第5章 5.2.3 第1课时 诱导公式(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式(一)，系统梳理诱导公式一至四的推导与应用，以前期特殊角三角函数值为基础，通过单位圆终边对称关系构建知识支架，实现任意角到锐角三角函数的转化。 资料以问题驱动推导过程，结合表格呈现公式及终边关系，例题分层设计培养数学思维，如“负化正、大化小”步骤训练推理能力，课中辅助教师引导学生构建逻辑体系，课后对点练助学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

5.2.3　诱导公式　 第1课时　诱导公式(一) 学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 导语 在前面的学习中，我们知道一些特殊的锐角以及特殊的0°~360°角的三角函数值，我们能否把任意角转化为0°~360°或者锐角的三角函数值呢？这是我们今天要学习的内容. 一、诱导公式一~四 问题1　终边相同的角的三角函数值有何关系？ 提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 问题2　观察图象，思考我们是如何定义三角函数的？ 提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z. 问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？根据探究思路，再思考一下α与π－α，α与－α的关系？ 提示　设P1(x，y)，则P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos αtan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α).所以sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 知识梳理　诱导公式一~四 终边关系 图示 公式 公式一 角α＋2kπ与角α的终边相同 sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝ cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z 公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式三 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 注意点： (1)函数名称不变. (2)运用公式时把α“看作”锐角来确定符号. (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠＋kπ，k∈Z. 例1　(1)(课本例9)求下列各三角函数值： ①sin 81π；②tan 765°. 解　①sin 81π＝sin(40×2π＋π)＝sin π＝0； ②tan 765°＝tan(2×360°＋45°)＝tan 45°＝1. (2)(课本例10)求下列各三角函数值： ①sin；②cos ；③tan ；④cos . 解　①sin－sin －； ②cos －cos －； ③tan 1； (4)cos＝cos＝cos＝cos. 例1　求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°； (2)cos； (3)tan(－945°). 解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(240°＋3×360°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin(－120°＋4×360°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－. (2)方法一　coscos cos ＝cos－cos －. 方法二　coscos ＝cos－cos －. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1. 反思感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或二来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1　(1)sin 750°＝　　　　；cos(－2 040°)＝　　　　；  (2)sin ＋tan －cos　　　.  答案　(1)　－　(2)0 解析　(1)sin 750°＝sin(30°＋2×360°) ＝sin 30°. cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(240°＋5×360°) ＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－. (2)原式＝sin＋tan－cos ＝sin ＋tan－cos ＝sin －tan ＋cos －1＋0. 二、利用公式进行化简 例2　(课本例11)化简：··. 解　原式＝·· ＝··＝－1. 例2　化简：(1)； (2). 解　(1)原式 1. (2)原式 －1. 反思感悟　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan. 跟踪训练2　化简：. 解　原式 ·1. 三、给值(式)求值 例3　已知cos则cos＝　　　　.  答案　－ 解析　coscos ＝－cos－. 延伸探究1　若本例中的条件不变，如何求cos？ 解　coscos ＝cos ＝cos. 延伸探究2　若本例中的条件不变，求cos－sin2的值. 解　sin2sin2 ＝1－cos2 ＝1－ 所以cos－sin2－ ＝－. 反思感悟　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 跟踪训练3　(1)已知sin(π＋α)且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　) A.－ B. C.± D. 答案　B 解析　由sin(π＋α)得sin α＝－ 因为α是第四象限角， 所以cos(α－2π)＝cos α. (2)已知sin－且θ∈则cos　　　　.  答案　－ 解析　coscos ＝－cos ∵θ∈∴θ－∈ ∴cos>0， 即cos ∴cos－. 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)诱导公式一~四及其应用. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：符号的确定. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.sin 585°的值是(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－. 2.化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为(　　) A.1 B.2sin2α C.0 D.2 答案　D 解析　原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2. 3.若sin(π＋α)α∈则tan(3π－α)等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 答案　D 解析　∵sin(π＋α)α∈ ∴sin α＝－cos α＝－－ tan α ∴tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－. 4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　∵sin(－110°)＝－sin 110° ＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a， ∴sin 70°＝－a， ∴cos 70° ∴tan 70°－. 5.已知sin(－π－α)且α为第二象限角，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　∵sin(－π－α) ∴－sin(π＋α)∴sin α ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ ∴cos α＝－. 6.(多选)已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有(　　) A.sin(B＋C)＝sin A B.cos(B＋C)＝cos A C.tan(B＋C)＝tan A D.sin2A＋cos2(B＋C)＝1 答案　AD 解析　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A， sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确； cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误； sin2A＋cos2(B＋C)＝sin2A＋cos2A＝1，D正确. 7.(5分)计算：sincos 　　　　.  答案　 解析　原式＝－sincos ＝－sin·sin ·cos . 8.(5分)　　　　.  答案　－2 解析　原式 －2. 9.(10分)已知f(α). (1)化简f(α)；(2分) (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)求f(α)的值；(4分) (3)若α＝－求f(α)的值.(4分) 解　(1)f(α)－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α ∴sin α＝－.又α是第三象限角， ∴cos α＝－.∴f(α). (3)∵α＝－－6×2π＋ ∴f(α)＝f －cos ＝－cos －cos －. 10.(11分)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角. 解　由题意得sin Asin B， cos Acos B， 等式两边分别平方并相加得 2cos2A＝1，cos A＝± 又因为A∈(0，π)，所以A或. 当A时，cos B＝－<0，所以B∈ 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去. 所以Acos B 所以B所以C. 综上所述，ABC. 11.已知sin且α∈则cos的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　C 解析　∵sinsin ＝sin 且α∈ ∴－α∈ ∴cos. 12.(多选)已知A(k∈Z)，则A的值是(　　) A.－1 B.－2 C.1 D.2 答案　BD 解析　当k＝2n，n∈Z时， A 2， 当k＝2n＋1，n∈Z时， A ＝－2. 13.(5分)比较大小：sin 570°　　　　cos 510°.  答案　> 解析　sin 570°＝sin(360°＋210°)＝sin 210° ＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－ cos 510°＝cos(360°＋150°)＝cos 150° ＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－ ∵－>－∴sin 570°>cos 510°. 14.(5分)黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin 198°＝　　　　　　.  答案　－ 解析　如图，在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，点D为BC的中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以∠BAD＝18° 所以sin∠BAD ·sin 18°， 所以sin 198°＝－sin 18°＝－. 15.(5分)高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数f(x)＝[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[3.65]＝3，[－1.27]＝－2.若函数f(k)(k∈Z)，则f(k)的值域为　　　　.  答案　{0，1} 解析　当k为偶数时，sinsin 所以f(k)1； 当k为奇数时，sin－sin 所以f(k)＝[0]＝0， 所以f(k)的值域为{0，1}. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0). (1)若x0求sin2(π－α)－sin(π＋α)cos(π－α)－2cos2(－α)的值；(6分) (2)若sin α＋cos α求tan α＋的值及点P的坐标.(6分) 解　(1)因为角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0)， 所以sin α＝y0，cos α＝x0，tan α1，y0<0， 由x0得y0＝－－ sin2(π－α)－sin(π＋α)cos(π－α)－2cos2(－α)＝sin2α－sin αcos α－2cos2α. 方法一　sin2α－sin αcos α－2cos2α－x0y0－2×－2×. 方法二　tan α＝－2， sin2α－sin αcos α－2cos2α . (2)方法一　tan α＋ 因为sin α＋cos α ① 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α 即sin αcos α＝－ 所以tan α＋－ 由角α的终边在第四象限，得sin α<0，cos α>0， 所以sin α－cos α＝－－－ ② 由①②得sin α＝－cos α 所以点P的坐标为. 方法二　由角α的终边在第四象限，得sin α<0，cos α>0， 因为sin α＋cos α ① 且sin2α＋cos2α＝1， ② 所以由①②得sin α＝－cos α 所以tan α＋－－ 点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $