5.2.3 第1课时 诱导公式一～四-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“诱导公式一~四”，通过单位圆三角函数线推导公式，衔接任意角三角函数知识，以自主检测引入新知，构建“概念-记忆-应用”学习支架，为三角函数化简求值提供基础支撑。 其亮点是融合数学直观想象与运算素养，采用“推导-典例-规律-练习”模式，如给角求值的“四步法”培养逻辑推理，分层评价题组适配不同学情。学生能提升转化能力，教师可借助结构化资源高效开展分层教学。

5.2.3　诱导公式 第1课时　诱导公式一～四 　 第5章　5.2　任意角的三角函数 学习目标 1.理解借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式一～四的过程，提升数学直观想象的核心素养，理解和掌握诱导公式的内涵和结构特征. 2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，培养数学运算核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　诱导公式一～四 1.诱导公式一～四(其中k∈Z) (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝_____，cos (α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝______. (2)公式二：sin(－α)＝_______，cos(－α)＝_____，tan(－α)＝_______. (3)公式三：sin(π＋α)＝_______，cos(π＋α)＝_______，tan(π＋α)＝______. (4)公式四：sin(π－α)＝_____，cos(π－α)＝________，tan (π－α)＝_______. 知识梳理 sin α cos α tan α －sin α cos α －tan α －sin α －cos α tan α sin α －cos α －tan α 2.诱导公式一～四的记忆方法 kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的___________，前面添上一个把角α看成______时原函数值的符号. 点拨　公式一～四可简记为“函数名不变，符号看象限”. 同名函数值 锐角 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角. (　　) (2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的 符号. (　　) (3)由公式二知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β). (　　) (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C. (　　) × × × √ 自主检测 2.cos 1 110°的值为 A. B. C.－ D.－ √ cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝. 3.已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是　　 A.－ B. C.－ D. √ 因为sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α， 所以sin α＝－，又α是第四象限角， 所以cos(α－2π)＝cos α＝ ＝＝. 4.化简：＝___. 1 ＝ ＝＝＝1. 返回 合作探究 返回 探究点一　给角求值问题 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)； 解：sin(－1 200°)＝－sin 1 200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－. 典例 1 (2)tan 945°； 解：tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos. 解：cos ＝cos ＝cos＝cos ＝. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 规律方法 对点练1．求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°； 解：cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin ； 解：sin ＝sin＝sin ＝sin ＝sin ＝. (3)sin； 解：sin＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝. (4)cos(－1 920°). 解：cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120° ＝cos(180°－60°) ＝－cos 60° ＝－. 探究点二　化简求值问题 化简：. 解：原式＝ ＝ ＝－ ＝－tan α. 典例 2 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 1.利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的. 2.化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有 改变. 3.同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 规律方法 对点练2．化简下列各式： (1)； 解：原式＝ ＝＝1. (2). 解：原式＝ ＝＝－ ＝. 探究点三　给值(式)求值问题 已知cos＝，求 (1)cos的值； 解：因为cos＝cos ＝－cos＝－. 所以cos＝－. 典例 3 (2)sin2的值； 解：sin2＝sin2 ＝sin2 ＝1－cos2 ＝1－ ＝. (3)cos的值. 解：cos＝cos ＝cos ＝cos＝. 解决条件求值问题的技巧 规律方法 对点练3．已知tan(π＋α)＝3，求的值. 解：因为tan(π＋α)＝3， 所以tan α＝3. 故 ＝ ＝ ＝＝7. 返回 随堂评价 返回 1.sin的值等于 A. B.－ C. D. √ 由题意结合诱导公式一可得 sin＝sin＝sin ＝. 故选C. 2.若＝，则tan θ＝ A.1 B.－1 C.3 D.－3 √ 原式＝＝＝，解得tan θ＝－3. 3.已知tan＝，则tan的值为_______. － tan＝－tan ＝－tan＝－. 4.求下列各式的值： (1)cos ＋tan； 解：原式＝cos＋tan＝cos ＋tan ＝＋1＝. (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 解：原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60° ＝1＋1＋＝. 返回 课时分层评价 返回 1.tan 300°＋sin 450°的值是 A.－1＋ B.1＋ C.－1－ D.1－ √ 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)＝ A.－ B. C.－ D. √ 因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.sin 315°－cos 495°＋2sin 210°的值是 A.1 B.－1 C. D.－ √ sin 315°－cos 495°＋2sin 210°＝sin(360°－45°)－cos(360°＋180°－45°)＋2sin(180°＋30°)＝－sin 45°－cos(180°－45°)－2sin 30°＝－＋－1＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°＝ A. B. C. D. √ 因为sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a，所以sin 70°＝－a， 所以cos 70°＝＝，所以tan 70°＝＝ . 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为 A. B.－ C. D.－ √ 因为sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0， 即sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3， 所以sin αcos α＝＝＝. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为_____. － 由题意知sin α＝，cos α＝－，原式＝＝－＝－＝－. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z).若f(2 020)＝5，则f(2 022)＝___. 5 因为f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝5， 所以f(2 022)＝asin α＋bcos β＝5. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan α＝______. － cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－，① 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝， 所以2sin αcos α＝－＜0， 又因为α∈(0，π)，sin α＞0，所以cos α＜0， 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 所以sin α－cos α＝，　　　　② 由①②得sin α＝，cos α＝－， 所以tan α＝－. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)化简下列各式： (1)sincos π ； 解：sincos π ＝－sincos＝sin cos ＝. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°). 解：sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值. 解：由＝3＋2， 得(4＋2)tan θ＝2＋2， 所以tan θ＝＝， 故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]· ＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)· ＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×＝2＋. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值可以是 A.－1 B.1 C.2 D.－2 √ √ 当k为偶数时，sin(kπ＋α)＝sin α， cos(kπ＋α)＝cos α，原式的值为2； 当k为奇数时，sin(kπ＋α)＝－sin α， cos(kπ＋α)＝－cos α，原式的值为－2. 故选CD. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x.当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝ A. B. C.0 D.－ √ 因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x， 所以f＝f＝f＋sin＝f＋sin＝f＋sin＋sin 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 ＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin. 因为0≤x＜π时，f(x)＝0， 所以f＝0＋sin＋sin＋sin ＝sin＋sin＋sin ＝sin－sin＋sin＝sin＝. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 5.2　任意角的三角函数 返回 $