第5章 5.3.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的图象这一核心知识点，衔接三角函数定义，通过单位圆法、五点法构建图象画法，为后续性质学习奠定基础，以问题链引导学生从函数研究一般步骤逐步深入图象绘制与联系理解。 以单摆实验情境导入，用数学眼光观察现实现象抽象正弦曲线，通过问题驱动（如“五点法关键点选取”）培养数学思维，结合数形结合解决不等式、交点问题强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后例题与对点练帮助学生查漏补缺。

5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标　1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象.2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 导语 如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.你能描述一下该类曲线的特征吗？ 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质. 问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点S(x0，sin x0)？ 提示　如图，在x轴上任取一点O'，以O'为圆心，单位长为半径作圆，交x轴于点A.在☉O'中，设的长为x0(即∠AO'P＝x0)，则MP＝sin x0.所以点S(x0，sin x0)是以的长为横坐标，正弦线MP的数值为纵坐标的点. 问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？ 提示　在☉O'中，作出对应于…的角及相应的正弦线.相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份.把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示. 最后我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图所示. 问题4　如何画余弦函数的图象呢？ 提示　根据诱导公式sincos x，将正弦曲线向左平移个单位长度，可得到余弦函数的图象. 知识梳理　正弦函数、余弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 注意点： 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫作正弦曲线，余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫作余弦曲线，它们都是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 例1　(多选)下列叙述正确的有(　　) A.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称 B.y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称 C.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象在x＝π时达到最高点 D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围 答案　ABD 解析　由函数y＝sin x和y＝cos x的图象，易知ABD均正确. 反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 跟踪训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　) A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B.都是对称图形 C.都与x轴有无数个交点 D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 答案　A 解析　由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确. 二、“五点法”画函数的图象 问题5　如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图？ 提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)(π，0)(2π，0).余弦曲线类似. 知识梳理　“五点法”作图 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 关键 五点 (0，0)(π，0)(2π，0) (0，1)(π，－1)(2π，1) 例2　(课本例1)用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y＝1＋sin x，x∈[0，2π]； (2)y＝2cos x，x∈[0，2π]. 解　(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图. (2)按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x 2 0 －2 0 2 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图. 例2　用“五点法”作下列函数的图象： (1)y＝1－2sin x，x∈[0，2π]； (2)y＝cos x＋x∈[－π，π]. 解　(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－2sin x 1 －1 1 3 1 描点连线，画图如下. (2)列表： x －π － 0 π cos x －1 0 1 0 －1 cos x＋ － － 描点连线，画图如下. 反思感悟　“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0ππ，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 跟踪训练2　用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y＝－sin x，y＝2－cos x在[－π，π]上的图象. 解　列表： x －π － 0 π －sin x 0 1 0 －1 0 2－cos x 3 2 1 2 3 描点连线，画图如下. 三、正弦函数、余弦函数图象的应用 角度1　利用函数图象解不等式 例3　不等式2sin x－1≥0，x∈[0，2π]的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为2sin x－1≥0，所以sin x≥. 在同一平面直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y的图象. 由函数的图象知，sin sin . 所以根据图象可知，原不等式的解集为. 延伸探究1　在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集. 解　因为不等式在x∈[0，2π]上的解集为.所以当x∈R时，不等式的解集为. 延伸探究2　试求关于x的不等式<sin x≤. 解　作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y和y如图所示. 由图可知，在[0，2π]上，当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立，所以原不等式的解集为. 反思感悟　用三角函数图象解不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集. 角度2　与函数图象有关的交点问题 例4　方程sin x＝lg x的实数根有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 答案　C 解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝sin x与y＝lg x的图象. 由图可知两函数图象有三个交点，所以方程sin x＝lg x有3个实数根. 反思感悟　(1)对于三角函数图象与直线的交点问题，正确画出图象是解决问题的关键. (2)对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握. 跟踪训练3　(1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是　　　　，所有的实数解的和为　　　　.  答案　2　0 解析　作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且这两个实数解的和为0. (2)求函数f(x)的定义域. 解　要使函数有意义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0， 即2sin2x－sin x－1≤0， 解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象，可得. 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的图象的画法. (2)“五点法”作图. (3)正弦、余弦函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：五点法作图时选取点错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.已知余弦函数过点则m的值为(　　) A.0 B.－1 C. D. 答案　C 解析　设余弦函数为y＝cos x， 由函数过点可得m＝cos. 2.已知函数f(x)＝sing(x)＝cos则f(x)的图象(　　) A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位长度，得g(x)的图象 D.向右平移个单位长度，得g(x)的图象 答案　D 解析　f(x)＝sin g(x)＝coscossin x， f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象. 3.在[0，2π]上，函数y的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是. 4.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) 答案　D 解析　由题意得 y显然只有D合适. 5.(多选)用“五点法”画y＝3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C.(π，0) D.(2π，3) 答案　AD 解析　五个关键点的横坐标依次是0π2π.代入计算得B，C是关键点. 6.(多选)下列能使cos x>sin x，x∈(0，2π)成立的是(　　) A. B. C. D.∪ 答案　AC 解析　在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0，2π)上，当cos x＝sin x时，x或x结合图象可知满足cos x>sin x的是和. 7.(5分)函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y的交点有　　　　个.  答案　2 解析　作出函数y＝1＋cos x，x∈[0，2π]的图象(图略)，由图象可知函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y的交点有2个. 8.(5分)已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点则m＝　　　　；若f(x)<0，则x的取值集合为　　　　　　　　　　.  答案　1　 解析　当x时， f(x)＝2cos ＋1＝1， ∴m＝1. f(x)<0，即cos x<－ 作出y＝cos x在x∈[0，2π]上的图象，如图所示. 由图知x的取值集合为. 9.(10分)用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]. 解　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示. 10.(10分)若方程sin x在x∈上有两个实数根，求a的取值范围. 解　在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y的图象，由图象可知，当≤<1，即当－1<a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y的图象有两个交点，即方程sin x在x∈上有两个实数根. 11.当x∈(0，2π)时，函数f(x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交点的横坐标之和为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案　A 解析　作出函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|在(0，2π)上的图象，如图所示. 从图象上可得函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|的图象在(0，2π)内有两个交点， 由sin x＝cos x，x∈即tan x＝1，x∈得x； 由sin x＝－cos x，x∈即tan x＝－1，x∈得x 则所有交点的横坐标之和为π. 12.(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个交点，则a的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.－2 答案　BD 解析　画出y＝sin x－1的图象.如图. 依题意得a＝0或a＝－2. 13.(5分)若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为　　　　　.  答案　∪∪ 解析　当x>0时，f(x)＝cos x>0，且x∈[－2π，2π]， 解得不等式的解集为∪； 当x<0时，f(x)<0，且x∈[－2π，2π]，解得不等式的解集为. 所以不等式xf(x)>0的解集为∪∪. 14.(5分)函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　.  答案　4π 解析　如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π. 15.(5分)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为　　　　.(用“<”连接)  答案　a<c<b 解析　函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点转化为y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象如图所示， 由图象可知a<0，b>0，c＝0， 所以a<c<b. 16.(12分)求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数. 解　由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0， 得sin x＋2|sin x|＝|log2x|. 令f(x)＝sin x＋2|sin x| k∈Z， g(x)＝|log2x|， 在同一平面直角坐标系中，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解. 学科网（北京）股份有限公司 $