第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“同角三角函数的基本关系”核心知识点，承接三角函数定义，通过表格观察和单位圆推导得出平方关系（sin²α + cos²α = 1）与商数关系（tanα = sinα/cosα），再分角度应用于求值、sinθ±cosθ型问题及化简证明，构建完整学习支架。 该资料以老歌歌词类比知识点联系激发兴趣，体现数学眼光，通过问题引导学生自主发现关系培养推理意识。例题分层且方法总结清晰，课中助力教师高效授课，课后练习覆盖基础与提升，帮助学生查漏补缺，发展数学语言表达与逻辑思维。

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 导语 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟嘛共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 一、利用同角三角函数的基本关系求值 问题1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1. 知识梳理　同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：tan α.  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 注意点： (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立. (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α仅对α∈成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 角度1　直接利用基本关系式求值 例1　(1)(课本例5)已知sin α＝－求cos α，tan α的值. 解　因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α＋cos2α＝1得 cos2α＝1－sin2α＝1－. 如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是 cos α＝－－ 从而tan α×. 如果α是第四象限角，那么cos αtan α＝－. (2)(课本例6)已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α. 解　由角α在第三象限知：sin α<0，cos α<0. 由tan α＝k，得sin α＝kcos α.将上式代入sin2α＋cos2α＝1，得k2cos2α＋cos2α＝1， 即cos2α. 因此cos α＝－ sin α＝tan α·cos α＝－. 例1　已知cos α＝－求sin α，tan α的值. 解　∵cos α＝－<0， ∴α是第二或第三象限角. ①当α是第二象限角时，则 sin α tan α－； ②当α是第三象限角时，则 sin α＝－－tan α. 反思感悟　(1)已知sin α(或cos α)求tan α常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解. (3)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 角度2　利用弦切互化求值 例2　已知tan α＝2. (1)求的值； (2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. 解　(1)方法一　(代入法) ∵tan α＝2，∴2， ∴sin α＝2cos α. ∴－. 方法二　(弦化切) ∵tan α＝2. ∴－. (2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α . 反思感悟　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的. (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. 跟踪训练1　(1)已知tan α且α是第三象限角，求sin α，cos α的值. 解　由tan α得sin αcos α. ① 又sin2α＋cos2α＝1， ② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α. 又α是第三象限角， 则cos α＝－sin αcos α＝－. (2)已知tan α＝－4，求. 解　 . 二、sin θ±cos θ型求值问题 例3　(课本例8)已知sin α＋cos α求sin α·cos α的值. 解　因为sin α＋cos α 两边平方，得(sin α＋cos α)2 即sin2α＋cos2α＋2sin α·cos α. 将sin2α＋cos2α＝1代入上式，得 sin α·cos α×－. 例3　已知sin θ＋cos θθ∈(0，π)，求sin θ－cos θ的值. 解　方法一　由sin θ＋cos θ 得cos θ－sin θ. 又sin2θ＋cos2θ＝1， 代入得sin2θ＋1， 整理得sin2θ－sin θ－0， 即0， 解得sin θ＝－或sin θ. 又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ. 所以cos θ－sin θ－ sin θ－cos θ. 方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0， 又sin θ＋cos θ两边平方， 整理得sin θcos θ＝－<0，所以cos θ<0， 所以sin θ－cos θ>0， 又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋ 所以sin θ－cos θ. 反思感悟　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”. (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号. 跟踪训练2　已知sin α＋cos αα∈(0，π)，则tan α＝　　　　.  答案　－ 解析　∵sin α＋cos α ① ∴(sin α＋cos α)2 即2sin αcos α＝－<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈ 故sin α－cos α ② 由①②可得sin αcos α＝－tan α＝－. 三、利用同角三角函数的基本关系化简与证明 角度1　化简三角函数式 例4　化简： (1)； (2)sin2αtan α＋＋2sin αcos α. 解　(1)原式 1. (2)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α . 反思感悟　利用同角三角函数基本关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称. (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号. (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简. 角度2　三角恒等式的证明 例5　(课本例7)求证：1＋tan2α. 证明　1＋tan2α＝1＋. 例5　求证：. 证明　方法一　左边 右边. 所以原等式成立. 方法二　因为(sin α－cos α＋1)cos α＝sin αcos α－cos2α＋cos α ＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α) ＝cos α(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α) ＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)， 且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0， 所以. 反思感悟　证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. (4)变更命题法，如要证明可证ad＝bc，或证等. (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“1”. 跟踪训练3　(1)化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 解　原式cos2α ·cos2α ＝1＋1＝2. (2)求证：. 证明　左边 右边. 所以原等式成立. 1.知识清单： (1)利用同角三角函数的基本关系求值. (2)sin θ±cos θ型求值问题. (3)利用同角三角函数的基本关系化简与证明. 2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区：忽视对角所在的象限进行分类讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知α是第四象限角，cos α则sin α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α＝－－－. 2.已知sin φ＝－且|φ|<则tan φ等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　∵sin φ＝－ ∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－ 又|φ|<即－<φ<∴cos φ>0， ∴cos φ ∴tan φ－. 3.若tan α＝2，则2sin αcos α等于(　　) A.± B.－ C. D. 答案　D 解析　2sin αcos α . 4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　) A. B. C.1 D. 答案　C 解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α) ＝sin2α＋cos2α＝1. 5.已知sin α＋cos α则tan α＋等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　B 解析　因为sin α＋cos α 平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α又sin2α＋cos2α＝1，故sin αcos α 则tan α＋. 6.(多选)下列计算或化简结果正确的有(　　) A.若sin θcos θ则tan θ＋2 B.若tan x则1 C.若sin α则tan α＝2 D.若α为第一象限角，则2 答案　AD 解析　A正确，tan θ＋ 2； B不正确2； C不正确，∵α的范围不确定， ∴tan α的符号不确定； D正确，∵α为第一象限角， ∴原式2. 7.(5分)若α是第三象限角且cos α＝－则sin α＝　　　　，tan α＝　　　　.  答案　－　 解析　∵α是第三象限角且cos α＝－ ∴sin α＝－－ ∴tan α. 8.(5分)若0<θ<π，sin θcos θ＝－则sin θ－cos θ＝　　　　.  答案　 解析　∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0， ∴sin θ>0，cos θ<0. ∴sin θ－cos θ>0. ∴sin θ－cos θ . 9.(10分)已知tan α求下列各式的值. (1)；(5分) (2).(5分) 解　(1) . (2) . 10.(10分)(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；(5分) (2)求证：·1.(5分) (1)解　因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. tan α tan α ＝tan α ··－1. (2)证明　· · ·1. 11.化简(1－cos α)的结果是(　　) A.sin α B.cos α C.1＋sin α D.1＋cos α 答案　A 解析　原式(1－cos α) (1－cos α)sin α. 12.(多选)已知α∈R，sin α＋2cos α则tan α的值为(　　) A.－3 B.－ C. D.3 答案　BD 解析　因为sin α＋2cos α 又sin2α＋cos2α＝1， 联立解得或 故tan α－或3. 13.若θ∈(0，π)，tan θ＋6，则sin θ＋cos θ等于(　　) A. B.－ C.± D. 答案　A 解析　因为tan θ＋6，所以sin θcos θ 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ又θ∈(0，π)，sin θcos θ>0，sin θ>0，则cos θ>0， 所以sin θ＋cos θ. 14.(5分)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈则的值为　　　　.  答案　 解析　由题意得 所以 sin θ＋cos θ. 15.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，OM＝m(m>0)，定义f(θ)g(θ)则(　　) A.f ＋g1 B.f(θ)g(θ)是奇函数 C.若2，则tan θ D.[f(θ)]2＋[g(θ)]2＝2 答案　AD 解析　根据条件及三角函数的定义知，f(θ)sin θ＋cos θ，g(θ)sin θ－cos θ， 对于选项A，f ＋gsin＋cos ＋sin －cos 2sin 1，故选项A正确； 对于选项B，f(θ)g(θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin2θ－cos2θ，且定义域为R， 所以f(－θ)g(－θ)＝sin2(－θ)－cos2(－θ)＝sin2θ－cos2θ＝f(θ)g(θ)，所以f(θ)g(θ)为偶函数，故选项B错误； 对于选项C，因为2，解得tan θ＝3，故选项C错误； 对于选项D，[f(θ)]2＋[g(θ)]2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2sin2θ＋2cos2θ＝2，故选项D正确. 16.(12分)已知sin x＋cos x＝t，t∈[0]. (1)当t且x是第四象限角时，求sin3x－cos3x的值；(5分) (2)若关于x的方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，求a的取值范围.(7分) 参考公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 解　(1)因为t即sin x＋cos x则(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 即sin xcos x＝－ 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x. 因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－ 所以sin3x－cos3x＝(sin x－cos x)(sin2x＋sin xcos x＋cos2x)＝－×－. (2)由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝t2，可得sin xcos x(t2－1)， 则方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1可化为－t2＋at－0，t∈. ①当t＝0时，－≠0，显然方程无解； ②当0<t≤时，方程－t2＋at－0等价于a由基本不等式可得≥×21，当且仅当t＝1时，等号成立， 又当t→0时，t＋→＋∞， 故a≥1， 所以要使得关于x的方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，则a≥1. 故a的取值范围是[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $