单调递增，故B错误； 当x≥0时，f(x)＝sin2x－2sin x－3＝(sin x－1)2－4， 所以当sin x＝1时，f(x)min＝－4， 当x<0时，f(x)＝sin2x＋2sin x－3＝(sin x＋1)2－4， 所以当sin x＝－1时，f(x)min＝－4， 综上，f(x)min＝－4，故C正确； 当x≥0时，f(x)＝sin2x－2sin x－3， 令f(x)＝0，得sin2x－2sin x－3＝0， 解得sin x＝3(舍去)或sin x＝－1， 因为x∈[0，2π]， 所以x 即是函数f(x)在[0，2π]上的零点， 又因为f(x)是偶函数，所以－是f(x)在[－2π，0)上的零点， 所以函数f(x)在[－2π，2π]上有2个零点，故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)＝2cosx∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(5分) (2)当x∈时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围.(7分) 解　(1)由余弦函数的单调性，令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为k∈Z. (2)由(1)知函数f(x)＝2cos的单调递增区间为k∈Z， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为k∈Z， 所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 且f 0，f 2，f－ 所以当0≤k<2时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个公共点， 即当0≤k<2时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根. 所以实数k的取值范围为[0，2). 学科网（北京）股份有限公司 $