第4章 4.2.2 第2课时 指数函数的图象与性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦指数函数单调性的应用这一核心知识点，系统梳理利用单调性比较大小（分底数相同、指数相同、底数指数均不同三种类型）、解指数不等式（含底数分类讨论）及综合运用（结合奇偶性等性质）的方法，构建从指数函数基本性质到实际应用的递进式学习支架。 该资料通过分层例题设计与反思感悟结合，以比较大小中“中间值法”、解不等式中“底数分类讨论”等实例，培养学生逻辑推理的数学思维，提升用数学语言精确表达问题的能力。课中助力教师引导学生掌握方法，课后学生可通过跟踪训练和课时对点练巩固知识，有效查漏补缺。

第2课时　指数函数的图象与性质(二) 学习目标　1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题. 一、利用单调性比较大小 例1　(课本例4)比较下列各组中两个数的大小： (1)3.51.5,3.51.3；(2)0.31.5,0.31.3；(3)0.70.8,0.80.7. 解　(1)3.51.5,3.51.3可看作函数y＝3.5x的两个函数值. 由于底数3.5>1,所以指数函数y＝3.5x在R上是增函数. 因为1.5>1.3,所以3.51.5>3.51.3. (2)0.31.5,0.31.3可看作函数y＝0.3x的两个函数值. 由于底数0.3<1,所以指数函数y＝0.3x在R上是减函数. 由于1.5>1.3,所以0.31.5<0.31.3. (3)因为y＝0.7x在R上是减函数,所以0.70.8<0.70.7. 由>1得0.70.7<0.80.7. 所以0.70.8<0.70.7<0.80.7. 例1　比较下列各组数的大小： (1)1.11.1,1.10.9；(2)0.1－0.2,0.10.9； (3)30.1,π0.1；(4)1.70.1,0.91.1；(5)0.70.8,0.80.7. 解　(1)因为y＝1.1x是增函数,1.1>0.9, 故1.11.1>1.10.9. (2)因为y＝0.1x是减函数,－0.2<0.9, 故0.1－0.2>0.10.9. (3)因为y＝x0.1在[0,＋∞)上递增,3<π, 故30.1<π0.1. (4)因为1.70.1>1.70＝1,0.91.1<0.90＝1, 故1.70.1>0.91.1. (5)取中间值0.70.7,因为0.70.8<0.70.7<0.80.7, 故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8,即0.70.8<0.80.8<0.80.7). 反思感悟　一般地,比较幂大小的方法有 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断. 跟踪训练1　(1)下列大小关系正确的是(　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 答案　B 解析　0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4. (2)设a＝0.60.6,b＝0.61.5,c＝1.50.6,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 答案　C 解析　∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1, 故1.50.6>0.60.6, 又函数y＝0.6x在R上是减函数,且1.5>0.6, ∴0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. 二、解指数不等式 例2　(1)解不等式≤2； (2)已知<ax＋6(a>0,且a≠1),求x的取值范围. 解　(1)∵2＝ ∴原不等式可以转化为≤. ∵y＝在R上是减函数, ∴3x－1≥－1,∴x≥0, 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)分情况讨论：①当0<a<1时,函数f(x)＝ax在R上是减函数, ∴x2－3x＋1>x＋6,∴x2－4x－5>0, 解得x<－1或x>5； ②当a>1时,函数f(x)＝ax在R上是增函数, ∴x2－3x＋1<x＋6, ∴x2－4x－5<0,解得－1<x<5, 综上所述,当0<a<1时,x的取值范围是{x|x<－1或x>5}； 当a>1时,x的取值范围是{x|－1<x<5}. 反思感悟　(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 跟踪训练2　(1)若函数f(x)的定义域为则函数f(3x)的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数f(x)的定义域为 令<3x≤1,即3－1<3x≤30,又y＝3x在R上是增函数,解得－1<x≤0, 故函数f(3x)的定义域为(－1,0]. (2)不等式23－2x<0.53x－4的解集为　　　　.  答案　{x|x<1} 解析　原不等式可化为23－2x<24－3x, 因为函数y＝2x在R上是增函数, 所以3－2x<4－3x,解得x<1,则所求不等式的解集为{x|x<1}. 三、指数函数图象和性质的综合运用 例3　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解　(1)由题意,得f(0)＝＝0, 解得a＝1,所以f(x)＝ 经检验,该函数是奇函数. 该函数是R上的减函数,证明如下： 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x2)－f(x1)＝ ＝. 因为x1<x2,所以0<< 所以<0,(1＋)(1＋)>0, 所以f(x2)－f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). 所以该函数在定义域R上是减函数. (2)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0, 得f(t2－2t)<－f(2t2－k). 因为f(x)是奇函数,所以f(t2－2t)<f(k－2t2), 由(1)知,f(x)是减函数,所以t2－2t>k－2t2, 即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立, 所以Δ＝4＋12k<0,得k<－ 则实数k的取值范围是. 反思感悟　函数性质的综合应用 (1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. (2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的一元二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解. 跟踪训练3　设a>0,函数f(x)＝是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[1,3]上的值域. 解　(1)由f(x)＝f(－x),得 即4x＝0, 所以＝0, 根据题意,可得－a＝0, 又a>0,所以a＝1. (2)由(1)可知f(x)＝4x＋ 设任意的x1,x2∈(0,＋∞),且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝ ＝(. 因为0<x1<x2,所以< 所以<0. 又因为x1＋x2>0,所以>1, 所以1－>0, 所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[1,3]上的最大值为f(3)＝43＋；最小值为f(1)＝4＋. 故f(x)在[1,3]上的值域为. 1.知识清单： (1)比较大小. (2)解不等式、方程. (3)指数函数性质的综合运用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：研究y＝型函数,易忽视讨论a>1还是0<a<1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共45分；多选题每小题6分,共6分 1.已知集合A＝{x|2x≥1},B＝{x|3－x>2},则A∩B等于(　　) A.{x|x>1} B.{x|0≤x<1} C.{x|x≤0} D.{x|－1<x≤0} 答案　B 解析　因为2x≥1＝20,x≥0, 所以集合A＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}, 而B＝{x|x<1},则A∩B＝{x|0≤x<1}. 2.若<则实数a的取值范围是(　　) A. B.(1,＋∞) C.(－∞,1) D. 答案　A 解析　因为函数y＝在R上为减函数, 且<所以2a＋1>8－2a, 所以a>. 3.已知函数f(x)＝3x－则f(x)(　　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 答案　A 解析　因为f(x)＝3x－定义域为R, f(－x)＝3－x－－3x ＝－＝－f(x), 所以函数f(x)是奇函数. 又y＝3x在R上是增函数,y＝在R上是减函数, 所以f(x)＝3x－在R上是增函数. 4.设a＝b＝c＝则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a 答案　A 解析　因为y＝(x>0)为增函数,所以a>c. 因为y＝(x∈R)为减函数,所以c>b, 所以a>c>b. 5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0,且a≠1)满足f(1)＝则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(－∞,2) B.(2,＋∞) C.(－2,＋∞) D.(－∞,－2) 答案　B 解析　由f(1)＝得a2＝ 所以a＝即f(x)＝. 由于y＝|2x－4|在(－∞,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,y＝在R上是减函数, 所以f(x)在(－∞,2)上单调递增,在(2,＋∞)上单调递减.故f(x)的单调递减区间是(2,＋∞). 6.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　) A.6 B.1 C.3 D. 答案　C 解析　函数y＝ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0＋a1＝3,解得a＝2,因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增,当x＝1时,ymax＝3. 7.(5分)已知函数f(x)＝为奇函数,则n的值为　　　　.  答案　2 解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(0)＝＝0,解得n＝2. 8.(5分)函数f(x)＝(a>0,且a≠1)是减函数,则a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意知f(x)是减函数, 则即≤a<1. 故a的取值范围是. 9.(9分)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2；(3分) (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3分) (3)1.20.3和0.81.2.(3分) 解　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数,2.5<3.2, ∴1.52.5<1.53.2. (2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数,－1.2>－1.5, ∴0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质知1.20.3>1.20＝1, 又0.81.2<0.80＝1,∴1.20.3>0.81.2. 10.(12分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,又g(2x－1)<g(3x),求x的取值范围. 解　设f(x)＝ax(a>0且a≠1), 因为图象过点P(3,8),所以a3＝8,即a＝2, 所以f(x)＝2x, 又因为g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称, 所以g(x)＝ 因此g(2x－1)<g(3x), 即< 又函数g(x)＝在R上是减函数, 所以2x－1>3x,解得x<－1. 所以x的取值范围为(－∞,－1). 11.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是(　　) A.1.72.5<1.73 B.0.8－0.1<0.8－0.2 C.1.50.4<0.82.6 D.> 答案　AB 解析　∵函数y＝1.7x在R上为增函数,2.5<3, ∴1.72.5<1.73,A正确； ∵函数y＝0.8x在R上为减函数,－0.1>－0.2, ∴0.8－0.1<0.8－0.2,B正确； ∵1.50.4>1.50＝1,0.82.6<0.80＝1, ∴1.50.4>0.82.6,C错误； ∵ 且 ∵<∴<D错误. 12.设a＝1.4b＝1.c＝则(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b 答案　B 解析　1.44<故1.4<即c>a； >即a>b,故c>a>b. 13.若函数f(x)＝的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　) A.[－1,0] B.[－] C.(0] D.R 答案　B 解析　由题意可得－2≥0对任意x∈R恒成立,即≥2,且y＝2x为增函数, 可得x2－2ax＋3≥1, 即x2－2ax＋2≥0对任意x∈R恒成立, 则Δ＝4a2－8≤0,解得－≤a≤. 14.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0),若f(x－2)>0,则x的取值范围是(　　) A.(－∞,0) B.(0,4) C.(4,＋∞) D.(－∞,0)∪(4,＋∞) 答案　D 解析　当x≥0时,令f(x)＝2x－4>0, 解得x>2. 又∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴其图象关于y轴对称,∴不等式f(x)>0在R上的解集为(－∞,－2)∪(2,＋∞). ∴不等式f(x－2)>0等价为x－2∈(－∞,－2)∪(2,＋∞),解得x∈(－∞,0)∪(4,＋∞). 15.(5分)已知函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4),当x∈[－1,3)时,f(x)＝2x＋a,且f(2 023)＝4,则当x∈[－7,－3)时,不等式f(x)>的解集为　　　　　　　　　.  答案　[－7,－5)∪(－4,－3) 解析　由f(x)＝f(x＋4)知,函数f(x)是周期函数,周期为4, 则f(2 023)＝f(－1)＝＋a＝4,得a＝ 所以当x∈[－1,3)时,f(x)＝2x＋ 当x∈[－7,－5)时,x＋8∈[1,3), 则f(x)＝f(x＋8)＝2x＋8＋≥>； 当x∈[－5,－3)时,x＋4∈[－1,1), 则f(x)＝f(x＋4)＝2x＋4＋令f(x)>得x>－4,即x∈(－4,－3), 综上可知,当x∈[－7,－3)时,不等式f(x)>的解集为[－7,－5)∪(－4,－3). 16.(13分)设函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R,k∈Z). (1)若fk(x)是偶函数,求实数k的值；(5分) (2)若存在x∈使得f0(x)＋mf1(x)≤4成立,求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)若fk(x)是偶函数,则fk(－x)＝fk(x), 即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x, 即2－x－2x＝(k－1)·2－x－(k－1)·2x ＝(k－1)(2－x－2x), 则k－1＝1,即k＝2. (2)存在x∈使得f0(x)＋mf1(x)≤4成立, 即m·2x≤4－2x＋2－x成立, 则∃x∈[1,2],使得m≤＝4·2－x＋－1成立, 设t＝2－x,因为1≤x≤2,所以≤t≤ 所以4·2－x＋－1＝t2＋4t－1, 令y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5, 因为≤t≤所以当t＝时,y取得最大值＋2－1＝ 则m≤ 所以实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $