5.3.2 正切函数的图象与性质(Word教参)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步导学案 湘教版（2019）

5．3.2　正切函数的图象与性质 学习目标 知识导图 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(数学抽象) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(逻辑推理) 授课提示：对应学生用书第118页 [问题导学] 1．如何借助单位圆画正切函数图象？ 2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？ 3．正切函数在定义域内是不是单调函数？　　　 [知识梳理] 知识点　正切函数的性质与图象 1. 图象 定义域 值域 R 周期性 最小正周期：π 奇偶性 奇函数 单调性 递增区间，k∈Z 对称性 对称中心坐标，k∈Z 2.正切函数图象的画法 (1)当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象，如图所示． 再根据奇函数的性质得出的图象，根据周期性作其他周期内的图象． (2)“三点两线法” “三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． 微练习 1．y＝tan(x＋π)是(　　) A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：f(x)＝tan(x＋π)＝tan x， ∵函数的定义域为. 又∵f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 答案：A 2．函数y＝tan x，x∈的值域是________． 解析：y＝tan x在x∈上是增函数，所以tan 0≤y≤tan ，0≤y≤1. 答案：[0,1] 授课提示：对应学生用书第119页 题型1　正切函数的定义域、值域 [例1]　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝tan；(2)y＝. [解析]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得， x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为， 其值域为(－∞，＋∞)． (2)由－tan x≥0得，tan x≤. 结合y＝tan x的图象可知，在上， 满足tan x≤的角x应满足－<x≤，所以函数y＝的定义域为 ，其值域为[0，＋∞)． 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x>a的不等式的步骤： [跟踪训练] 1．求函数y＝3tan的定义域和值域． 解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)得 x≠＋(k∈Z)，所以函数y＝3tan的定义域为，其值域为(－∞，＋∞)． 题型2　正切函数的单调性及应用 [例2]　(1)求函数y＝tan的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小． [解析]　(1)y＝tan＝－tan， 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z. ∴函数y＝tan的单调递减区间是 ，k∈Z. (2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π，∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [跟踪训练] 2．比较tan π与tan的大小． 解析：tan π＝tan＝tan ， tan＝－tan π＝－tan＝－tan＝tan ， ∵－<<<， y＝tan x在上单调递增， ∴tan <tan ， 即tan π>tan. 题型3　正切函数的周期性、奇偶性 [例3]　已知函数y＝tan(ω＜0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断函数的奇偶性． [解析]　y＝tan(ω＜0)的周期为＝，解得ω＝2或ω＝－2. 因为ω＜0，所以ω＝－2， 故y＝tan＝－tan. 由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)， 所以该函数的定义域为，值域为R. 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数