第5章 5.2.1 任意角三角函数的定义（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦任意角三角函数的定义这一核心知识点，从初中锐角三角函数出发，通过单位圆将定义拓展到任意角，以终边上点的坐标比值为基础，系统梳理三角函数值在各象限的符号规律及三角函数线的几何意义，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以摩天轮转动问题创设情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链和例题推理培养数学思维，结合三角函数线的几何直观助力理解，课时练习分层设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5.2.1　任意角三角函数的定义 学习目标　1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义.2.掌握三角函数值在各象限的符号.3.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 导语 我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的平面直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课. 一、用比值定义三角函数 问题1　初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？ 提示　在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边. 问题2　之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？ 提示　有交点，交点唯一. 知识梳理 1.一般地，如图，任意给定一个角α，以角α的顶点为原点O，以它的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则对于角α终边OM上任一点P(x，y)，，和(终边不在y轴上)的值都分别是唯一确定的，其中r=. 数学上，将这样得出的，，的值分别称为角α的正弦、余弦、正切，且分别记作sin α，cos α，tan α.即sin α=，cos α=，tan α=，其中r=.y=sin α，y=cos α，y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 y＝sin α R y＝cos α R y＝tan α 注意点：三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 例1　(1)(课本例1)如图，已知角α的终边经过点P(4，－3)，求α的正弦、余弦和正切值. 解　由于x＝4，y＝－3，则r＝＝5， 所以sin α＝＝－，cos α＝， tan α＝＝－. (2)(课本例2)求角的正弦、余弦和正切值. 解　在平面直角坐标系中作∠AOB(如图)，在终边OB上取点P，使OP的长为1. 由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角为∠POA 因此可得点P的坐标为. 因为r＝OP＝1，所以sin － cos tan －1. 例1　(1)已知角α的终边经过点则sin α＝　　　　　　，cos α＝　　　　　，tan α＝　　　　.  答案　－　－　 解析　因为1， 所以r＝1， 由三角函数的定义知sin α＝－ cos α＝－tan α. (2)利用定义求角的正弦、余弦和正切值. 解　如图所示，设角的终边与单位圆交于点P， 过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，OP＝1，∠POB 则PBOB则P. 因为r＝OP＝1， 所以sin cos－ tan －. 反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则先求r再求sin αcos αtan α. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 跟踪训练1　(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－则x的值为(　　) A.－ B.－1 C.1 D. 答案　BC 解析　由题意知r ∵sin α－ 解得x2＝1，∴x＝±1. 二、三角函数值在各象限的符号 问题3　你能判断出三角函数值在各象限的符号吗？ 提示　可以根据角终边上点的横坐标和纵坐标的符号判断. 知识梳理　三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 例2　(1)(课本例3)设sin θ<0且tan θ>0，试确定θ是第几象限的角. 解　因为sin θ<0，所以θ是第三或第四象限的角或终边在y轴的负半轴上. 因为tan θ>0，所以θ是第一或第三象限的角. 因此，满足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限的角. 例2　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角. 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角. 综上可知，α是第三象限角. (2)(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A.sin(－100°) B.cos(－220°) C.tan 10 D.cos π 答案　ABD 解析　－100°角是第三象限角， 故sin(－100°)<0；－220°角是第二象限角， 故cos(－220°)<0； 10∈故10是第三象限角， 故tan 10>0；cos π＝－1<0. 反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 跟踪训练2　角α的终边经过点P则角α是第　　　　象限角.  答案　四 解析　因为95°是第二象限角，所以sin 95°>0，cos 95°<0，所以点P在第四象限，所以角α是第四象限角. 三、三角函数线 问题4　当角α为第一象限角时，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan α怎样表示？ 提示　如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α；过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，有tan α＝AT. 问题5　当角α为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢？tan α怎样表示呢？ 提示　用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1，0)作单位圆的切线，借助有向线段，则有向线段MP，OM，AT就分别等于sin α，cos α，tan α. 知识梳理　三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A(1，0)作单位圆的切线x=1，如果tan α存在，设该切线与角α的终边(当角α的终边落在第一、四象限或x轴的正半轴时)或其反向延长线(当角α的终边落在第二、三象限或x轴的负半轴时)相交于点T.单位圆中的有向线段DP，OD，AT分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α=DP，cos α=OD，tan α=AT. 注意点： (1)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0. (2)当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在. 例3　(1)作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. ①；②－. 解　如图，有向线段DP，OD，AT分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线. (2)分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 和sin 和cos 和tan 的大小. 解　如图，sin DP， cos OD， tan AT， sin D'P'，cos OD'，tan AT'. 显然|DP|>|D'P'|，且符号皆正， ∴sin >sin ； |OD|<|OD'|，且符号皆负，∴cos >cos ； |AT|>|AT'|，且符号皆负，∴tan <tan . 反思感悟　作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于点T，即可得到正切线AT. 跟踪训练3　(1)作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. ①；②－. 解　如图，有向线段DP，OD，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线. (2)已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由tan A－≥0， 得tan A≥ 又0<A<π，由tan A 得A. 作出的正切线AT，如图所示. 由图可得，当≤A<时，tan A≥ 此时≤sin A<1， 故sin A的取值范围是. 1.知识清单： (1)用比值定义三角函数. (2)三角函数值符号的判断. (3)三角函数线的概念. 2.方法归纳：化归思想、分类讨论、数形结合. 3.常见误区： (1)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关. (2)正切函数的定义域为. (3)三角函数线是用有向线段表示的，是有方向的. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.已知角α的终边上一点则sin α的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　B 解析　由定义知r＝1，则sin α＝－. 2.若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　由条件可知sin θ<0，cos θ>0， 则θ为第四象限角. 3.已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－则m等于(　　) A.－ B. C.－4 D.4 答案　C 解析　cos α－ 解得m＝－4. 4.已知θ∈在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是DP，OD，AT，则它们的大小关系是(　　) A.DP>OD>AT B.DP>AT>OD C.AT>OD>DP D.AT>DP>OD 答案　D 解析　根据题意画出图形，如图所示， ∵θ∈ ∴OD<DP， 由图可得DP<AT， ∴AT>DP>OD. 5.(多选)下列函数值的符号为正的是(　　) A.sin 105° B.cos 325° C.tan D.tan 答案　ABD 解析　∵105°为第二象限角， ∴sin 105°>0，符号为正； ∵325°为第四象限角，∴cos 325°>0，符号为正； ∵∈∴为第二象限角，∴tan<0，符号为负； ∵∈∴为第三象限角，∴tan>0，符号为正. 6.(多选)若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α的可能取值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　CD 解析　设角α的终边y＝－2x上一点(a，－2a)， 当a>0时，则ra， 此时sin α－ 当a<0时，则r＝－a， 此时sin α. 7.(5分)已知α的终边过点(－1)，则tan α＝　　　　.  答案　－ 解析　tan α－. 8.(5分)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－2，3] 解析　由cos α≤0，sin α>0，可知 解得－2<a≤3，故实数a的取值范围是(－2，3]. 9.(10分)判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5；(5分) (2)sin α·cos ·tan (α为三角形的一个内角).(5分) 解　(1)∵<3<π<4<<5<2π， ∴3，4，5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵α为三角形的一个内角， ∴0<α<π，0<< ∴sin α>0，cos >0，tan >0， ∴sin α·cos ·tan >0. 10.(10分)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θx，求sin θ，tan θ. 解　由题意知r＝OP 由三角函数的定义得cos θ 又因为cos θx， 所以x. 因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θtan θ3； 当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ tan θ－3. 11.角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且m2＋n2＝10，则m－n等于(　　) A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案　A 解析　由题意知即 ∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2. 12.函数y的值域是(　　) A.{－1，0，1，3} B.{－1，0，3} C.{－1，3} D.{－1，1} 答案　C 解析　依题意，知角x的终边不在坐标轴上， 当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3； 当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1； 当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1； 当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1， 综上，函数的值域为{－1，3}. 13.(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则(　　) A.P(4，－12) B.sin θ＝－ C.cos θ＝－ D.tan θ＝－ 答案　BD 解析　因为y＝loga(x－4)－12(a>0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，得y＝loga1－12＝－12，所以P(5，－12)，sin θ－cos θtan θ＝－. 14.(5分)把sin sin cos tan 由小到大排列为　　　　　　　　　　　　.  答案　cos <sin <sin <tan 解析　如图所示， sin D1P1>0，sin D2P2>0， tan AT>0，cos OD3<0. 而0<D1P1<D2P2<AT， ∴0<sin <sin <tan ∴cos <sin<sin <tan . 15.(多选)一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r.我们规定：比值分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cot α，csc α，sec α，把y＝cot x，y＝csc x，y＝sec x分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有(　　) A.cot 1 B.sin α·sec α＝1 C.y＝sec x的定义域为 D.设α的终边经过点P(2，4)，则csc α＋sec α 答案　ACD 解析　cot 1，故A正确； sin α·sec α＝sin α·1不一定成立，故B不正确； y＝sec x 则cos x≠0，即x≠kπ＋k∈Z，故C正确； ∵α的终边经过点P(2，4)， ∴r2 ∴csc αsec α ∴csc α＋sec α故D正确. 16.(11分)如图所示，滚珠P，Q同时从点A(2，0)出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转弧度，两滚珠相遇时发生碰撞，然后各自按照原来速度的大小反向运动. (1)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(5分) (2)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程.(6分) 解　(1)设滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒， 则t·＋t·2π， ∴t＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒. ∴第一次相遇时滚珠P转了4×弧度， 设第一次的相遇点为C，则xC＝2cos －1，yC＝2sin － ∴第一次相遇点的坐标为(－1，－). (2)第一次相遇时，滚珠P滚动的路程为×2滚珠Q滚动的路程为×2故第二次相遇时，滚珠P滚动的路程为×2滚珠Q滚动的路程为×2. 学科网（北京）股份有限公司 $