第5章 5.2.3 第2课时 诱导公式(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦诱导公式五、六的推导与应用，在诱导公式一至四基础上，通过单位圆中角的终边对称关系构建知识支架，形成完整诱导公式体系，助力学生掌握任意角三角函数转化方法。 以问题链驱动公式推导，结合单位圆几何直观培养数学眼光，例题分层设计（含延伸探究）发展推理能力，课时对点练覆盖多样题型。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

第2课时　诱导公式(二) 学习目标　1.在诱导公式一~四的基础上，掌握诱导公式五~六的推导.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 导语 前面的学习中，我们定义了三角函数，并推出了一组神奇的公式，利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘. 一、诱导公式五、六 问题1　若角α的终边OM与单位圆交于点P(x，y)，你能得出角－α的终边OM1与单位圆的交点P1的坐标吗？ 提示　如图，由于角α与角－α的平均值为因此角α的终边OM与角－α的终边OM1关于∠xON的终边ON所在直线y＝x对称，则点P与P1关于直线y＝x对称，可以求得点P1的坐标为(y，x). 问题2　角－α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？ 提示　sincos α，cossin α，当α的终边不在坐标轴上时，tan. 知识梳理 1.诱导公式五 sincos α，cossin α，  sincos α，cos－sin α.  2.诱导公式六 tan tan－. 注意点： (1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系.可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆. (2)关于角α与α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式. 例1　(课本例12)化简： (1)sin；(2)cos. 解　(1)sinsin ＝－sin－cos α； (2)coscos ＝－cossin α. 例1　(1)若角α的终边位于第二象限，且sin α则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　D 解析　因为角α的终边位于第二象限且sin α 则cos α＝－－所以sincos α＝－. (2)已知sin且0<α<则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　B 解析　∵sin0<α< ∴－<－α< ∴cos ∴sinsincos. 延伸探究1　将本例(2)的条件改为sin求cos的值. 解　coscos ＝－sin－. 延伸探究2　将本例(2)中的“0<α<”改为“α是第三象限角”，求sin的值. 解　因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sin 所以－α是第二象限角， 所以cos－ 所以sinsin ＝－sin－cos. 反思感悟　利用诱导公式求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. (2)常见的互余的角：－α与＋α＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α＋α与－α＋α与－α等. 跟踪训练1　(1)已知cos则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　A 解析　由cos 得sincoscos. (2)已知sin则cos　　　.  答案　－ 解析　因为sincos α 所以cos－cos α＝－. 二、利用诱导公式化简 例2　若tan θ＝2，求 ＋的值. 解　因为tan θ＝2，所以 原式 2＋2＋. 反思感悟　用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少； (2)函数的种类尽可能的少； (3)分母尽可能不含三角函数的符号； (4)能求值的一定要求值； (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等降次. 跟踪训练2　化简：·sin(α－π)·tan. 解　原式·(－sin α)· ·(－sin α)· ·(－sin α)·－sin α. 三、诱导公式的综合应用 例3　已知在平面直角坐标系中，角α的终边经过点P且cos α＝－≠0. (1)求m； (2)当m<0时，求的值. 解　(1)因为角α的终边经过点P且cos α＝－≠0， 所以cos α＝－≠0， 则3，即m2－m－2＝0，解得m＝2或－1，经检验，符合题意. (2)当m<0时，m＝－1，则tan α2 所以－－. 反思感悟　诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，利用平方和差、立方和差公式. 跟踪训练3　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求·tan2(π－α)的值. 解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－ x2＝2， 又α是第三象限角，所以sin α＝－. 所以cos α＝－tan α 所以·tan2(π－α) ·tan2α ·tan2α＝－tan2α＝－. 1.知识清单： (1)诱导公式五、六. (2)利用诱导公式进行化简、求值. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.已知sin－则cos α的值为(　　) A. B. C.－ D.－ 答案　A 解析　∵sinsin ＝－sin－cos α＝－∴cos α. 2.若sin则cos等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　B 解析　因为 所以－α 所以coscos ＝sin. 3.若sin<0，且cos>0，则θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　∵sincos θ<0， cos－sin θ>0， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴角θ是第三象限角. 4.化简sin·cos·tan的结果是(　　) A.1 B.sin2α C.－cos2α D.－1 答案　C 解析　因为sincos α， coscos－sin α， tan 所以原式＝cos α(－sin α)－cos2α. 5.(多选)下列结论正确的有(　　) A.sincos B.cos＋sin0 C.sin2＋cos21 D.sin2＋sin21 答案　ABD 解析　对于A项，sinsin ＝coscosA正确； 对于B项，因为coscos ＝－sin－sin ＝－sin 所以cos＋sin0，B正确； 对于C项，因为sinsin[90°－(75°＋α)] ＝cos 所以sin2＋cos2 ＝2cos2≠1，C错误； 对于D项，sin2＋sin2 ＝cos2＋sin21，D正确. 6.(多选)已知角α的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合，则下列结论正确的是(　　) A.sin α B.tan α＝－ C.sin β D.cos β＝－ 答案　BC 解析　依题意，sin α＝－cos αtan α＝－A错误，B正确； 又β＋α，因此sin β＝sincos αcos β＝cos－sin αC正确，D错误. 7.(5分)已知函数f(x)则f(f(－1))＝　　　　　.  答案　 解析　易知f(－1)＝2－1＋1所以f(f(－1))＝f cossin . 8.(5分)若cos α且α是第四象限角，则tan　　　　.  答案　 解析　由题意得sin α＝－－ 所以tantan－ ＝－－. 9.(10分)已知sin. (1)求cos的值；(4分) (2)若－<α<求cos的值.(6分) 解　(1)coscos ＝sin. (2)sinsin ＝sin 若－<α<则0<α＋< 所以cos . 10.(10分)已知f(α). (1)若α∈(0，2π)，且f(α)＝－求α的值；(4分) (2)若f(α)－f 且α∈求tan α的值.(6分) 解　(1)f(α) sin α. 所以f(α)＝sin α＝－ 因为α∈(0，2π)， 所以α或α. (2)由(1)知，f(α)＝sin α， 所以f(α)－f sin α－sin ＝sin α＋cos α 所以sin α－cos α， 所以cos2α＋1， 即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0， 可得cos α或cos α＝－. 因为α∈ 所以cos α＝－ 所以sin α－cos α. 所以tan α×－. 11.在△ABC中，若cos则cos的值为(　　) A.± B.± C. D. 答案　C 解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴ ∴cos cossin . 又∈∴cos . 12.已知函数y＝loga(x＋4)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　令x＋4＝1，得x＝－3， 所以函数y＝loga(x＋4)＋4的图象恒过定点A(－3，4). 因为点A在角θ的终边上， 所以sin θ 则cos－sin θ＝－. 13.(多选)已知f(α)则下列说法正确的是(　　) A.f(α)＝－sin αcos α B.f 的值大于零 C.若tan α＝2，则f(α) D.若f(α)α∈(0，π)，则sin α－cos α 答案　AD 解析　f(α)－sin αcos α，故A正确； f －sin cos －×－<0，故B错误； f(α)＝－sin αcos α－故C错误； 若f(α)＝－sin αcos α 则(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝1＋×2即sin α－cos α＝± ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 而－sin αcos α>0，∴cos α<0， 则sin α－cos α故D正确. 14.(5分)在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为－若点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为则点B的坐标为　　　　.  答案　 解析　设点A是角α的终边与单位圆的交点， 因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为－ 所以sin α＝－ cos α＝－－ 因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为 所以∠AOB 所以点B的横坐标为cos－sin α 纵坐标为sincos α＝－ 即点B的坐标为. 15.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)＝－下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A.sin β B.cos(π＋β) C.tan β D.tan β 答案　AC 解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－ ∴sin αcos α＝± ∴若α＋β则β－α. 对于A，sin β＝sincos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件； 对于B，cos(π＋β)＝－cos－sin α＝－故B不符合条件； 对于C，tan β即sin βcos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±故C符合条件； 对于D，tan β即sin βcos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±故D不符合条件. 16.(11分)证明：1，k∈Z. 证明　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则 原式 ＝1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则 原式＝ 1， 故原式＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $