第5章 5.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦正弦函数、余弦函数的周期性、值域与最值、奇偶性三大核心知识点，以函数图象和诱导公式为基础引入周期性，通过观察图象明确值域与最值，结合对称性和诱导公式探究奇偶性，构建连贯的知识学习支架。 该资料以问题驱动结合方法归纳为特色，通过问题链引导学生用数学眼光观察图象规律，例题中换元法等培养数学思维，反思感悟总结方法规范数学语言。课中助力教师引导探究，课后跟踪训练与课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标　1.会求与正弦函数、余弦函数的周期性有关的问题.2.会求与正弦函数、余弦函数有关的值域(最值).3.解决与正弦函数、余弦函数的奇偶性有关的问题. 导语 我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 一、正弦函数、余弦函数的周期性 问题1　正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？ 提示　能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0，2π]上的函数图象，然后逐次向左和向右平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，对任意的k∈Z都成立. 知识梳理 条件 ①对于函数y＝f(x)，存在非零常数T ②当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x) 结论 称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期 2π是y＝sin x，y＝cos x的最小正周期，最小正周期常简称为周期. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 例1　求下列三角函数的周期. (1)y＝7sin x，x∈R； (2)y＝sin 2x，x∈R； (3)y＝|cos x|，x∈R. 解　(1)因为7sin(x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π. (2)因为sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π. (3)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知，y＝|cos x|的周期为π. 反思感悟　求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 跟踪训练1　函数y＝1－sin x的周期为　　　　.  答案　2π 解析　因为1－sin(x＋2π)＝1－sin x，由周期函数的定义知y＝1－sin x的周期为2π. 二、正弦函数、余弦函数的值域与最值 问题2　观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？ 提示　定义域都是R，值域都是[－1，1]. 知识梳理 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 值域为[－1，1] 值域为[－1，1] 最值 当且仅当x＋2kπ(k∈Z)时取得最大值1； 当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时取得最小值－1 当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1； 当且仅当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时取得最小值－1 例2　(课本例2)求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合： (1)y＝2sin 2x，x∈R； (2)y＝2－cos x，x∈R. 解　(1)令z＝2x，使函数y＝2sin z，z∈R取得最大值的z的集合是. 由2x＝z＋2kπ，得x＋kπ，k∈Z. 因此，使函数y＝2sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是最大值是2. (2)当函数y＝2－cos x，x∈R取得最大值时，cos x取最小值－1，此时x的集合是{x|x＝π＋2kπ，k∈Z}. 因此，使函数y＝2－cos x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝π＋2kπ，k∈Z}，最大值是3. 例2　(1)求函数y＝3－2sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)求函数y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R的值域. 解　(1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1， 即x＝2kπ＋k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为. 当sin x＝1，即x＝2kπ＋k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合. (2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R， 则－1≤t≤1. y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1， 当t＝－1时，函数取得最大值10； 当t＝1时，函数取得最小值2， ∴函数的值域为[2，10]. 反思感悟　三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值). (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定. 跟踪训练2　求函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－x∈R的值域. 解　令t＝sin x，y＝f(t)，∵x∈R， ∴－1≤sin x≤1，即－1≤t≤1. ∴y＝2t2＋2t－2－1， ∴－1≤y≤ ∴函数f(x)的值域为. 三、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题3　观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的奇偶性吗？ 提示　由正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称可知，正弦函数为奇函数、余弦函数为偶函数，也可以通过诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x得到. 问题4　知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？ 提示　通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有相同的性质. 知识梳理 正弦函数y＝sin x是奇函数，余弦函数y＝cos x是偶函数. 例3　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝|sin x|＋cos x； (3)f(x)＝x2cos. 解　(1)f(x)＝sin－cos x，x∈R. 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝－cos－cos x＝f(x)， 所以函数f(x)＝sin是偶函数. (2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域为R， 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数. (3)f(x)＝x2cos－x2sin x，x∈R， 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝x2cos为奇函数. 反思感悟　判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 跟踪训练3　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝sin xcos x； (2)f(x). 解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称. ∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x) ＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin xcos x为奇函数. (2)由得cos x＝1， ∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称. 当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的周期性. (2)正弦函数、余弦函数的值域(最值). (3)正弦函数、余弦函数的奇偶性. 2.方法归纳：整体思想、换元思想，数形结合. 3.常见误区：求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y＝4sin(2x－π)的图象关于(　　) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x对称 答案　B 解析　因为y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称. 2.函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)则f(22)等于(　　) A. B.－ C.0 D.10 答案　A 解析　f(22)＝f(22－20)＝f(2). 3.函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是(　　) 答案　A 解析　∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)， ∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A. 4.函数y＝cos2x＋sin x的最大值为(　　) A.2 B. C.1 D.0 答案　B 解析　y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x， 令t＝sin x，t∈[－1，1]， y＝－t2＋t＋1＝－ 当t时，ymax. 5.若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于(　　) A.0 B. C. D.π 答案　C 解析　代入排除，当φ时， y＝sincos x为偶函数. 6.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　　) A.y＝|cos x| B.y＝sin 2x C.y＝sin D.y＝cos x 答案　AC 解析　A中，由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确； B中，函数为奇函数，所以B不正确； C中，y＝sincos 2x，T＝π，所以C正确； D中，函数y＝cos x，T＝4π，所以D不正确. 7.(5分)使cos x＝1－m有解的m的取值范围为　　　.  答案　[0，2] 解析　因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1， 所以0≤m≤2. 8.(5分)设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝　　　　.  答案　－9 解析　令g(x)＝x3cos x， ∴g(－x)＝(－x)3cos(－x) ＝－x3cos x＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 又f(x)＝g(x)＋1， ∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9. 9.(10分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2cos；(5分) (2)f(x)＝cos x－x3sin x.(5分) 解　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(x)＝2cos2cos ＝－2sin x， ∴f(－x)＝－2sin ＝2sin x＝－f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x) ＝cos x－x3sin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. 10.(11分)已知函数y＝sin2x＋cos x－4，x∈[0，2π)，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值. 解　y＝sin2x＋cos x－4＝－cos2x＋cos x－3，x∈[0，2π)， 令t＝cos x，则t∈[－1，1]， y＝－t2＋t－3＝－－1≤t≤1， 当t时，函数取得最大值－此时cos x由于x∈[0，2π)，则x或x； 当t＝－1时，函数取得最小值－5，此时cos x＝－1，由于x∈[0，2π)，则x＝π， 综上，当x或x时，函数取得最大值－； 当x＝π时，函数取得最小值－5. 11.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)则f 的值等于(　　) A.1 B. C.0 D.－ 答案　B 解析　f f ＝f sin . 12.(多选)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为(　　) A.2 B.－2 C.0 D.－1 答案　AB 解析　当a>0时得 所以ab＝2. 当a<0时得 所以ab＝－2， 综上所述，ab＝±2. 13.函数f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　D 解析　由题意知sin x≠1，即f(x)的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称.∴f(x)是非奇非偶函数. 14.(5分)已知f(n)＝2cos 则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝　　　.  答案　0 解析　易知f的最小正周期为6，且f(0)＝2，f2cos 1，f－1，f－2，f－1，f1，f2， 所以f＋f＋…＋f0， 所以f＋f＋f＋…＋f337×0＋f＋f＋f＋f(3)＝0. 15.已知函数f(x)＝sin x＋则下列选项正确的是(　　) A.函数f(x)的最大值为－2 B.函数f(x)的最小值为－2 C.函数f(x)的最大值为－3 D.函数f(x)的最小值为－3 答案　C 解析　因为x∈令t＝sin x，则y＝t＋t∈[－1，0)， 由于y＝t＋在(－0)上单调递减，在(－∞，－)上单调递增， 故y＝t＋在[－1，0)上单调递减， 故当t＝－1，即x＝－时，函数f(x)取得最大值，为－3； 当t<0，t→0时，y＝t＋→－∞，函数f(x)无最小值. 16.(12分)设f(x)＝log3. (1)求函数f(x)的定义域；(5分) (2)判断函数f(x)的奇偶性；(5分) (3)试判断f(x)是否为周期函数？若是，直接写出f(x)的最小正周期.(2分) 解　(1)∵>0， ∴－<sin x< ∴kπ－<x<kπ＋k∈Z， ∴该函数的定义域为. (2)由(1)知定义域关于原点对称， 又f(－x)＝log3 ＝log3 ＝－log3－f(x)， ∴该函数为奇函数. (3)f(x)为周期函数，T＝2π. 学科网（北京）股份有限公司 $